1、34 函数的应用34.1 函数与方程第 1 课时 函数的零点学习目标 1.理解函数零点的定义,会求函数的零点(重点);2.掌握函数零点的判定方法(难点) ;3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)预习教材 P9193,完成下面问题:知识点一 函数的零点函数 yf(x) 的零点就是方程 f(x)0 的实数根,也就是函数 yf(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标【预习评价】思考 函数的零点是点吗?提示 函数 yf (x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点,因此函数的零点不是点,是方程 f(x)0 的解,即函数的零点是一个实数知识点二 函数的零点、方程的根、函数图象之间的关系方程 f(x
2、)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf (x)有零点知识点三 函数零点的判定定理若函数 yf(x )在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线,且 f(a)f(b)0,则函数 yf(x) 在区间(a,b)上有零点【预习评价】若函数 yf(x )在区间a,b上的图象为一条连续不断的曲线,判断下列说法是否正确若 f(a)f(b)0,不存在实数 c(a,b)使得 f(c)0.( )若 f(a)f(b)0,存在且只存在一个实数 c(a,b)使得 f(c)0.( )若 f(a)f(b)0,有可能存在实数 c(a,b)使得 f(c)0.( )若 f(a)f(b)0,有可能不存在实数 c
3、(a,b)使得 f(c)0.( )提示 可通过反例“f(x) (x1)(x1) 在区间2,2上满足 f(2)f(2)0,但其存在两个解 1,1”,故不正确; 对于可通过反例“f(x) x(x1)(x 1)在区间 2,2上满足 f(2)f (2)0,但其存在三个解 1,0,1”故不正确; 由零点存在性定理可知不正确题型一 求函数的零点【例 1】 求下列函数的零点(1)f(x) x2x 6;(2) f(x)x 3x ;(3)f(x) (ax1)(x2)( aR)解 (1)方法一 令 f(x)0,即 x2x60.(1) 241(6)250,方程 x2x60 有两个不相等的实数根 x12 ,x 23.
4、函数 f(x)x 2x 6 的零点是 x12,x 23.方法二 由 f(x)x 2x6(x3)( x2)0,得 x12, x23.函数 f(x)x 2x 6 的零点为 x12,x 23.(2)x3xx (x21) x (x1)(x 1),令 f(x)0 得 x(x1)( x1) 0.f(x)的零点为 x10,x 2 1,x 31.(3)当 a0 时,函数为 f(x)x2,令 f(x)0,得 x2.f(x)的零点为 2.当 a 时,f(x )( x1)(x2) (x2) 2,12 12 12令 f(x)0 得 x1x 22.f(x)有零点 2.当 a0 且 a 时,12令 f(x)0 得 x1
5、,x 22.1af(x)的零点为 ,2.1a综上,当 a0 时,f(x )的零点为 2;当 a 时,函数有零点 2;当 a0 且 a12时,f( x)的零点为 ,2.12 1a规律方法 根据函数零点的定义,求函数 f(x)的零点就是求使 f(x)0 的 x 的值,即方程 f(x)0 的根一般求法是 代数法:解方程的思想如求一元二次方程f(x)0 的实数根常用求根公式、分解因式等方法;几何法:函数 yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标即为函数的零点【训练 1】 函数 yx 1 的零点是_解析 令 y x10,得 x1,故函数 yx1 的零点为 1.答案 1题型二 函数零点存在性定理及应用【例
6、2】 判断下列函数在给定区间上是否存在零点:(1)f(x) x23x 18,x 1,8;(2)f(x) x3x 1,x 1,2;(3)f(x) log2(x2) x ,x1,3解 (1)f(1)200,f(8)220,f(1)f(8)0. 故 f(x)x 23x18 在1,8 上存在零点(2)f(1) 10,f(2)50,f(1)f(2) 0,f(x )x 3x1 在1,2上存在零点(3)f(1)log 2(12)1log 2210,f(3)log 2(32)3log 2830.f(1)f(3)0,故 f(x)log 2(x2)x 在1,3上存在零点规律方法 由函数给定的区间a,b分别求出 f
7、(a)和 f(b),判断 f(a)f(b)0 是否成立,这是判断函数有无零点的基本方法,同时要注意如果 f(a)f(b)0,并不说明函数在a,b 上没有零点【训练 2】 已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下 x,f(x)的对应值表:x 1 2 3 4 5 6f(x) 15 10 7 6 4 5则函数 f(x)在区间1,6上的零点至少有_个解析 根据函数零点存在性定理可判断至少有 3 个零点答案 3题型三 判断函数零点的个数【例 3】 判断函数 f(x) ln xx 23 的零点的个数解 函数对应的方程为 ln xx 230,所以原函数零点的个数即为函数 yln x 与 y3x 2 的图
