1、23 双曲线231 双曲线及其标准方程1了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程 2掌握双曲线的标准方程3会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题1双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的差的绝对值 等于非零常数( 小于| F1F2|)的点的轨迹(2)符号表示：|MF 1|MF 2|2a(常数)(00，b0 且 ab( )x2a2 y2b2答案：(1) (2) (3) 已知双曲线 1，则双曲线的焦点坐标为( )x216 y29A( ，0) ，( ，0) B(5，0) ，(5，0)7 7C(0，5)，(0，5) D (0， )，(0 ， )7 7答案：B双曲线的两
2、焦点坐标是 F1(3，0) ，F 2(3，0)，2b4，则双曲线的标准方程是 ( )A 1 B 1x25 y24 y25 x24C 1 D 1x23 y22 x29 y216答案：A设双曲线 1 的右支上一点 P 到左焦点 F1 的距离是 15，则 P 到右焦点 F2 的x216 y29距离是_答案：7探究点 1 求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)半焦距为 ，经过点( 5，2) ，且焦点在 x 轴上；6(2)过点 P ，Q ，且焦点在坐标轴上(3，154) ( 163，5)【解】 (1)因为半焦距为 ，且焦点在 x 轴上，6则可设双曲线的标准方程为 1(a 26) x2a
3、2 y26 a2因为双曲线经过点(5，2)，所以 1，25a2 46 a2解得 a25 或 a230(舍去)于是双曲线的标准方程为 y 21x25(2)设双曲线的方程为 mx2ny 21( mn0) ，因为 P，Q 两点在双曲线上，所以 解得9m 22516n 1，2569m 25n 1，) m 116，n 19. )所以所求双曲线的方程为 x2 1，116 y29即 1y29 x216求双曲线的标准方程的方法(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量 ”，利用待定系数法求解(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上进行分类讨论(3)当已知双曲线经
4、过两点，求双曲线的标准方程时，可把双曲线方程设成mx2ny 21(mn0)的形式求解 求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a2 ，经过点 A(2，5) ，焦点在 y 轴上；5(2)与椭圆 1 有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为 4x227 y236解：(1)因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为 1( a0，b0)y2a2 x2b2由题意知，a2 ，且点 A(2，5)在双曲线上，5所以 解得 a220，b 216a 25，25a2 4b2 1，)故所求双曲线的标准方程为 1y220 x216(2)椭圆 1 的两个焦点为 F1(0，3)，F 2(0，3) ，双曲线与椭圆的
5、一个交点为 (x227 y236， 4)或( ，4)15 15设双曲线的标准方程为 1(a0 ，b0)，y2a2 x2b2则 解得42a2 （15）2b2 1，a2 b2 32，) a2 4，b2 5.)故所求双曲线的标准方程为 1y24 x25探究点 2 双曲线定义的应用设 P 为双曲线 x2 1 上的一点，F 1，F 2 是该双曲线的两个焦点，若y212|PF1| PF2|3 2，求PF 1F2 的面积【解】 由已知得 2a2，又由双曲线的定义得|PF 1| PF2|2，因为|PF 1| PF2|32，所以|PF 1|6，| PF2|4又|F 1F2|2c2 ，13由余弦定理，得 cosF
6、 1PF2 0，62 42 52264所以F 1PF2 为直角三角形SPF 1F2 6412121变条件 若将“|PF 1|PF 2|32”改为“|PF 1|PF2| 24”，求PF 1F2 的面积解：由双曲线方程为 x2 1，y212可知 a1，b2 ，c 3 1 12 13因为|PF 1|PF2|24，则 cosF 1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2|（|PF1| |PF2|）2 2|PF1|PF2| 4c2224 0，4 224 41348所以PF 1F2 为直角三角形所以 SPF1F2 |PF1|PF2|12122变条件 本例中将条件“| PF1|PF
