1、21 函数的概念21.1 函数的概念和图象第 1 课时 函数的概念和定义域学习目标 1.理解函数的概念(难点)；2.了解构成函数的要素(重点)；3.会求一些简单函数的定义域和函数值(重点)预习教材 P2325 的例 2，完成下面问题：知识点一 函数的概念设 A，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f，对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B的一个函数，通常记为 yf(x )，xA.其中，所有的输入值 x 组成的集合 A 叫做函数 yf(x)的定义域【预习评价】试用函数的定义判断下列对应是不是函数？(1)f：求周长， A
2、三角形，BR；(2)x 1 2 3y 3 2 1；(3)x 1 2 3y 1 1 1；(4)x 1 1 1y 1 2 3；(5)x 1 2 3y 1 2.提示 (1)不是，因为集合 A 不是数集(2)是对于数集 A 中的每一个 x，在数集 B 中都有唯一确定的 y 和它对应(3)是对于数集 A 中的每一个 x，在数集 B 中都有唯一确定的 y 和它对应(4)不是一个 x1，对应了三个不同的 y，违反了 “唯一确定”(5)不是x3 没有相应的 y 与之对应检验两个变量之间是否具有函数关系的方法：定义域和对应法则是否给出；根据给出的对应法则，自变量 x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函
3、数值 y.只有当(1)(2)同时满足时，y 才是 x 的函数知识点二 函数的三要素函数的三个要素：定义域，对应法则，值域(1)定义域定义域是自变量 x 的取值集合有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数 x 的集合(2)对应法则对应法则 f 是核心，它是对自变量 x 进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接 x 与 y 的纽带，按照这一 “程序”，从定义域 A 中任取一个 x，可得到值域y|yf( x)且 xA中唯一确定的 y 与之对应(3)值域函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应法则确定了，那么它的值域也会随之确定【预习评价
4、】1下列图形可以表示为以 Mx|0 x1 为定义域，Nx|0x1为值域的函数是_(填序号) 解析 根据函数定义任意实数 x 对应唯一实数 y，所以 (3)正确答案 (3)2函数 y 的定义域为_x 4|x| 5解析 依题意有Error!故定义域为x|4x 5，或 x5 答案 x|4x 5，或 x5知识点三 函数相等如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数相等【预习评价】下列各组函数中，表示同一函数的是_(填序号)(1)y1，yxx(2)y ，y x 1 x 1 x2 1(3)yx，y 3x3(4)y|x|，y 2( x)解析 四个表达式中对应法则和定义域均相同的只有(
5、3)，故填(3)答案 (3)题型一 函数概念【例 1】 判断下列对应是否为从集合 A 到集合 B 的函数(1)AR，By |y0 ，f：xy|x|；(2)AZ ，BZ ，f：x yx 2；(3)AZ ，BZ ，f：x y ；x(4)Ax|1x1，B 0，f：xy 0.解 (1)当取值为 0 时 A 中在 B 中没有对应值，故不是集合 A 到集合 B 的函数(2)对于集合 A 中的任意一个整数 x，在集合 B 中都有唯一一个确定的整数 x2 与其对应，故是集合 A 到集合 B 的函数(3)集合 A 中的负整数没有平方根，在集合 B 中没有对应的值，故不是集合 A 到集合 B 的函数(4)对于集合
6、 A 中任意一个实数 x，按照对应法则 f：x y0 在集合 B 中都有唯一一个确定的数 0 和它对应，故是集合 A 到集合 B 的函数规律方法 (1)判断一个对应法则是不是函数关系的方法：A，B 必须都是非空数集；A 中任意一个数在 B 中有唯一确定的实数和它对应注意：A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余(2)函数的定义中“任意一个 x”与“有唯一确定的 y”说明函数中两变量 x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”【训练 1】 下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的有_AR ，B R，x 2y 21；A1,2,3,4，B0,1，对应关系如图：AR ，B R，f：
7、x y ；1x 2AZ，BZ，f：xy .2x 1解析 对于，x 2y 21 可化为 y ，显然对任意 xA，y 值不唯一，1 x2故不符合；对于，符合函数的定义；对于，2A，但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合；对于，1A，但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合答案 题型二 求函数的定义域【例 2】 求下列函数的定义域：(1)y ；(2)y .x 12x 1 1 x x 1|x| x解 (1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足Error!即Error!所以函数的定义域为x|x 1，且 x1(2)要使函数有意义，必须满足|x|x0，即| x|x，x 0.函数的定义域为
