1、第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.2 两点间的距离学习目标1.探索并掌握两点间的距离公式;2.能用坐标法证明简单的几何问题.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:已知 x 轴上点 A(-1,0),B(5,0),则 A,B 两点之间的距离 |AB|是多少?推广到一般情形,若 x 轴上点 A(x1,0),B(x2,0),则 A,B 两点之间的距离|AB| 是多少呢? 问题 2:如何求平面内点 A(3,4)到原点 O 的距离|OA|呢?到点 B(-1,1)的距离|AB| 呢?你能将这类问题推广到一般情形,提出问题,并得到规律吗?二、信息交流,揭示规律问题 3:大家是用什么办
2、法求|P 1P2|的?你是怎样想到构造直角三角形的?请大家交流一下.三、运用规律,解决问题【例 1】 已知点 A(-1,2),B(2, ),在 x 轴上求一点 P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.7问题 4:平面内要确定一个点, 需要几个条件? 求点的坐标这种题目,解答时可以考虑哪些方法?【例 2】 证明:平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.问题 5:对于例 2,你是否还有其他建立坐标系的方法呢 ?请尝试.四、变式演练、深化提高变式训练: 如图,ABD 和BCE 是在直线 AC 同侧的两个等边三角形,试证明 AE=CD.五、信息交流、教学相长问题 6:无论是距离公式的证明还
3、是例 1 及例 2 的求解,都体现了什么共同特征?上述过程必须借助什么来完成?布置作业课本 P109习题 3.3,A 组第 6,7,8 题,B 组第 6 题.参考答案一、问题 1:6;|x1-x2|.问题 2:求|OA|时,在作图的过程中自然想到坐标的含义,构造出直角三角形后,求得|OA|=5.求|AB|时 ,也需根据坐标的含义,构造出直角三角形,根据勾股定理得出|AB|= 5,但此时可能没有要从特殊问题中发现规律的意识.已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求 P1,P2的距离|P 1P2|?提出问题:如图,过点 P1向 x 轴作垂线,过点 P2向 y 轴作垂线,两垂线
4、交于点 Q.在 RtP1QP2中,|P1P2|2=|P1Q|2+|P2Q|2.|P1Q|=|N1N2|=|y1-y2|,|P2Q|=|M1M2|=|x1-x2|.所以, |P 1P2|2=|x1-x2|2+|y1-y2|2.由此得到两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|= .(1-2)2+(1-2)2二、问题 3:几何法,构造直角三角形 ;一方面条件中的坐标就涉及点到坐标轴的距离 ,即坐标可以转化为线段的长度,另一方面,两点间距离就是连接两点的线段的长度,而解直角三角形可以求线段的长度.基于上述原因,我们构造直角三角形.三、 【例 1】 P(1,0),|PA|=2
5、 .2问题 4:两个;方法一:可以设出点的坐标,然后建立坐标的方程组,解方程组求点的坐标;方法二: 可以将点看成两直线的交点 ,求出两直线方程后,求交点坐标; 方法三:可以将求点的坐标的题目转化为求到坐标轴的距离.【例 2】 证明:如图所示,以顶点 A 为坐标原点,AB 边所在的直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,有 A(0,0).设 B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质得点 C 的坐标为( a+b,c),|AB|2=a2,|CD|2=a2,|AD|2=b2+c2=|BC|2|AC|2=(a+b)2+c2,|BD|2=(a-b)2+c2,所以,|AB| 2+|CD|2+|AD|2+|
6、BC|2=2(a2+b2+c2)|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2),所以,|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2.因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.问题 5:有,比如还可以以对角线的交点为坐标原点 ,一条对角线为 x 轴建立平面直角坐标系.四、 变式训练 :如图以 B 为原点,AC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,设等边ABD 和BCE 的边长分别为 2a 和 2b,于是可得相关各点坐标:B(0,0),A( -2a,0),C(2b,0),D(-a, a),3E(b, b),由两点间的距离公式,则|AE|= ,3 (2+)2+(0- 3)2=42+4+42|CD|= ,所以|AE|=|CD|,即 AE=CD.(2+)2+(0- 3)2=42+4+42五、问题 6:用代数的方法解决几何问题 ;坐标系.
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