7、 2|32”改为“ F1PF2120” ，求PF 1F2的面积解：由已知得 2a2，c ，13又由双曲线定义得|PF1| |PF2| 2，在PF 1F2 中，由余弦定理可得|PF1|2 |PF2|2 2|PF1|PF2|cosF 1PF2| F1F2|2(2c) 2(2 )252，13由可得|PF 1|PF2|16所以 SPF1F2 |PF1|PF2|sinF 1PF212 16 4 12 32 3求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF 1| PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出
8、|PF 1|PF2|的值；利用公式 SPF1F2 |PF1|PF2|sinF 1PF2 求得面积12(2)方法二：利用公式 SPF1F2 |F1F2|yP|(yP为 P 点的纵坐标)求得面积 121已知双曲线 x2y 21，点 F1，F 2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 PF1 PF2，则| PF1| PF2|的值为_解析：不妨设点 P 在双曲线的右支上，因为 PF1PF 2，所以|F 1F2|2| PF1|2|PF 2|2 (2 )2，2又|PF 1| |PF2| 2，所以(|PF 1|PF 2|)24，可得 2|PF1|PF2|4，则(| PF1|PF 2|)2| PF1|2|
9、 PF2|22|PF 1|PF2|12，所以|PF 1|PF 2|2 3答案：2 32F 1、F 2 是双曲线 1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足 |PF1|PF2|32，x29 y216则F 1PF2_ 解析：设F 1PF2，| PF1|r 1，|PF 2|r 2在F 1PF2 中，由余弦定理，得(2c) 2r r 2r 1r2cos ，21 2所以 cos （r1 r2）2 2r1r2 4c22r1r2 036 64 10064所以 90 答案：90探究点 3 与双曲线有关的轨迹问题如图，在ABC 中，已知|AB|4 ，且三个内角 A，B ，C 满足 2sin Asin 2C2sin
10、 B ，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程【解】 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则 A(2 ，0)， B(2 ，0) 2 2由正弦定理得 sin A ，sin B ，sin C (R 为ABC 的外接圆半径)|BC|2R |AC|2R |AB|2R因为 2sin Asin C2sin B，所以 2|BC|AB|2|AC| ，从而有|AC| |BC| |AB|122 |AB|2由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支 (除去与 x 轴的交点)因为 a ，c 2 ，所以 b2c 2a 26，2 2即所求轨迹方程为 1(x )
11、x22 y26 2定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标的点是否都在所给的曲线上 已知圆 C1：(x3) 2y 29，圆 C2：(x3) 2y 21(1)若动圆 M 与圆 C1 外切，且与圆 C2 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程；(2)若动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程解：(1)设动圆半径为 R，因为圆 M 与圆 C1 外切，且与圆 C2 内切，所以|MC 1|R3，| MC2|R1，所以|MC 1|MC 2|4所以
12、点 M(x，y )的轨迹是以 C1，C 2 为焦点的双曲线的右支，且有a2，c3，b 2c 2a 25，所以所求轨迹方程为 1(x2)x24 y25(2)如图，设动圆半径为 R，根据两圆外切的条件，得|MC 2|R1，| MC1|R3，则|MC 1|MC 2|2这表明动点 M 与两定点 C1，C 2 的距离的差是常数 2根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的右支(点 M 与 C1 的距离大，与 C2 的距离小)，这里 a1，c3，则b28，设点 M 的坐标为(x ， y)，则其轨迹方程为 x2 1(x1)y281已知双曲线的一个焦点 F1(0，5) ，且过点(0，4)，则该双曲线的标准方
13、程为 ( )A 1 B 1x29 y216 y216 x29C 1 D 1x29 y225 y225 x29解析：选 B由已知得，c 5，a4，所以 b3所以双曲线的标准方程为 1y216 x292若 kR，方程 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 k 的取值范围是( )x2k 3 y2k 2A3k2B k 3Ck 3 或 k2 Dk2解析：选 A由题意可知 k 3 0，k 2 0，)解得3k2，选择 A3设 m 是常数，若点 F(0，5)是双曲线 1 的一个焦点，则 m_y2m x29解析：由点 F(0，5) 可知该双曲线 1 的焦点落在 y 轴上，所以 m0，且y2m x29m95 2，
