1、第三章 不等式本章复习学习目标1.理解生活中存在着大量的数量关系,了解不等式(组) 的实际背景 ,理解不等式一些基本性质.2.深刻理解三个二次之间的关系.以二次函数为中心,能运用二次函数的图象、性质解答不等式的有关问题.渗透函数与方程思想、数形结合思想及分类讨论思想.3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组;并能用平面区域表示; 能熟练解答线性规划问题,并理解其中蕴含的数形结合思想.4.能够灵活熟练地利用基本不等式解决相关的最值问题.合作学习一、设计问题,创设情境题组一:再现型题组求解下列各题,并思考每道题目考查的知识点.1.已知 ab,有下列结论:acbc; a 2b2; ;a 3b3.10
2、 表示的平面区域在直线 x-y-1=0 的 方. 4.若变量 x,y 满足约束条件 则 x+2y 的最大值是 . 2,+1,-1,5.已知 x0,y0,且 x+y=2,则 x2+y2的最小值为 . 二、运用规律,解决问题【例 1】已知函数 f(x)=x2-(a+1)x+a,aR .(1)若不等式 f(x)0 的解集是1,3, 求实数 a 的值.(2)是否存在实数 a,使得不等式 f(x)0 有实数解?若存在,求出所有的实数 a;若不存在,请说明理由.(3)解关于 x 的不等式 f(x)0.师生交流 1:本题中所体现的思想方法可以推广到一般情形吗?请你尝试总结一下.【例 2】已知实数 x,y 满
3、足 2+6,+39,+6.(1)求 的最大值和最小值;-1+1(2)若目标函数 z=ax+y(a1 时,x|1xa;当 a=1 时,x|x=1;当 a0,故直线经过点 C 时 ,z 最小为 3.将 x= ,y= 代入 3=ax+y,解得 a= .92 32 13师生交流 2:数形结合思想;例如 几何意义,甚至更细致一些是哪两个点之间的连线斜-1+1率都要观察出来;再如目标函数对应的直线的斜率与边界直线斜率之间的比较; 再如直线过定点问题等等.规律二:运用数形结合思想解答问题时 ,首先要观察数学式子中的各个系数对图象的制约,与图象对应起来;然后,在图形中观察出的规律、结论也要对应到数学式子中的相
4、应系数上来.【例 3】解:(1)xy= x(2y) .12 12(+22)2=18当且仅当 即 x= ,y= 时,xy 的最大值为 .=2,+2=1, 12 14 18(2)方法一:因为 x+2y=1,所以 (x+2y)=3+ 3+ 2 .1+1=(1+1) 2+ 2当且仅当 即 x= -1,y= 时, 最小值为 3+2 .2=,+2=1, 2 2- 22 1+1 2方法二:因为 x+2y=1,所以 x=1-2y,又 x0,y0,所以 0y ,12所以 ,(*)1+1= 11-2+1=1-(1-2)令 t=1-y,则 t1,12(*)式可化为 .(1-)(2-1)= -22+3-1= 1-(2
5、+1)+3 13-22当且仅当 2t= ,即 t= ,x= -1,y= 时, 最小值为 3+2 .1 22 2 2- 22 1+1 2师生交流 3:有,可以消元,转化为一元函数求最值 .规律三:“二元函数的最值问题”的求解方法,一般有三种:(1)通过消元转化为“ 一元” 函数求解,体现了化归转化的数学思想;(2)寻求条件、结论的几何意义,数形结合求解,体现了数形结合思想 ;(3)构造基本不等式所必须的条件,运用基本不等式求解,体现了化归转化思想 .要观察条件、结论的特征,根据这些特征合理选择方法.三、变式训练,深化提高变式训练 1:解:结合二次函数图象可知,只需 即 解得 a3.(1)0,(3
6、)0, 00,6-20,所以实数 a 的取值范围是3,+).变式训练 2:解:由 可确定如图所示的平面区域 ,又因为 z=x+y 的最小值为 5,2+6,+39,+6.即直线 x+y=5 与平面区域相交在最靠下的位置.由 解得 B(3,2),+3=9,+=5又因为直线 kx+y=6 过点 B(3,2),所以 3k+2=6,解得 k= .43变式训练 3:解:x+y=xy 2 ,即 xy2 ,又 x,y 为正实数,所以 2, xy4.当且仅当 即 x=y=2 时,等号成立.=,+=,四、反思小结,观点提炼1. 三个二次之间的关系在解决一元二次不等式问题中的应用;线性规划问题的求解策略; 灵活运用基本不等式求最大(小 )值.2.函数与方程、分类讨论、数形结合、化归转化的数学思想.
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