1、第二章 统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样学习目标1.能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题,提高分析问题的能力.2.理解随机抽样的必要性和重要性,提高学习数学的兴趣.3.学会用抽签法和随机数法抽取样本,培养应用能力.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:抽样的方法很多,每个抽样方法都有各自的优越性与局限性,针对不同的问题应当选择适当的抽样方法.(1)在 1936 年美国总统选举前,一份颇有名气的杂志(Literary Digest)的工作人员做了一次民意测验.调查兰顿(A.Landon)(当时任堪萨斯州州长)和罗斯福 (F.D.Roosevelt)(当时的总统)中谁将
2、当选下一届总统.为了了解公众意向,调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表(注意在 1936 年电话和汽车只有少数富人拥有) .通过分析收回的调查表,显示兰顿非常受欢迎,于是此杂志预测兰顿将在选举中获胜.实际选举结果正好相反,最后罗斯福在选举中获胜,其数据如下:候选人 预测结果% 选举结果%Roosevelt 43 62Landon 57 38你认为预测结果出错的原因是什么?由此可以总结出什么教训?(2)假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验,你准备怎样做?显然,你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本.那么,应当怎样获取样本呢?(3)
3、请总结简单随机抽样的定义.问题 2:(1)抽签法是大家最熟悉的,也许同学们在做某种游戏,或者选派一部分人参加某项活动时就用过抽签法.例如,高一(2)班有 45 名学生,现要从中抽出 8 名学生去参加一个座谈会,每名学生的机会均等.我们可以把 45 名学生的学号写在小纸片上,揉成小球,放到一个不透明袋子中,充分搅拌后,再从中逐个抽出 8 个号签,从而抽出 8 名参加座谈会的学生.请归纳抽签法的定义,总结抽签法的步骤.(2)你认为抽签法有什么优点和缺点;当总体中的个体数很多时,用抽签法方便吗?(3)随机数法是利用随机数表或随机骰子或计算机产生的随机数进行抽样.我们仅学习随机数表法即利用随机数表产生
4、的随机数进行简单随机抽样的方法.二、信息交流,揭示规律问题 3:怎样利用随机数表产生样本呢 ?下面通过例子来说明.假设我们要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中抽取60 袋进行检验.讨论结果:三、运用规律,解决问题【例题】某车间工人加工一种轴共 100 件,为了了解这种轴的直径,要从中抽取 10 件轴在同一条件下测量,如何采用简单随机抽样的方法抽取样本?四、变式训练,深化提高1.下列抽样的方式属于简单随机抽样的有 . (1)从无限多个个体中抽取 50 个个体作为样本.(2)从 1 000 个个体中一次性抽取 50 个个体作为样本.(3)将 1 000 个个
5、体编号,把号签放在一个足够大的不透明的容器内搅拌均匀,从中逐个抽取 50 个个体作为样本.(4)箱子里共有 100 个零件,从中选出 10 个零件进行质量检验 ,在抽样操作中,从中任意取出一个零件进行质量检验后,再把它放回箱子.(5)福利彩票用摇奖机摇奖.2.要从某厂生产的 30 台机器中随机抽取 3 台进行测试,写出用抽签法抽取样本的过程.3.请同学们在班内选出 10 人作民意代表,应该采用哪种方法呢?请同学们自己动手操作一下,并得出自己的结论.五、反思小结,观点提炼布置作业课本 P57 练习第 2,3 题.课后巩固:1.为了了解全校 240 名学生的身高情况,从中抽取 40 名学生进行测量
6、,下列说法正确的是( )A.总体是 240 B.个体是每一个学生 C.样本是 40 名学生 D.样本容量是 402.为了了解所加工一批零件的长度,抽测了其中 200 个零件的长度,在这个问题中,200 个零件的长度是( )A.总体 B.个体 C.总体的一个样本 D.样本容量3.一个总体中共有 200 个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 20 的样本,则某一特定个体被抽到的可能性是 . 4.为了检验某种产品的质量,决定从 40 件产品中抽取 10 件进行检查,如何用简单随机抽样抽取样本?5.现有一批编号为 10,11,99,100,600 的元件,打算从中抽取一个容量为 6 的样本进
7、行质量检验.如何用随机数法设计抽样方案?参考答案一、设计问题,创设情境问题 1:(1)预测结果出错的原因是: 在民意测验的过程中,即抽取样本时,抽取的样本不具有代表性.1936 年拥有电话和汽车的美国人只是一小部分,那时大部分人还很穷.其调查的结果只是富人的意见,不能代表穷人的意见.由此可以看出,抽取样本时,要使抽取出的样本具有代表性,否则调查的结果与实际相差较大.(2)要对这批小包装饼干进行卫生达标检查,只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本,用样本的卫生情况来估计这批饼干的卫生情况.如果对这批饼干全部检验,那么费时费力,等检查完了,这批饼干可能就超过保质期了,再就是会破坏这批饼干的质量,
8、导致无法出售.获取样本的方法是:将这批小包装饼干 ,放入一个不透明的袋子中,搅拌均匀,然后不放回地摸取( 这样可以保证每一袋饼干被抽中的机会相等 ),这样我们就可以得到一个简单随机样本.通过检验样本来估计这批饼干总体的卫生情况.这种抽样方法就是简单随机抽样.(3)一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(nN),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.最常用的简单随机抽样方法有两种:抽签法和随机数法 .二、信息交流,揭示规律问题 3:利用随机数表抽取样本时 ,可以按照下面的步骤进行.第一步,先将 800 袋牛奶编号
9、,可以编为 000,001,799.第二步,在随机数表中任选一个数,例如选出第 8 行第 7 列的数 7(为了便于说明,下面摘取了附表 1 的第 6 行至第 10 行.)16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 5
