1、32.2 对数函数第 1 课时 对数函数的概念及性质学习目标 1.理解对数函数的概念(重、难点)；2.掌握对数函数的性质及简单应用(重点 )；3. 掌握对数函数图象及简单的图象变换(重、难点)预习教材 P8185，完成下面问题：知识点一 对数函数的概念一般地，函数 ylog ax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，) 【预习评价】若对数 log3a(2a1) 有意义，则 a 的取值范围是_解析 根据题意可得Error!解得 0a ，a .所以 a 的取值范围是(0， )( ， )12 13 13 13 12答案 (0 ， )( ， )13 13 12知识点二
2、 对数函数的图象与性质类似地，我们可以借助指数函数图象和性质得到对数函数图象和性质：定义 y logax(a0，且 a1)底数 a1 0a1图象续表定义域 (0，)值域 R单调性 在(0，)上是单调增函数 在(0，)上是单调减函数共点性 图象过点(1,0)，即 loga10函数值特点x(0,1)时，y( ，0) ；x1 ， ) 时，y0，)x(0,1)时，y(0 ， ) ；x1 ， ) 时，y( ，0对称性 函数 ylog ax 与 的图象关于 x 轴对称【预习评价】根据函数 f(x)log 2x 的图象和性质求解以下问题：(1)若 f(a)f(2)，求 a 的取值范围；(2)求 ylog 2
3、(2x1)在 x2,14上的最值函数 ylog 2x 的图象如图解 (1)因为 ylog 2x 是增函数，若 f(a)f(2)，即 log2alog 22，则 a2.所以 a 的取值范围为(2，)(2)2x14， 32x127，log23log 2(2x1)log 227.函数 ylog 2(2x1)在 x2,14上的最小值为 log23，最大值为 log227.知识点三 不同底的对数函数图象相对位置一般地，对于底数 a1 的对数函数，在(1，)区间内，底数越大越靠近 x轴；对于底数 0a1 的对数函数，在(1，)区间内，底数越小越靠近 x轴【预习评价】ylog 2x 与 ylog 3x 同为
4、(0，)上的单调增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？提示 因 123，所以在(1，)内，y log 3x 的图象更靠近 x 轴，y log 2x比 ylog 3x 更远一些.题型一 对数函数的概念【例 1】 已知对数函数 yf(x )过点(4,2)，求 f 及 f(2lg 2)(12)解 设 ylog ax(a0 且 a1)，则 2log a4，故 a2，即 ylog 2x，因此f log 2 1，f(2 lg 2)log 22lg 2lg 2.(12) 12规律方法 判断一个函数是对数函数必须是形如 ylog ax(a0 且 a1)的形式，即必须满足以下条件：系数
5、为 1.底数为大于 0 且不等于 1 的常数对数的真数仅有自变量 x.【训练 1】 判断下列函数是不是对数函数？并说明理由(1)ylog ax2(a0，且 a1)；(2)ylog 2x1；(3)ylog xa(x0，且 x1，a 是常数)；(4)ylog 5x.解 (1)中真数不是自变量 x，不是对数函数；(2)中对数式后减 1，不是对数函数；(3)中底数是自变量 x，而非常数 a，不是对数函数(4)为对数函数题型二 对数函数的定义域【例 2】 求下列函数的定义域：(1)ylog a(9 x2)；(2)ylog 2(164 x)解 (1)由 9 x20，得3x3，函数 ylog a(9x 2)
6、的定义域是 x|3x3(2)由 164 x0，得 4x164 2，由指数函数的单调性得 x2，函数 ylog 2(164 x)的定义域为 x|x2 规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式【训练 2】 求下列函数的定义域：(1)ylog 7 ；(2) y .11 3x log2x解 (1)由Error! 得 x ；13所求函数定义域为 .x|x 13(2)由Error!得 Error!x 1， 所求函数定义域为 x|x1题型三
7、比较对数的大小【例 3】 比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log 28.5；(2)log0.31.8； log0.32.7；(3)loga5.1，log a5.9(a0，且 a1) 解 (1)考察对数函数 ylog 2x，因为它的底数 21，所以它在(0 ，) 上是单调增函数，又 3.48.5，于是 log23.4log 28.5.(2)考察对数函数 ylog 0.3x，因为它的底数 00.31，所以它在(0，)上是单调减函数，又 1.82.7，于是 log0.31.8log 0.32.7.(3)当 a1 时， ylog ax 在(0，)上是单调增函数，又 5.15.9，于
8、是 loga5.1log a5.9；当 0a1 时，y log ax 在(0，)上是单调减函数，又 5.15.9，于是 loga5.1log a5.9.综上，当 a1 时，log a5.1log a5.9，当 0 a1 时，log a5.1log a5.9.规律方法 比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如 1 或 0 等)来比较【训练
9、3】 设 alog 3，blog 2 ，c log 3 ，则 a，b，c 的大小关系是3 2_解析 alog 31，b log23，则 b1，12 12c log32 ， abc.12 12答案 abc互动探究题型四 对数函数的图象【探究 1】 如图所示，曲线是对数函数 ylog ax 的图象，已知 a 取 ，3， ， ，则相应于 c1， c2，c 3，c 4 的 a 值依次为 _43 35 110解析 在第一象限内各图象对应的对数函数的底数顺时针增大，c 40，f( )log 2 2，14 14 14ff( )f( 2)3 2 .14 19答案 192函数 f(x) lg(3x1)的定义域是
10、_11 x解析 由Error!可得 x1.13答案 ( ，1)133若函数 y lg(x2mx1)的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是_解析 由题意得 x2mx 10 恒成立，所以 m 240，解得2m2.答案 (2,2)4若 a0 且 a1，则函数 ylog a(x1)1 的图象恒过定点坐标为_解析 函数图象过定点，则与 a 取值无关，故 loga(x1)0，x 11，x2，y 1，所以 ylog a(x1)1 过定点(2,1)答案 (2,1)5求函数 f(x)log (2x4) (102x)的定义域解 由已知，得Error!解得 2x 或 x5，52 52函数 f(x)的定义域为(2 ， )( ，5)52 52课堂小结1判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有ylog ax(a0 ，且 a1) 这种形式2在对数函数 ylog ax 中，底数 a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质3涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.
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