1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定学习目标1.探究直线与平面垂直的判定定理,培养学生的空间想象能力.2.掌握直线与平面垂直的判定定理的应用,培养学生分析问题、解决问题的能力.3.让学生明确直线与平面垂直在立体几何中的地位.合作学习一、设计问题,创设情境日常生活中,我们对直线与平面垂直有很多感性认识,比如,旗杆与地面的位置关系,大桥的桥柱与水面的位置关系等,都给我们以直线与平面垂直的印象.问题 1:如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线 ,那么这条直线是否与这个平面垂直?举例说明.二、信息交流,揭示规律问题 2:借助生活中垂直
2、的含义 ,能不能说出直线与平面垂直的定义?问题 3:如何画直线与平面垂直 ?问题 4:如图,请同学们准备一块三角形的纸片 ,我们一起做一个试验: 过ABC 的顶点 A翻折纸片,得折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 (BD,DC 与桌面接触).(1)折痕 AD 与桌面垂直吗 ?(2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面 垂直?问题 5:如何判定直线和平面平行呢 ?问题 6:什么是斜线在平面上的射影 ?问题 7:讨论直线与平面所成的角 .三、运用规律,解决问题【例 1】 如图,已知点 P 为平面 ABC 外一点,PABC ,PCAB,求证: PBAC.【例 2】 如图,在正方体 AB
3、CD-A1B1C1D1中,求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.四、变式演练,深化提高如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,已知 DC=DD1=2AD=2AB,ADDC,ABDC.(1)求证:D 1CAC1;(2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,使 D1E平面 A1BD,并说明理由.五、反思小结,观点提炼请同学们总结下本节课所学习内容:六、作业精选,巩固提高课本 P67练习第 1,2,3 题.参考答案一、问题 1:在阳光下观察直立于地面的旗杆 AB 及它在地面的影子 BC.随着时间的变化,尽管影子 BC 的位置在移动,但是旗杆 AB 所在直线始终与 BC 所在
4、直线垂直.也就是说,旗杆 AB所在直线与地面内任意一条不过点 B 的直线 BC也是垂直的 .二、问题 2:一条直线和平面内的任何一条直线都垂直 ,我们说这条直线和这个平面互相垂直,直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直;过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交,交点叫做垂足.问题 3:直线和平面垂直的画法及表示如下 :如图,表示方法为 a.问题 4:当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD 所在直线与桌面所在的平面 垂直.如图.所以,当折痕 AD 垂直平面内的一条直线时 ,折痕 AD 与平面 不垂直,当折痕 AD 垂直平面内的两
5、条直线时,折痕 AD 与平面 垂直.问题 5:直线与平面垂直的判定定理 :一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.进一步指出直线与平面垂直的判定定理的符号语言和图形语言.符号语言为 l.=图形语言为如图,问题 6:斜线:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直 ,这条直线就叫做这个平面的斜线.斜足:斜线和平面的交点.斜线在平面上的射影:过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.问题 7:直线与平面相交,直线与平面的相互位置类同于两条相交直线,也需要用角来表示,但过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线 l 与平面内的线
6、a,b所成的角是不相等的.为了定义的确定性,我们必须找到一些角中有确定值,又能准确描述其位置的一个角,所以就以由斜线与其在平面上的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地:如果一条直线垂直于平面 ,我们说它们所成的角为直角; 一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角为 0的角.如图,l 是平面 的一条斜线,点 O 是斜足,A 是 l 上任意一点 ,AB 是 的垂线,点 B 是垂足,所以直线 OB(记作 l)是 l 在 上的射影,AOB (记作 )是 l 与 所成的角.三、 【例 1】 证明:过 P 作 P
7、O平面 ABC 于 O,连接 OA,OB,OC.PO平面 ABC,BC平面 ABC,POBC.又 PABC,BC平面 PAO.又 OA平面 PAO,BCOA.同理,可证 ABOC.O 是 ABC 的垂心.OBAC.可证 POAC.AC平面 PBO.又 PB平面 PBO,PBAC.【例 2】 解:连接 BC1交 B1C 于点 O,连接 A1O.设正方体的棱长为 a,因为 A1B1B1C1,A1B1B1B,所以 A1B1平面 BCC1B1.所以 A1B1BC1.又因为 BC1B1C,所以 BC1平面 A1B1CD.所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影,BA 1O 为直线 A
8、1B 与平面 A1B1CD 所成的角.在 RtA1BO 中,A 1B= a,BO= a,所以 BO= A1B,BA1O=30.222 12因此,直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30.四、解:(1)证明:在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,连接 C1D,如图.DC=DD1,四边形 DCC1D1是正方形 .DC1D1C.又 ADDC,ADDD1,DCDD1=D,AD平面 DCC1D1,D1C平面 DCC1D1.ADD1C.AD,DC1平面 ADC1,且 ADDC1=D,D1C平面 ADC1.又 AC1平面 ADC1,D1CAC1.(2)连接 AD1,AE,D1E,如图.设 AD1A1D=M,BDAE=N,连接 MN,平面 AD1E平面 A1BD=MN,要使 D1E平面 A1BD,需使 MND1E,又 M 是 AD1的中点,N 是 AE 的中点.又易知ABN EDN,AB=DE,即 E 是 DC 的中点.综上所述,当 E 是 DC 的中点时,可使 D1E平面 A1BD.知识总结:利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线 ,然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结:转化思想,即把面面关系转化为线面关系 ,把空间问题转化为平面问题.
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