10、2 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 5457 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28第三步,从选定的数 7 开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等), 得到一个三位数 785,由于 785799,将它去掉,按照这种方法继续向右读 ,又取出 567,199,507,依次下去,直到样本的60 个号码全部取出.这样我们就得到一个容量为 60 的样本.讨论结果:(1)一
11、般地,抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一个容量为 n 的样本.抽签法的步骤是:将总体中个体从 1N 编号 ;将所有编号 1N 写在形状、大小相同的号签上 ;将号签放在一个不透明的容器中,搅拌均匀;从容器中每次抽取一个号签,并记录其编号,连续抽取 n 次;从总体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出.(2)抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时 ,费时、费力,如果标号的签搅拌得不均匀,会导致抽样不公平.因此说当总体中的个体数很多时,用抽签法不方便,这时用随机数法.(3)随机数法的步
12、骤:将总体中个体编号;在随机数表中任选一个数作为开始;规定从选定的数读取数字的方向;开始读取数字,若不在编号中,则跳过,若在编号中则取出,依次取下去,直到取满为止;根据选定的号码抽取样本.(4)总体容量是几位数,个体所编号码就取几位数.在随机数表中读数时 ,相应地就取连续的几个数字.(5)综上所述可知,简单随机抽样有操作简便易行的优点,在总体个数不多的情况下是行之有效的.但是,如果总体中的个体数很多时,对个体编号的工作量太大,即使用随机数法操作也并不方便快捷.另外,要想“搅拌均匀”也非常困难,这就容易导致样本的代表性差.三、运用规律,解决问题【例题】分析:简单随机抽样有两种方法 :抽签法和随机
13、数法 ,所以有两种思路.解:法一(抽签法):将 100 件轴编号为 1,2,100;做好大小、形状相同的号签,分别写上这 100 个号码;将这些号签放在一个不透明的容器内,搅拌均匀;逐个抽取 10 个号签;然后测量这 10 个号签对应的轴的直径的样本.法二(随机数法):将 100 件轴编号为 00,01,99;在随机数表中选定一个起始位置,如取第 21 行第 1 个数开始(见教材附录 1:随机数表);规定读数的方向,如向右读;依次选取 10 个,为 68,34,30,13,70,55,74,77,40,44,则这 10 个号签相应的个体即为所要抽取的样本.四、变式训练,深化提高1.解析:很明显
14、简单随机抽样是从有限多个个体中抽取 ,所以(1)不属于;简单随机抽样是逐个抽取,不能是一次性抽取,所以(2)不属于;很明显(3)属于简单随机抽样;抽样是放回抽样,但是简单随机抽样是不放回抽样,所以(4)不属于;很明显(5) 属于简单随机抽样.答案:(3)(5)2.解:抽签法,步骤:第一步,将 30 台机器编号,号码是 01,02,30.第二步,将号码分别写在一张形状、大小相同的纸条上,揉成团,制成号签.第三步,将得到的号签放入不透明的袋子中,并充分搅匀.第四步,从袋子中依次抽取 3 个号签,并记录上面的编号.第五步,所得号码对应的 3 台机器就是要抽取的样本.3.略五、反思小结,观点提炼1.简
15、单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,选取个体的方法有放回和不放回两种,我们在抽样调查中用的是不放回抽样,常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法.2.抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,又不方便,如果标号的签搅拌得不均匀,会导致抽样不公平,随机数法的优点与抽签法相同,缺点是当总体容量较大时,仍然不是很方便,但是比抽签法公平,因此这两种方法只适合总体容量较小的抽样类型.3.简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等,均为 ,但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第 n 次每个个体入样的可能性、特定的个体在第 n 次被抽到的可能性这三种情况区分开来,避免在解题中出现错
16、误.课后巩固:1.D 2.C 3.1104.解:方法一(抽签法):将这 40 件产品编号为 1,2,40;做好大小、形状相同的号签,分别写上这 40 个号码;将这些号签放在一个不透明的容器内,搅拌均匀;逐个不放回地抽取 10 个号签;然后对与这 10 个号签相对应的产品进行检验.方法二(随机数法):将 40 件产品编号,可以编为 00,01,02,38,39;在随机数表中任选一个数作为开始,例如从第 8 行第 9 列的数 5 开始;从选定的数 5 开始向右读下去,得到一个两位数字号码 59,由于 5939,将它去掉; 继续向右读,得到 16,将它取出;继续下去 ,又得到 19,10,12,07
17、,39,38,33,21,随后的两位数字号码是12,由于它在前面已经取出,将它去掉,再继续下去,得到 34.至此,10 个样本号码已经取满,于是,所要抽取的样本号码是 16,19,10,12,07,39,38,33,21,34.5.解:方法一:第一步,将元件的编号调整为 010,011,012,099,100,600.第二步,在随机数表中任选一个数作为开始,任选一方向作为读数方向.比如,选第 6 行第7 个数“9”,向右读.第三步,从数“9” 开始,向右读,每次读取三位,凡不在 010600 中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不读,依次可得到 544,354,378,520,384,263.第四步,以上这 6 个号码所对应的 6 个元件就是所要抽取的对象.方法二:第一步,将每个元件的编号加 100,重新编号为 110,111,112,199,200,700.第二步,在随机数表中任选一个数作为开始,任选一方向作为读数方向.比如,选第 8 行第1 个数“6”,向右读.第三步,从数“6” 开始,向右读,每次读取三位,凡不在 110700 中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不读,依次可得到 630,163,567,199,507,175.第四步,这 6 个号码分别对应原来的 530,63,467,99,407,75.这些号码对应的 6 个元件就是要抽取的对象.
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