14、解得 m16答案：164求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)已知焦点 F1(0，6)，F 2(0，6) ，双曲线上的一点 P 到 F1，F 2 的距离的差的绝对值等于 8；(2)与双曲线 1 有相同的焦点，且经过点(3 ，2)x216 y24 2解：(1)因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 1(a0，b0) y2a2 x2b2因为 2a8，2c12，所以 a4，c6，所以 b26 24 220所以所求双曲线的标准方程为 1y216 x220(2)因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为 1(a0 ，b0)，x2a2 y2b2所以 c216420，即 a2b 220因为双曲线
15、经过点(3 ，2)，2所以 118a2 4b2由得 a212，b 28，所以双曲线的标准方程为 1x212 y28知识结构 深化拓展1对双曲线定义的理解设 M(x，y)为双曲线 1(a0，b0)上的任意一点，x2a2 y2b2左、右焦点分别为 F1，F 2若点 M 在双曲线的右支上，则|MF1|MF2|，|MF 1|MF 2| 2a；若点 M 在双曲线的左支上，则|MF 1|0，b0)有公共焦点的双曲线的方程x2a2 y2b2为 1(a0，b0)；与双曲线x2a2 y2b2 1(a0，b0)有公共焦点的双曲线的方程为 y2a2 x2b2 y2a2 1(a0， b0)x2b2 学生用书 P113
16、(单独成册)A 基础达标1已知双曲线方程为 x22y 21，则它的右焦点坐标为( )A B(22，0) ( 52，0)C D ( ，0)(62，0) 3解析：选 C将双曲线方程化成标准方程为 1，所以 a21，b 2 ，所以 cx21 y212 12 ，故右焦点坐标为 a2 b262 ( 62，0)2以椭圆 1 的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程x23 y24是( )A y 21 By 2 1x23 x23C 1 D 1x23 y24 y23 x24解析：选 B由题意知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 a1，c2，所以 b23，所以双曲线的方程为 y2 1x233椭圆 1
17、与双曲线 1 有相同的焦点，则 a 的值是( )x24 y2a2 x2a y22A B1 或212C1 或 D 112解析：选 D依题意： 解得 a1a 0，0 a2 4，4 a2 a 2，)4已知点 A(0，4) ，B(0，4)，|PA| PB|2a，当 a 分别为 3，4 时，点 P 的轨迹为( )A双曲线和一条直线B双曲线和两条射线C双曲线一支和一条直线D双曲线一支和一条射线解析：选 D当 a3 时，2a 68，又|PA| PB|2a，故点 P 的轨迹是双曲线的一支；当 a4 时，2a8，又| PA|PB| 2a，故点 P 的轨迹是一条射线5已知平面内两定点 A(5 ，0) ，B(5，0
18、)，动点 M 满足| MA|MB|6，则点 M 的轨迹方程是( )A 1 B 1(x4)x216 y29 x216 y29C 1 D 1(x3)x29 y216 x29 y216解析：选 D由|MA| MB|6，且 6| AB|10，得 a3 ，c5，b 2c 2a 216故其轨迹为以 A，B 为焦点的双曲线的右支所以方程为 1( x3)x29 y2166若点 P 到点(0，3) 与到点 (0，3)的距离之差为 2，则点 P 的轨迹方程为_解析：由题意并结合双曲线的定义，可知点 P 的轨迹方程为双曲线的上支，且c3，2a2，则 a1，b 2918，所以点 P 的轨迹方程为 y2 1( y1)x
19、28答案：y 2 1(y 1)x287在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 1 上一点 M 的横坐标为 3，则点x24 y212M 到此双曲线的右焦点的距离为 _解析：双曲线右焦点为(4，0)，将 x3 代入 1，得 y x24 y212 15所以点 M 的坐标为(3， )或(3， )，15 15所以点 M 到双曲线右焦点的距离为 4（4 3）2 （ 15）2答案：48设 F1，F 2 是双曲线 x2 1 的两个焦点，P 是双曲线上一点，且y2243|PF1| 4|PF2|，则 PF 1F2 的面积为_解析：由题意知|PF 1| PF2|2a2，所以 |PF2| PF2|2，43所以|PF
