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    人教A版高中数学选修1-1学案:1.2.2 充要条件

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    人教A版高中数学选修1-1学案:1.2.2 充要条件

    1、1.2.2 充要条件学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习,明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.知识点 1 充要条件一般地,如果既有 pq,又有 qp 就记作_pq.此时,我们说,p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果 p 是 q 的充要条件,那么 q 也是 p 的充要条件.概括地说,如果 pq,那么 p 与 q 互为充要条件.【预习评价】思考 (1)若 p 是 q 的充要条件,则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题.这种说法对吗?(2)“p 是 q 的充要条件 ”与“p 的充要条件是 q”的区别在哪里?提示 (1)正确 .若 p 是

    2、 q 的充要条件,则 pq,即 p 等价于 q,故此说法正确.(2)p 是 q 的充要条件说明 p 是条件,q 是结论.p 的充要条件是 q 说明 q 是条件,p 是结论.知识点 2 常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若 p,则 q”,逆命题为“若 q,则 p”,那么 p 与 q 的关系有以下四种情形:原命题 逆命题 p 与 q 的关系真 真p 是 q 的充要条件q 是 p 的充要条件真 假p 是 q 的充分不必要条件q 是 p 的必要不充分条件假 真p 是 q 的必要不充分条件q 是 p 的充分不必要条件假 假p 是 q 的既不充分也不必要条件q 是 p 的既不充分也不必要条件【预

    3、习评价】若 x,yR,则“xy”是“|x| |y|”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 当 x y 时,|x |y| 显然成立;若|x| |y|,则 xy 或 xy ,所以“xy”是“|x |y |”的充分不必要条件.答案 A知识点 3 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若 AB,则 p 是 q 的充分条件,若 AB,则 p 是 q 的充分不必要条件若 BA,则 p 是 q 的必要条件,若 BA,则 p 是 q 的必要不充分条件若 AB,则 p,q 互为充要条件若 A B 且 B A,则 p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要

    4、条件其中 p:A x|p(x)成立,q:Bx| q(x)成立.【预习评价】若“xa”是 “x2”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是_.解析 由题意知x|x a x|x2,所以 a2.答案 (,2)题型一 充要条件的判断【例 1】 (1)“x 1”是“x 22x10”的( )A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析 解 x2 2x10 得 x1,所以“x1”是 “x22x10”的充要条件.答案 A(2)判断下列各题中,p 是否为 q 的充要条件?在ABC 中,p:A B,q:sin Asin B;若 a,bR,p:a 2b 20,q:ab0;p

    5、:|x|3 , q:x 29.解 在ABC 中,显然有A B sin Asin B,所以 p 是 q 的充要条件.若 a2b 20,则 ab0,即 pq;若 ab0,则 a2b 20,即 qp,故 pq,所以 p 是 q 的充要条件.由于 p:|x|3 q:x 29,所以 p 是 q 的充要条件.规律方法 判断 p 是 q 的充分必要条件的两种思路(1)命题角度:判断 p 是 q 的充分必要条件,主要是判断 pq 及 qp 这两个命题是否成立.若 pq 成立,则 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件;若qp 成立,则 p 是 q 的必要条件,同时 q 是 p 的充分条件;若二者

    6、都成立,则p 与 q 互为充要条件.(2)集合角度:关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断 pq 及qp 的真假时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合大集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.【训练 1】 (1)a,b 中至少有一个不为零的充要条件是( )A.ab0 B.ab0C.a2 b20 D.a2b 20(2)“函数 yx 22xa 没有零点”的充要条件是_.解析 (1)a 2 b20,则 a, b 不同时为零;a,b 中至少有一个不为零,则a2b 20.(2)函数没有零点,即方程 x22xa0 无实根,所以有 44a0,(x1 1)(x2 1)0, )

    7、 k 14,(x1 x2) 20,x1x2 (x1 x2) 10.)即k 14, (2k 1) 20,k2 (2k 1) 10,)解得 k0.设方程 x2(2k 1) xk 2 0 的两个根为 x1,x 2,则(x 11)(x 21)x 1x2(x 1x 2)1k 22k11k(k2)0.又(x 11)(x 21)(x 1 x2)2(2 k1)22k10,x 110,x 210.x 11,x 21.综上可知,方程 x2(2k 1)xk 20 有两个大于 1 的根的充要条件为 k0,y y, ,则 p 是 q 的_条件.1x1y解析 当 x0,y y 且 成立,1x1y当 xy 且 时,得 1x1y x y0,x yxy 0,y0.)所以 p 是 q 的充要条件.答案 充要课堂小结1.充要条件的判断有三种方法:定义法、等价命题法、集合法.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别:p 是 q 的充要条件,则由 pq 证的是充分性,由 qp 证的是必要性;p 的充要条件是 q,则由 pq 证的是必要性,由 qp 证的是充分性.(2)探求充要条件,可先求出必要条件,再证充分性;如果能保证每一步的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条件.


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