1、章末复习课网络构建核心归纳知识点一 元素与集合、集合与集合之间的关系元素与集合之间的关系是属于、不属于的关系，根据集合中元素的确定性，对于任意一个元素 a 要么是给定集合 A 中的元素(aA )，要么不是(a A)，不能模棱两可对于两个集合 A，B，可分成两类 AB，A B，其中 AB 又可分为AB 与 AB 两种情况，在解题时要注意空集的特殊性及特殊作用，空集是一个特殊集合，它不含任何元素，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集在解决集合之间的关系时，要注意不要丢掉空集这一情形知识点二 集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn 图与数轴是集合运算的重要工具注意集合之间的
2、运算与集合之间关系的转化，如 ABABA ABB .要点一 集合间的关系集合与集合之间的关系是包含、不包含、真包含、相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素【例 1】 已知集合 Ax|2x5 ，B x|m1x2m1(1)若 BA，求实数 m 的取值范围；(2)若 xZ，求 A 的非空真子集个数解 Ax|2x 5，Bx|m1x2m1，(1)BA，B ，如图所示：Error!即Error!2 m3.B .由 m12m1 得 m2.综上 m3，即实数 m 的取值范围为(，3(2)xZ， A 2，1,0,1,2,3,4,5则 A 的非空真子集个数为 282254.【训练 1】
3、 已知全集 U1,3，x 33x 22x和它的子集 A1，|2x1| 如果 U A0，求实数 x 的值解 U 1,3，x 33x 22x， U A0，0U，即 x33x 22x 0，解得 x0 或 x1 或 x2，当 x0 时， A1,1 与集合中元素互异性矛盾，舍去当 x2 时， A1,5 U 不符合题意，舍去当 x1 时， A1,3 U 符合题意因此，实数 x 的值为1.要点二 集合的运算集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用 Venn 图法，运算时特别注意对
4、的讨论，不要遗漏【例 2】 已知集合 Ax|0x2 ，B x|axa3(1)若( R A) BR，求实数 a 的取值范围(2)是否存在 a，使( R A) BR 且 AB？解 (1)Ax |0x2，R Ax|x2(R A)BR.Error!1 a0，即实数 a 的取值范围为1,0(2)由(1)知( R A)BR 时，1a0，而 a32,3，AB，这与 AB矛盾即这样的 a 不存在【训练 2】 (1)已知集合 U2,3,6,8 ，A2,3 ，B2,6,8，则( U A)B_.(2)已知集合 Ax R|x|2 ，BxR|x1，则 AB_.解析 (1)U2,3,6,8，A2,3 ， U A6,8(U
5、 A)B 6,8 2,6,86,8(2)AxR|x|2 xR|2x2 ，ABxR |2x 2xR|x1xR|2 x1 答案 (1)6,8 (2)2,1要点三 分类讨论思想在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想分类讨论时要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合元素互异性、集合运算中出现AB，AB A ，ABB 等符号语言时对是否是 的讨论等【例 3】 已知集合 Ax|x0 ，B x|x2x p0，且 BA，求实数 p 的取值范围解 (1)当 B 时，B A，由 (1) 24p0，解得 p .14(2)当 B，且 BA 时，方
6、程 x2xp0 存在两个正实根由 x1x 210，( 1)24p0，且 x1x2p0，得 0p .14由(1)(2)可得 p 的取值范围为 p|p0 【训练 3】 设集合 Ax 2,2x1，4，Bx5，1x，9，若 AB9，求满足条件的 x 的值解 由 AB 9，得 9A，所以 x29 或 2x19.故 x3 或 x5.当 x3 时， B2，2,9，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去当 x3 时， A9，7，4，B 8,4,9，满足题意当 x5 时， A25,9，4，B0 ，4,9，AB9，4与已知矛盾，应舍去，综上所述，满足条件的 x 值为3.要点四 数形结合思想集合问题大都比较抽象，解题时要
7、尽可能借助 Venn 图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化，从而使问题获解【例 4】 已知集合 Ax|x1，或 x1，Bx|2axa1，a1，BA，求实数 a 的取值范围解 a 1， 2aa1， B .画出数轴分析，如图所示由图知，要使 BA，需 2a1 或 a11，即 a 或 a2.又a1，12实数 a 的取值范围是 a|a2，或 a1 12【训练 4】 已知集合 Ax|x1，或 x2，集合 Bx|4xp0当BA 时，求实数 p 的取值范围解 集合 A，B 都是以不等式的形式给出的数集，欲求满足 BA 的实数 p，可先将集合 A 在数轴上表示出来，然后再根据集合 B 中不等式的方向，确定 p 与集合 A 中端点1 或 2 的关系Bx |4xp0 ，x|x p4将集合 A 在数轴上表示出来，如图所示BA， 1，即 p4.p4故实数 p 的取值范围是p |p4
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