1、2 22 椭圆的简单几何性质第 1 课时 椭圆的简单几何性质1掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质 2明确椭圆标准方程中 a、b 以及 c、e 的几何意义，a、b、c 、e 之间的相互关系 3能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1(ab0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2范围 axa 且byb bxb 且ay a顶点A1(a，0) ，A 2(a，0)，B 1(0， b)，B2(0，b)A1(0，a)，A 2(0，a)，B 1( b，0)，B2(b，0)轴长 短轴长2b，长轴长2a焦点 F1
2、(c ，0)，F 2(c，0) F1(0，c)，F 2(0，c)焦距 |F1F2|2c对称性 对称轴： x 轴和 y 轴，对称中心：原点离心率 e (0e1)ca椭圆离心率的意义当 e 越接近于 1 时，c 越接近于 a，从而 b 越小，因此椭圆越扁；a2 c2当 e 越接近于 0 时，c 越接近于 0，从而 b 越接近于 a，因此椭圆越接近于圆；a2 c2当且仅当 ab 时，c0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为 x2y 2a 2 判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点( )(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为 ac( )(3)椭圆的离心率
3、e 越接近于 1，椭圆越圆( )(4)椭圆 1(a b0)的长轴长等于 a( )x2a2 y2b2答案：(1) (2) (3) (4)椭圆 6x2y 26 的长轴端点坐标为( )A(1，0) ， (1，0) B(6，0) ，(6，0)C( ，0)，( ，0) D (0， )，(0 ， )6 6 6 6答案：D与椭圆 9x24y 236 有相同焦点，且短轴长为 2 的椭圆的标准方程是( )A 1 Bx 2 1x22 y24 y26C y21 D 1x26 x28 y25答案：B设 P(m，n)是椭圆 1 上任意一点，则 m 的取值范围是_x225 y29答案：5，5探究点 1 椭圆的简单几何性质
4、求椭圆 4x29y 236 的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率【解】 将椭圆方程变形为 1，x29 y24所以 a3，b2，所以 c a2 b2 9 4 5所以椭圆的长轴长和焦距分别为 2a6，2c2 ，焦点坐标为 F1( ，0)，F 2( ，0)，5 5 5顶点坐标为 A1(3，0) ，A 2(3，0)，B 1(0，2)，B2(0，2) ，离心率 e ca 53用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式(2)确定焦点位置(3)求出 a，b，c(4)写出椭圆的几何性质注意 长轴长、短轴长、焦距不是 a，b，c，而应是 a，b，c 的两倍 1已知椭圆 C1： 1，C 2：
5、1，则( )x212 y24 x216 y28AC 1 与 C2 顶点相同 BC 1 与 C2 长轴长相同CC 1 与 C2 短轴长相同 DC 1 与 C2 焦距相等解析：选 D由两个椭圆的标准方程可知： C1 的顶点坐标为(2 ，0) ，(0，2)，长3轴长为 4 ，短轴长为 4，焦距为 4 ；C 2 的顶点坐标为(4，0) ，(0，2 )，长轴长为3 2 28，短轴长为 4 ，焦距为 4 故选 D2 22椭圆 1 上点 P 到右焦点的距离的( )x225 y29A最大值为 5，最小值为 4B最大值为 10，最小值为 8C最大值为 10，最小值为 6D最大值为 9，最小值为 1解析：选 D椭
6、圆上的点到右焦点的最大距离为 ac，最小距离为 ac即最大值为9，最小值为 1探究点 2 利用几何性质求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)短轴长 2 ，离心率 e ；523(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6【解】 (1)由 2b2 ，e ，得 b25， ，a 29当焦点在 x 轴上时，5ca 23 a2 b2a2 49所求椭圆的标准方程为 1；x29 y25当焦点在 y 轴上时，所求椭圆的标准方程为 1y29 x25综上，所求椭圆的标准方程为 1 或 1x29 y25 y29 x25(2)依题意可设椭圆方程为 1( ab0)x2a2 y2b2
7、如图所示，A 1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|c，| A1A2|2b，所以 cb3，所以 a2b 2c 218，故所求椭圆的方程为 1x218 y29求椭圆标准方程的常用方法(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法(2)根据已知条件“选标准，定参数” 其一般步骤为： 确定焦点所在的坐标轴；求出 a2，b 2 的值；写出标准方程 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程(1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5，焦点到椭圆中心的距离为 3；(2)离心率为 ，经过点(2 ，0) 32解：(1)由题意知 a5，c3，b 225916，焦点所在
