1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系学习目标(1)了解空间中两条直线的位置关系;(2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力 ;(3)理解并掌握公理 4;(4)理解并掌握等角定理;(5)异面直线所成角的定义、范围及应用.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:平面内两条直线的位置关系有哪几种 ?问题 2:平面内不平行的两直线必相交 ,问空间内还成立否?二、自主探索,尝试解决六角螺母中(图 1),两条路线 AB,CD 既不平行,又不相交(非平面问题).图 2 中的两条直线也是既不平行,又不相交.三、信息交
2、流,揭示规律1.异面直线的定义:2.异面直线的画法3.空间两直线的位置关系按平面基本性质分按公共点个数分4.异面直线所成的角公理 4:定理(等角定理):四、运用规律,解决问题【例 1】 右图长方体中(1)说出以下各对线段的位置关系.EC 和 BH 是 直线; BD 和 FH 是 直线; BH 和 DC 是 直线; (2)与棱 AB 所在直线异面的棱共有 条. 【例 2】 如图,已知正方体 ABCD-ABCD.(1)哪些棱所在直线与直线 BA是异面直线?(2)直线 BA和 CC的夹角是多少?(3)哪些棱所在直线与直线 AA垂直?【例 3】 如图,正方体 ABCD-EFGH 中,O 为侧面 ADH
3、E 的中心 ,求(1)BE 与 CG 所成的角;(2)FO 与 BD 所成的角.五、变式演练,深化提高1.已知 a,b,c 是三条直线,且 ab,a 与 c 的夹角为 ,那么 b 与 c 夹角为 . 2.判断:(1)两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行 .( )(2)两条直线和第三条直线垂直,则这两条直线互相平行.( )(3)两条直线和第三条直线平行,则这两条直线互相平行.( )3.如图,已知空间四边形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点,试判断四边形 EFGH 是什么四边形,并证明你的结论.4.如图,已知长方体 ABCD-EFGH 中
4、,AB=2 ,AD=2 ,AE=2.3 3(1)求 BC 和 EG 所成的角.(2)求 AE 和 BG 所成的角.六、反思小结,观点提炼请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.七、作业精选,巩固提高课本 P11 习题 1.1A 组 5.课本习题 2.1A 组第 1,2,3,4 题 .参考答案三、1.不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.2.画异面直线时,为了体现它们不共面的特点,常借助一个或两个平面来衬托.3.按平面基本性质分:(1)同在一个平面内: 相交直线、平行直线;(2)不同在任何一个平面内: 异面直线.按公共点个数分:(1)有一个公共点: 相交直线;(2)无公共点:平行直线、异
5、面直线.注 1:两直线异面的判别一:两条直线既不相交又不平行.两直线异面的判别二:两条直线不同在任何一个平面内 .4.公理 4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.平行线的传递性推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行 .定理(等角定理):空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.异面直线所成角的定义:如图 ,已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 直线 aa,bb 则把 a与 b所成的锐角 (或直角) 叫做异面直线所成的角( 或夹角) .异面直线所成的角的范围为(0,90 .注 2:如果两条异面直线 a,b 所成的角为直角 ,我们就称这两条直线互相垂
6、直,记为 ab.注 3:在求作异面直线所成的角时 ,O 点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等.四、 【例 1】 (1)相交 平行 异面 (2)4【例 2】 解:(1)由异面直线的定义可知,棱 AD,DC,CC,DD,DC,BC所在直线分别与BA是异面直线.(2)由 BBCC可知, BBA是异面直线 BA和 CC的夹角,BBA= 45,所以直线 BA和 CC的夹角为 45.(3)直线 AB,BC,CD,DA,AB,BC,CD,DA分别与直线 AA垂直.【例 3】 解:(1)如图,CGBF ,EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CG 所成的角,又BEF 中EBF= 45,所以
7、BE 与 CG 所成的角为 45.(2)连接 FH,HDEAFB,HDFB,四边形 HFBD 为平行四边形,HFBD,HFO(或其补角)为异面直线 FO 与 BD 所成的角.连接 HA,AF,易得 FH=HA=AF,AFH 为等边三角形,又依题意知 O 为 AH 中点,HFO=30,即 FO 与 BD 所成的角为 30.注 4:求异面直线的步骤是:“ 一作 (找)二证三求”.五、1.2.(1) (2) (3)3.解:四边形 EFGH 是平行四边形.证明如下:连接 BD,E,H 分别是 AB,AD 的中点,EH 是ABD 的中位线 ,EHBD,且 EH= BD,12同理,FGBD ,且 FG= BD,12EHFG,且 EH=FG,四边形 EFGH 是平行四边形.4.(1)45 (2)60六、异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.空间两直线的位置关系:相交直线、平行直线、异面直线 .异面直线的画法:用平面来衬托 .异面直线所成的角:平移,转化为相交直线所成的角 .公理 4(平行公理):在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理:空间中,如果两个角的两边分别对应平行 ,那么这两个角相等或互补.异面直线所成角的求法:一作 (找)二证三求.
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