8、象交点个数在同一坐标系下,作出两函数的图象(如图)由图象知,函数 y3x 2 与 yln x 的图象只有一个交点从而 ln xx 230有一个根,即函数 yln x x 23 有一个零点规律方法 判断函数零点个数的方法:(1)对于一般函数的零点个数的判断问题,可以先确定零点存在,然后借助于函数的单调性判断零点的个数;(2)由 f(x)g(x)h(x) 0,得 g(x) h(x),在同一坐标系下作出 y1g(x )和 y2h(x)的图象,利用图象判定方程根的个数;(3)解方程,解得方程根的个数即为函数零点的个数【训练 3】 函数 f(x)ln xx2 的零点个数为_解析 如图所示,分别作出 yl
9、n x,yx2 的图象,可知两函数的图象有两个交点,即 f(x)有两个零点答案 2互动探究题型四 零点的应用【探究 1】 已知二次函数 f(x)7x 2(k13)x k2 的两个零点分别在区间(0,1)与(1,2)内,试求 k 的取值范围解 由题意可知,方程 7x2(k 13)xk20 的两根分别在区间 (0,1)与(1,2)内,也就是说函数 y7x 2(k13)xk 2 的图象与 x 轴的交点横坐标分别在 0 与 1,1与 2 之间,作出草图根据图象得Error!即Error!解之得2k .43故 k 的取值范围是 (2, )43【探究 2】 已知关于 x 的方程|x 24x3| a0 有三
10、个不相等的实数根,则实数 a 的值是_解析 如图所示,由图象知直线 y1 与 y| x24x3|的图象有三个交点,则方程|x 24x3|1 有三个不相等的实数根,因此 a1.答案 1【探究 3】 已知函数 f(x)ax 22x1(aR),若方程 f(x)0 至少有一正根,则 a 的取值范围是_解析 对 ax22x 10,当 a0 时,x ,不符合题意;当12a0,44a0 时,得 x1(舍去) 当 a0 时,由 44a0,得 a1,又当 x0 时, f(0)1,即 f(x)的图象过(0,1)点,f(x)图象的对称轴方程为 x ,22a 1a当 0,即 a0 时,图象开口向下,与 x 轴正半轴有
11、一交点,满足题意;当1a 0,即 a0 时,图象开口向上,与 x 轴正半轴无交点,不满足题意,综上,1aa 的取值范围是(,0)答案 (,0)规律方法 (1)在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑四个方面: 与 0 的关系;对称轴与所给端点值的关系;端点的函数值与零的关系;开口方向(2)求解探究 2 这类问题可先将原式变形为 f(x)g( x),则方程 f(x)g( x)的不同解的个数等于函数 f(x)与 g(x)图象交点的个数,分别画出两个函数的图象,利用数形结合的思想使问题得解课堂达标1函数 f(x) 的零点是_1 x21 x解析 由 f(x)0,即 0,得 x1,即函数 f(x)的
12、零点为 1.1 x21 x答案 12在下列区间中,函数 f(x)e x4x 3 的零点所在的区间为 _(填序号) ; ; ; .( 14,0) (0,14) (14,12) (12,34)解析 f 20,(14) 4ef( ) 10,f f 0,12 e (14) (12)又 f(x)单调递增,零点在 上(14,12)答案 3已知函数 f(x)(xa)(xb) 2(ab),并且 , ()是函数 yf(x)的两个零点,则实数 a,b, , 的大小关系是_解析 函数 g(x)(xa)(x b)的两个零点是 a,b.由于 yf(x) 的图象可看作是由 yg(x) 的图象向上平移 2 个单位而得到的,
13、所以ab.答案 a b4已知二次函数 f(x)x 2xa(a0),若 f(m)0,则在(m,m 1)上函数零点的个数是_解析 二次函数 f(x)x 2xa 可化为 f(x)(x )2a ,则二次函数对称轴12 14为 x ,其图象如图12f(m)0,由图象知 f(m1)0,f(m)f(m1)0,f(x )在 (m,m1)上有 1 个零点答案 15已知函数 f(x)ax 22ax1 有两个零点 x1,x 2,且 x1(0,1) ,x 2(4,2),求 a 的取值范围解 f(x)ax 22ax 1 的图象是连续的且两零点 x1,x 2 满足 x2(4,2),x1(0,1)Error!a .13a 的取值范围为( , )13课堂小结1在函数零点存在定理中,要注意三点:(1)函数是连续的;(2)定理不可逆;(3)至少存在一个零点2方程 f(x)g(x)的根是函数 f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标,也是函数 yf(x)g(x)的图象与 x 轴交点的横坐标3函数与方程有着密切的联系,有些方程问题可以转化为函数问题求解,同样,函数问题有时化为方程问题,这正是函数与方程思想的基础.