8、坐标轴可为 x 轴，也可为 y轴，故椭圆的标准方程为 1 或 1x225 y216 x216 y225(2)由 e ，设 a2k ，c k，k0，则 bkca 32 3又经过的点(2，0)为其顶点，故若点(2，0) 为长轴顶点，则 a2，b1，椭圆的标准方程为 y 21；x24若点(2，0) 为短轴顶点，则 b2，a4，椭圆的标准方程为 1x24 y216探究点 3 求椭圆的离心率(2017高考全国卷) 已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右顶点分别为x2a2 y2b2A1，A 2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay2ab 0 相切，则 C 的离心率为( )A B63 33C D2
9、3 13【解析】 以线段 A1A2 为直径的圆的方程为 x2y 2a 2，该圆与直线 bxay 2ab0相切，所以 a，|b0 a0 2ab|b2 （ a）2即 2b ，a2 b2所以 a23b 2，因为 a2b 2c 2，所以 ，c2a2 23所以 e ca 63【答案】 A求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 e 求解若已知 a，b 或 b，c 可借助于caa2b 2c 2 求出 c 或 a，再代入公式 e 求解ca(2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的关系式，借助于a2b 2c 2 转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再
10、将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围 1已知椭圆 1(a b0)的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点x2a2 y2b2分别是 F1，F 2若|AF 1|，|F 1F2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A B14 55C D 212 5解析：选 B设 c 为椭圆的半焦距，由题意知|AF1|a c，| F1F2|2c，|F 1B|ac又| AF1|，|F 1F2|，|F 1B|成等比数列，所以(2c) 2(ac)(ac)a 2c 2，整理得 a2 5c2所以离心率 e ca c2a2 15 552(2018日照高二检测
11、)已知椭圆 1(ab0)，F 1，F 2 分别是椭圆的左、右焦x2a2 y2b2点，椭圆上总存在点 P 使得 PF1PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为_解析：由 PF1PF 2，知F 1PF2 是直角三角形，所以|OP|cb，即 c2a 2c 2，所以 a c，2因为 e ，0e 1，ca所以 e122答案： 22，1)1椭圆 25x29y 21 的范围为( )A|x| 5，|y| 3 B|x| ，|y|15 13C|x| 3，|y| 5 D |x| ，|y| 13 15解析：选 B椭圆方程可化为 1，x2125y219所以 a ，b ，13 15又焦点在 y 轴上，所以|x| ，|y| 故
12、选 B15 132已知椭圆中心在原点，一个焦点为( ，0)，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭3圆的标准方程是( )A y 21 Bx 2 1x24 y24C y21 D x2 1x23 y23解析：选 A因为一个焦点为 ( ，0) ，所以焦点在 x 轴上且 c 又因为长轴长3 3是短轴长的 2 倍，所以 2a22b，a2b，结合 a2b 2c 2 解得 b1，a2，所以椭圆的标准方程是 y21故选 Ax243已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ，它的长轴长等于圆 x2y 22x150 的半12径，则椭圆的标准方程是( )A 1 B y 21x24 y23 x24C 1 D 1x216 y2
13、4 x216 y212解析：选 A圆的方程可化为 (x1) 2y 24 2，故 2a4，即 a2，又 e ，所以ca 12c1，b 2a 2 c23又椭圆的焦点在 x 轴上，所以其标准方程为 1，故选 Ax24 y234已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9，则椭圆 E 的离心率等于_解析：根据题意得 2b6，ac9 或 ac9(舍去)又因为 a2b 2c 2，所以 a5，c4，故 e ca 45答案：45知识结构 深化拓展1两个常用结论(1)与椭圆 1(a b0)有相同离心率的椭圆方程x2a2 y2b2为 k 1(k10，焦点在 x 轴上)或x2a2 y2b2
14、 k 2(k20，焦点在 y 轴上)y2a2 x2b2(2)与椭圆 1 有相同焦点的椭圆方程为x2a2 y2b2 1(k 2，所以 a2m ，b 22，所以 c2 m2因为 e ，所以 ，所以 ，所以 m 12 c2a2 14 m 2m 14 834已知焦点在 x 轴上的椭圆： y 21，过焦点作垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A，Bx2a2两点，且| AB| 1，则该椭圆的离心率为( )A B32 12C D154 33解析：选 A椭圆的焦点坐标为 ( ，0)，不妨设 A ，可得a2 1 (a2 1，12) 1，a2 1a2 14解得 a2，椭圆的离心率为 e 故选 Aa2 1a 325已知