8、 x|x0规律方法 (1)当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；分式中分母不能为 0；零次幂的底数不为 0；如果 f(x)由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示【训练 2】 求下列函数的定义域：(1)y ；x 10x 2(2)y .2x 312 x 1x解 (1)由于 00 无意义，故 x10
9、，即 x1.又 x20，x 2，所以 x2 且 x1.所以函数 y 的定义域为 x|x2，且 x1x 10x 2(2)要使函数有意义，需Error!解得 x2，且 x0，32所以函数 y 的定义域为Error!.2x 312 x 1x互动探究题型三 求函数值【探究 1】 已知 f(x) (xR，且 x1) ，g(x)x 22(xR )11 x(1)求 f(2)，g(2)的值；(2)求 f(g(3)的值解 (1)f( x) ， f(2) .11 x 11 2 13又g(x)x 22，g(2)2 226.(2)g(3)3 2211，f(g(3)f(11) .11 11 112【探究 2】 已知 f
10、(x) (xR，x2) ，g(x) x4(xR )12 x(1)求 f(1)，g(1)的值；(2)求 f(g(1)，g(f(1)的值；(3)求 f(g(x)，g(f( x)的表达式解 (1)f(1) 1，g(1)145.12 1(2)f(g(1)f(5) ，12 5 13g(f(1)g(1)145.(3)f(g(x)f(x4) ，12 x 4 1 2 xg(f(x) g( ) 4.12 x 12 x【探究 3】 已知函数 f(x) .x21 x2(1)求 f(2)与 f( )，f(3) 与 f( )；12 13(2)由(1)中求得结果，你能发现 f(x)与 f( )有什么关系？并证明你的发现；
11、1x(3)求 f(1)f(2)f(3) f(2 016)f( )f( )f( )的值12 13 12 016解 (1)f( x) ， f(2) ，x21 x2 221 22 45f( ) ，f(3) ，121221 122 15 321 32 910f( ) .131321 132 110(2)由(1)可发现 f(x)f( )1，证明如下：1xf(x)f( ) 1.1x x21 x21x21 1x2 x21 x2 11 x2(3)由(2)知：f(2)f( )1，12f(3)f( )1，f(2 016)f( )1，13 12 016原式 2 015 .12 12 4 0312规律方法 (1)函数
12、的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系函数的定义域和对应法则一经确定，值域随之确定(2)f(x)是函数符号，f 表示对应法则，f(x)表示 x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与 x 的乘积在不同的函数中 f 的具体含义不同，对应法则可以是解析式、图象、表格等函数除了可用符号 f(x)表示外，还可用 g(x)，F(x )等表示(3)求函数值时，首先要确定出函数的对应法则 f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于 f(g(x)型的求值，按“由内到外 ”的顺序进行，要注意 f(g(x)与 g(f(x)的区别课堂达标1有对应法则 f：(1)A0,2， B0,1，x ；x2(2)A2,0,2
13、，B 4，xx 2；(3)AR，By |y0 ，x ；1x2(4)AR，BR，x2x1；(5)A(x，y )|x，yR，BR，(x，y) xy.其中能构成从集合 A 到集合 B 的函数的有_(填序号)解析 (2)(3)中，当 x0 时，B 中不存在数值与之对应；(5) 中，集合 A 不是数集答案 (1)(4)2已知集合 ABR ， xA，yB，对任意 xA ，xax b 是从集合 A 到集合 B 的函数，若输出值 1 和 8 对应的输入值分别为 3 和 10，则输入值 5 对应的输出值为_解析 由题意得Error!解得Error!所以对应法则 f：xx 2，故输入值 5 对应的输出值为 3.答
14、案 33函数 f(x) 的定义域为_4 xx 1解析 要使函数 f(x) 有意义，需满足Error!解得 x4 且 x1，所以函4 xx 1数 f(x) 的定义域为 x|x4，且 x1 4 xx 1答案 x|x 4，且 x14函数 f(x)对任意自然数 x 满足 f(x1)f(x )1， f(0)1，则 f(5)_.解析 f(1) f(0)11 12，f(2)f(1)13，f(3)f(2)14，f(4)f(3)15，f(5)f(4) 16.答案 65已知函数 f(x) .x 1x 2(1)求 f(2)；(2)求 f(f(1)解 (1)f( x) ， f(2) .x 1x 2 2 12 2 34(2)f(1) ，f(f(1)f .1 11 2 23 (23)23 123 2 58课堂小结(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应法则函数的定义域和对应法则共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应法则不一定相同如 yx 与 y3x 的定义域和值域都是 R，但它们的对应法则不同，所以是两个不同的函数.
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