1、第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示学习目标通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;知道常用数集及其记法;了解集合中元素的确定性、互异性、无序性;会用集合语言表示有关数学对象;培养学生抽象概括的能力.合作学习一、设计问题,创设情境在初中代数不等式的解法一节中提到:一般地, 一个含有未知数的不等式的所有的解 ,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集 .不等式解集的定义中涉及了“集合” ,那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.问题 1:下面这 5 个实例的共同特征是什么 ?(1)120 以内的所有质数;(2)我国古代的四大发明;(
2、3)所有的安理会常任理事国;(4)所有的正方形;(5)北京大学 2014 年 9 月入学的全体学生.二、自主探索,尝试解决分小组讨论,讨论后每个小组选出一位同学代表本组宣布讨论结果, 在此基础上,共同概括出 5 个实例的特征: . 三、信息交流,揭示规律根据讨论的结果得出集合的含义:1.集合的含义问题 2:集合应当如何表示呢?元素与集合是什么样的关系?2.集合的表示方法一:方法二:3.元素与集合的关系:问题 3:一组对象满足什么条件才能组成集合?4.集合元素的性质(1)确定性:(2)互异性:(3)无序性:(4)集合相等:问题 4:(1)请列举出“ 小于 5 的所有自然数组成的集合 A”.(2)
3、你能写出不等式 2-x3 的所有解吗 ?怎样表示这个不等式的解集 ?5.集合的表示:字母表示法、自然语言、列举法、描述法.列举法:描述法:四、运用规律,解决问题【例 1】下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于 6 的所有整数B.高中数学的所有难题C.被 3 除余 2 的所有整数D.函数 y= 图象上所有的点1【例 2】用列举法表示下列集合:(1)小于 10 的所有自然数组成的集合 ;(2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合;(3)由 120 以内的所有质数组成的集合.【例 3】试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程 x2-2=0 的所有实数根组成的集合;(2)由大于 10 小于
4、 20 的所有整数组成的集合.五、变式演练,深化提高1.下列所给对象不能构成集合的是( )A.一个平面内的所有点B.所有大于零的正数C.某校高一(4)班的高个子学生D.某一天到商场买过货物的顾客2.用另一种形式表示下列集合:(1)绝对值不大于 3 的整数;(2)所有被 3 整除的数;(3)x|x=|x|,xZ 且 x0,y0,xZ,yZ.3.已知集合 A=x|ax2-3x+2=0,aR,若 A 中至少有一个元素, 求 a 的取值范围.4.用适当的方法表示下列集合:(1)方程组 的解集;23=14,3+2=8(2)1 000 以内被 3 除余 2 的正整数所组成的集合;(3)直角坐标平面上在第二
5、象限内的点所组成的集合;(4)所有正方形;(5)直角坐标平面上在直线 x=1 和 x=-1 的两侧的点所组成的集合.六、反思小结,观点提炼请同学们想一想(1)本节课我们学习过哪些知识内容?(2)你认为学习集合有什么意义?(3)选择集合的表示法时应注意些什么?七、作业精选,巩固提高1.课本 P12 习题 1.1 A 组第 4 题.2.元素、集合间有何种关系?如何用符号表示? 类似地集合与集合间的关系又如何呢 ?如何表示?通过预习课本来解答.参考答案二、学生探索,尝试解决都是有某些对象组成的全体三、信息交流,揭示规律1.集合的含义一般地,指定的某些对象的全体称为集合 (简称为集),集合中的每个对象
6、叫做这个集合的元素.2.集合的表示:方法一 (字母表示法):大写的英文字母表示集合,集合常用大写字母A,B,C,D,表示,元素常用小写字母 a,b,c,d,表示.国际标准化组织(ISO)制定了常用数集的记法:自然数集(包含零):N,正整数集 :N*(N+),整数集:Z, 有理数集:Q ,实数集:R.方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合 ,例如“所有的正方形”组成的集合等.3.元素与集合的关系:“ 属于”和“不属于”分别用“ ”和“ ”表示.4.集合元素的性质(1)确定性:即任给一个元素和一个集合, 那么这个元素和这个集合的关系只有两种:这个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合 ;元
7、素确定性的符号语言表述为 :对任意元素 a和集合 A,要么 aA,要么 aA.(2)互异性:一个给定集合的元素是互不相同的, 即集合中的元素是不重复出现的;(3)无序性:集合中的元素是没有顺序的.(4)集合相等:如果两个集合中的元素完全相同, 那么这两个集合是相等的.5.列举法:把集合中的全部元素一一列举出来, 并用大括号“ ”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法;描述法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 .这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注: 在不致混淆的情况下,也可以简写
8、成列举法的形式, 只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为 x|x 是直角三角形,也可以写成直角三角形.四、运用规律,解决问题【例 1】B【例 2】解:(1)设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A,那么 A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.(2)设方程 x2=x 的所有实数根组成的集合为 B,那么 B=0,1.(3)设由 120 以内的所有质数组成的集合为 C,那么 C=2,3,5,7,11,13,17,19.【例 3】解:(1)设所要表示的集合为 A,方程 x2-2=0 的实根为 x,它满足条件 x2-2=0,因此,用描述法表示为 A=xR|x2-2=0.方程 x2-2=0 的两个实数根为 ,- ,因此, 用列举法表示为 A= ,- .2 2 2 2(2)设所要表示的集合为 B,大于 10 小于 20 的整数为 x,它满足条件 xZ,且 100;(4)正方形;(5)(x, y)|x1,yR.
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