20、 2|6，| PF1|8，又|F 1F2|10，所以|PF 2|2| PF1|2|F 1F2|2，所以PF 1F2 为直角三角形，且F 1PF290，所以 SPF1F224答案：249已知 1，当 k 为何值时：x21 k y2|k| 3(1)方程表示双曲线；(2)方程表示焦点在 x 轴上的双曲线解：(1)原方程可变形为 1y2|k| 3 x21 k要使方程表示双曲线，必须满足(|k| 3)(1 k)0，即 或 ，解得 k3 或 1k 31 k 0|k| 3 0) 1 k 0|k| 3 0)(2)若方程表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 ，解得 1k 31 k 0|k| 3 0)10焦点在 x
21、轴上的双曲线过点 P(4 ，3)，且点 Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，2求此双曲线的标准方程解：因为双曲线焦点在 x 轴上，所以设双曲线的标准方程为 1(a0，b0) ，F 1(c，0)，F 2(c，0)x2a2 y2b2因为双曲线过点 P(4 ，3)，2所以 132a2 9b2又因为点 Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，所以 0，QF1 QF2 即c 2250解得 c225又 c2a 2b 2，所以由可解得 a216 或 a250(舍去) 所以 b29，所以所求的双曲线的标准方程是 1x216 y29B 能力提升11设 F1，F 2 是双曲线 y 21 的两个焦点，点 P 在双曲线上
22、，当F 1PF2 的面积x23为 2 时， 的值为( )PF1 PF2 A2 B3C4 D 6解析：选 B设点 P(x0，y 0)，依题意得，| F1F2|2 4，S 3 1PF1F2 |F1F2|y0|2|y 0|2，所以|y 0|1又 y 1，所以 x 3(y 1)6所以 12 20 20 20 PF1 (2x 0，y 0)(2x 0，y 0)x y 43PF2 20 2012已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为 F1( ，0)，点 P 在该双曲线上，5线段 PF1 的中点坐标为(0 ，2) ，则该双曲线的标准方程为 ( )A y 21 Bx 2 1x24 y24C 1 D 1x22
23、y23 x23 y22解析：选 B设双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，则 c ，即 a2b 25 x2a2 y2b2 5设 P(x，y) ，由线段 PF1 的中点坐标为(0，2) ，可知 ，得 ，即点 P 5 x2 00 y2 2 ) x 5y 4)的坐标为( ，4)，代入双曲线方程，得 1 联立，得 a21，b 24，即55a2 16b2双曲线的标准方程为 x2 1故选 By2413求与椭圆 x24y 28 有公共焦点的双曲线的方程，使得以此双曲线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积最大解：椭圆的方程可化为 1，x28 y22所以 c2826因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以在双曲线中，a
24、 2b 2c 26，即 b26a 2设双曲线的方程为 1(0a 26) x2a2 y26 a2由解得x2 4a23，y2 6 a23 .)由椭圆与双曲线的对称性可知四个交点构成一个矩形，其面积 S4|xy |4 8，4a236 a23 83 a2（6 a2） 83a2 （6 a2）2当且仅当 a26a 2，即 a23，b 2633 时，取等号所以双曲线的方程是 1x23 y2314(选做题) 已知双曲线过点(3，2) 且与椭圆 4x29y 2 36 有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点 M 在双曲线上， F1、 F2 为左、右焦点，且|MF 1|MF 2|6 ，试判断MF 1F23
25、的形状解：(1)椭圆方程可化为 1，焦点在 x 轴上，且 c ，故可设双曲线x29 y24 9 4 5方程为 1(a0，b0) x2a2 y2b2依题意得 解得 a23，b 22，9a2 4b2 1，a2 b2 5，)所以双曲线的标准方程为 1x23 y22(2)不妨设点 M 在双曲线的右支上，则有 |MF1| MF2|2 ，因为| MF1|MF 2|6 ，3 3所以| MF1|4 ，| MF2|2 又|F 1F2|2 ，3 3 5因此在MF 1F2 中，边 MF1 最长，而 cosMF 2F1 0，|MF2|2 |F1F2|2 |MF1|22|MF2|F1F2|所以MF 2F1 为钝角，故 MF 1F2 为钝角三角形
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