1、第三章 直线与方程3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程学习目标1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法,掌握直线的点斜式方程,了解直线方程的斜截式是点斜式的特例;培养学生思维的严谨性和相互合作意识,注意学生语言表述能力的训练.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件,并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:已知直线 l 过点 P0(1,2),且斜率为 2.(1)试判断点 A(3,6)和点 B 是否在直线 l 上
2、? 并思考直线 l 上除点 P0外的所有点(-1,-32)的坐标都满足的条件是什么? 直线 l 外所有点的坐标都满足什么条件呢?(2)你能用直线 l 上任意一点 P 的坐标表达上面的条件吗?请尝试一下.二、信息交流、揭示规律问题 2:方程 y-2=2(x-1)中的未知数 x,y 的含义是什么? 方程 y-2=2(x-1)的所有解与直线 l上所有的点有什么关系?问题 3:方程 =2 是直线 l 的方程吗?为什么? -2-1三、运用规律、解决问题问题 4:上面我们得到的规律能否推广到一般情形呢 ?请求出过点 P0(x0,y0)且斜率为 k 的直线方程.问题 5:上面的方程由什么确定 ?我们可以给这
3、个方程起个名字吗?任意一条直线的方程都能写成点斜式吗?为什么?【例 1】 根据下列条件,求出相应直线的方程,并画出直线的草图.(1)P0(-1,1),k=-2;(2)P0(0,2),k=0;(3)过点 P0(2,0),倾斜角为 90.变式训练:已知直线 l 的斜率为 k,且与 y 轴的交点为(0,b),求出它的方程.问题 6:观察方程 y=kx+b,它的形式具有什么特点?截距和距离一样吗?它和我们学过的一次函数一样吗? 四、变式演练、深化提高【例 2】 已知直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,试讨论:(1)l 1l2的条件是什么?(2)l 1l2的条件是什么?变式训练:判断下
4、列各对直线是否平行或垂直 :(1)l1:y= x+3,l2:y= x-2;(2) l1:y= x,l2:y=- x.12 12 35 53五、信息交流、教学相长问题 7:直线的点斜式方程中的变量描述的是什么 ?它依赖于哪个等量关系?六、反思小结、观点提炼问题 8:要得到直线的点斜式方程需要知道直线的什么特征?问题 9:直线与直线的方程的关系是什么 ?参考答案一、问题 1: (1)因为直线 P0A 的斜率 k1= =2,所以点 A 在直线 l 上;6-23-1又直线 P0B 的斜率 k2= 2,所以点 B 不在直线 l 上.-32-2-1-1=74直线 l 上除点 P0外的所有点的坐标都满足的条
5、件是:每一个点 P 与点 P0连线的斜率都等于 2,即 =2.而直线 l 外每一个点与点 P0连线的斜率都不等于 2 或者不存在.0(2)由于直线 l 上任意一点 P(与 P0不重合)的坐标是不确定的,因此可设点 P 的坐标为(x,y),因为每一个点与点 P0连线的斜率都等于 2,所以 =2,即 y-2=2(x-1).-2-1二、问题 2: 直线 l 上任意一点的坐标;(1)直线 l 上所有点的坐标都是方程 y-2=2(x-1)的解;(2)坐标满足方程 y-2=2(x-1)的每一点都在直线 l 上.问题 3: 不是;因为直线 l 上点 P0(1,2)的坐标不满足这个方程 .三、问题 4:设 P
6、(x,y)是直线 l 上不同于点 P0的任意一点,因为直线 l 的斜率为 k,由斜率公式得 k= ,即 y-y0=k(x-x0).-0-0问题 5:直线上一定点及其斜率 ;能,叫直线的点斜式方程,简称点斜式 ;不能;因为斜率不存在的直线,显然不能写成点斜式.【例 1】 解:(1)y-1=-2(x+ 1);(2)y-2=0;(3)x=2变式训练:解:代入点斜式方程,得 y-b=k(x-0),即 y=kx+b.问题 6:左端的系数恒为 1,右端 x 的系数是直线的斜率,b 是直线在 y 轴上的截距;不一样,截距是任意实数,而距离是非负实数) ( 当 k0 时一样.当 k=0 时,y=b 不是次函数.四、 【例 2】 解:(1)若 l1l2,则 k1=k2,此时 l1,l2与 y 轴的交点不同,即 b1b2;反之,k1=k2,b1b2时,l 1l2.(2)若 l1l2,则 k1k2=-1;反之 k1k2=-1 时, l 1l2.变式训练:解:(1) 因为斜率相等,且纵截距 3-2,故 l1l2;(2)因为 (- )=-1,所以 l1l2.35 53五、问题 7:直线上任意一点的坐标 ; =k0六、问题 8:直线的一个定点和斜率 .问题 9: (1)直线 l 上所有点的坐标都是方程的解;(2)坐标满足方程的每一点都在直线 l 上.
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