15、F1，F 2 是椭圆 1(ab0) 的两个焦点，若存在点 P 为椭圆上一点，x2a2 y2b2使得F 1PF2 60，则椭圆离心率 e 的取值范围是( )A B22，1) (0，22)C D12，1) 12，22)解析：选 C在PF 1F2 中，设|PF 1|m ，|PF 2|n，则 mn2a，根据余弦定理，得(2c)2m 2n 22mncos 60，配方得 (mn) 23mn4c 2，所以 3mn4a 24c 2，所以 4a24c 23mn 3 3a 2，(m n2 )2即 a24c 2，故 e2 ，c2a2 14解得 e1故选 C126已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 上的点到焦
16、点的距离的最大值为 3，最小值为 1，则椭圆 C 的标准方程为 _解析：由题意知 ac3，ac1，解得 a2，c 1，则 b23又焦点在 x 轴上，所以椭圆 C 的标准方程为 1x24 y23答案： 1x24 y237与椭圆 9x24y 236 有相同焦点，且短轴长为 4 的椭圆方程是 _5解析：椭圆 9x24y 236 可化为 1，因此可设待求椭圆方程为 1x24 y29 x2m y2m 5又 b2 ，故 m20，得 15x220 y225答案： 1x220 y2258在平面直角坐标系 xOy 中， F1，F 2 分别为椭圆 1(ab0)的左、右焦点已x2a2 y2b2知点 P(a，b)，
17、F 1PF2 为等腰三角形，则椭圆的离心率 e_解析：设 F1( c，0)，F 2(c，0)(c0)，由题意得| PF2| F1F2|，即 2c把 b2a 2c 2 代入，整理得 2 10，（a c）2 b2 (ca)2ca解得 1(舍去)或 所以 e ca ca 12 ca 12答案：129求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，其离心率为 ，焦距为 8；12(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为 3解：(1)由题意知，2c8，c4，所以 e ，所以 a8，ca 4a 12从而 b2a 2c 248，所以椭圆的标准方程
18、是 1y264 x248(2)由已知 a 2c，a c 3，)所以 从而 b29，a 23，c 3. )所以所求椭圆的标准方程为 1 或 1x212 y29 x29 y21210已知椭圆 1(ab0)的三个顶点 B1(0，b)，B 2(0，b)，A (a，0)，焦点x2a2 y2b2F(c， 0)，且 B1FAB 2，求椭圆的离心率解：直线 B1F 的斜率为 kB1F ，直线 AB2 的斜率为 kAB2 bc ba因为 B1FAB 2，所以 kB1FkAB21，即 1，所以 1，b2ac a2 c2ac所以 1，即 e1ac ca 1e所以 e2e10，解得 e 或 e 5 12 5 12因为
19、 0e1，所以 e 舍去 5 12所以椭圆的离心率为 5 12B 能力提升11若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，x24 y23则 的最大值为( )OP FP A2 B3C6 D 8解析：选 C由题意得 F(1，0)，设点 P(x0，y 0)，则 y 3 (2x 02)，20 x 0(x01)y x x 0y x x 0 (x02) 22，OP FP 20 20 20 20 14当 x02 时， 取得最大值为 6OP FP 12焦点在 x 轴上，长轴长为 20，短轴长为 16 的椭圆的内接矩形中面积最大的矩形周长为_解析：由题意得 a10，b8，设内
20、接矩形 ABCD 位于第一象限的顶点为 A(x0，y 0)，则有 1，且 S 矩形 ABCD4x 0y0由于 x y x 64 x (100x )2020 20162520 20 16251 600，当且仅当 x 100x ，即 x 50 时“ ”成立此时 y 32，即当 x052 20 20 20 20， y0 4 时，椭圆的内接矩形面积最大，这时内接矩形周长为 4(x0y 0)36 2 2 2答案：36 213已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O，两个焦点分别为 A(1，0)，B(1，0) ，一个顶点为 H(2，0) (1)求椭圆 E 的标准方程；(2)对于 x 轴上的点 P(t，0) ，椭
21、圆 E 上存在点 M，使得 MPMH ，求实数 t 的取值范围解：(1)由题意可得，c1，a2，所以 b 3所以所求椭圆 E 的标准方程为 1x24 y23(2)设 M(x0，y 0)(x02)，则 1(tx 0，y 0)， (2x 0，y 0)，MP MH 由 MPMH 可得 0，MP MH 即(tx 0)(2x 0)y 020由消去 y0，整理得 t(2x 0) x 2x 031420因为 x02，所以 t x0 14 32因为2x 02，所以2t1所以实数 t 的取值范围为(2，1)14(选做题)(2018武汉高二检测)如图，已知椭圆 1( ab0)，F 1，F 2 分别为x2a2 y2
22、b2椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线 AF2 交椭圆于另一点 B(1)若F 1AB90，求椭圆的离心率；(2)若 2 ， ，求椭圆的方程AF2 F2B AF1 AB 32解：(1)若F 1AB90，则 AOF2 为等腰直角三角形，所以有 OAOF 2，即 bc 所以 a c， e 2ca 22(2)由题意知 A(0，b)，F 1(c，0)，F 2(c，0) 其中 c ，a2 b2设 B(x，y)由 2 (c，b)2(xc，y)，AF2 F2B 解得 x ，y ，3c2 b2即 B (3c2， b2)将 B 点坐标代入 1，x2a2 y2b2得 1，94c2a2b24b2即 1，9c24a2 14解得 a23c 2又由 (c，b) AF1 AB (3c2， 3b2) 32b2c 21，即有 a22c 21由解得 c21，a 23，从而有 b22所以椭圆方程为 1x23 y22
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