1、242 抛物线的简单几何性质1了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质 2会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题抛物线的简单几何性质标准方程 y22px(p0) y22px( p 0) x22py(p0) x22py( p 0)图形范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR焦点 (p2，0) ( p2，0) (0，p2) (0， p2)准线方程xp2xp2yp2yp2对称轴 x 轴 y 轴顶点 (0，0)离心率 e1抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异(1)它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；(2)顶点个数不同，椭圆有 4 个顶点，双曲线有 2 个顶点，
2、抛物线只有 1 个顶点；(3)焦点个数不同，椭圆和双曲线各有 2 个焦点，抛物线只有 1 个焦点；(4)离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是 01，抛物线的离心率是 e1；(5)椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线 判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)抛物线关于顶点对称( )(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同( )(4)抛物线 x24y，y 24x 的 x，y 的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同( )答案：(1) (2) (3) (4)抛物线 2y3x 2 的准线方程为(
3、)Ay By16 14Cy D y112答案：A顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程是( )Ax 23y By 26xCx 2 12y D x26y答案：C抛物线 y2px 2(p0)的对称轴为_答案：y 轴探究点 1 抛物线的几何性质(1)等腰 RtABO 内接于抛物线 y22px( p0)，O 为抛物线的顶点，OAOB ，则ABO 的面积是( )A8p 2 B4p 2C2p 2 D p2(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2y 24 相交的公共弦长等于 2 ，求这条抛物线的方程3【解】 (1)选 B由抛物线的对称性质及 O
4、AOB 知，直线 OA 的方程为 yx，由得 A(2p，2p)，则 B(2p，2p)，所以|AB| 4p ，所以 SABO 4p2p4p 2，选y x，y2 2px，) 12择 B(2)设所求抛物线的方程为 y22px(p0)或 y22px(p0)，交点 A(x1，y 1)(y10)，B(x2，y 2)(y20)，由 A ， B ，可得|AB|2p，故抛物(p2，p) (p2， p)线的通径长为 2p注意 通径是所有焦点弦中最短的弦(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线 y22px (p0)的焦点的弦的端点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则|AB|x 1x 2 p，然后利用弦所在
5、直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出 x1x 2即可 1过抛物线 x24y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)两点，若 y1y 26，则|P 1P2|( )A5 B6C8 D 10解析：选 C抛物线 x24y 的准线为 y1，因为 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线 l 与抛物线的交点，所以 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)两点到准线的距离分别是y11，y 21，所以|P 1P2|y 1y 2282已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，|AF|2，则|BF
6、|_解析：设点 A，B 的横坐标分别是 x1，x 2，则依题意有焦点 F(1，0)，|AF| x 112，则 x11，故直线 AF 的方程是 x1，此时弦 AB 为抛物线的通径，故|BF|AF| 2答案：2探究点 3 直线与抛物线的位置关系已知直线 l：y kx1 ，抛物线 C：y 24x ，当 k 为何值时， l 与 C 有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？【解】 由 消去 y 可得y kx 1，y2 4x，)k2x2(2k4)x10(*)当 k0 时，方程(*)只有一个解，则有 x ，y114所以直线 l 与 C 只有一个公共点 ，(14，1)此时直线 l 平行于 x 轴当 k0 时，
7、方程(*)是一个一元二次方程(2k4) 24k 24k 216k164k 216k16(1)当 0，即 k1 时，l 与 C 没有公共点，此时直线 l 与 C 相离综上所述，当 k1 或 k0 时，直线 l 与 C 有一个公共点；当 k1 时，直线 l 与 C 没有公共点直线与抛物线位置关系的判断方法设直线 l：ykxb，抛物线： y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2(2 kb2p )xb 20(1)若 k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合(2)若 k20，当 0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 0 时，直线与抛物线相切，
8、有一个交点；当 0)，通径为 2p8，p42设 A，B 是抛物线 x24y 上两点，O 为原点，若| OA|OB|，且AOB 的面积为16，则AOB ( )A30 B45C60 D 90解析：选 D由|OA| OB|，知抛物线上点 A，B 关于 y 轴对称，设 A ，B( a，a24)，则 S AOB 2a 16，解得 a4，所以| AB|8，|OA| OB|4 ，所以(a，a24) 12 a24 2AOB903过点 P(0， 1)与抛物线 y2x 有且只有一个交点的直线有( )A4 条 B3 条C2 条 D 1 条解析：选 B当直线垂直于 x 轴时满足条件，当直线不垂直于 x 轴时，设直线方
9、程为ykx 1，满足条件的直线有两条，共三条满足题意的直线4过抛物线 y28x 的焦点作直线 l，交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3，求| AB|的值解：由抛物线 y28x 知，p4设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF|x 1 ，|BF|x 2 ，所以p2 p2|AB| AF|BF |x 1 x 2 x 1x 2p，p2 p2所以 x1x 2|AB|p由条件知 3，x1 x22则 x1x 26，所以|AB|p6，又因为 p4，所以|AB|10知识结构 深化拓展焦点弦的性质如图，AB 是过抛物线 y22px( p0)的焦点 F 的一条弦
10、，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点 M(x0，y 0)，相应的准线为 l(1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切(2)|AB|2 (焦点弦长与中点关系)(x0 p2)(3)|AB|x 1x 2p(4)若直线 AB 的倾斜角为 ，则|AB | ：如当2psin290时，AB 叫抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的(5)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2 ，y 1y2p 2p24(6) 1|AF| 1|BF| 2p学生用书 P119(单独成册)A 基础达标1顶点在原点，焦点为 F 的抛物线的标准方程是( )(32，0)Ay 2 x By 23x32C
11、y 2 6x D y26x解析：选 C顶点在原点，焦点为 F 的抛物线的标准方程可设为 y22px(p0)，(32，0)由题意知 ，故 p3因此，所求抛物线的标准方程为 y26xp2 322已知直线 ykxk (k 为实数)及抛物线 y22px(p0)，则( )A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线没有公共点解析：选 C因为直线 ykx k 恒过点(1 ，0)，点(1，0)在抛物线 y22px 的内部，所以当 k0 时，直线与抛物线有一个公共点，当 k0 时，直线与抛物线有两个公共点3过抛物线 y22px (p0)的焦点作一条直线交抛
12、物线于点 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则为( )y1y2x1x2A4 B4Cp 2 D p2解析：选 B法一：(特例法)当直线垂直于 x 轴时，点A ，B ， 4(p2，p) (p2， p) y1y2x1x2 p2p24法二：由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得y1y2p 2，则 4y1y2x1x2 4p2y1y2 4p2 p24有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y22px(p0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )A2 p B4 p3 3C6 p D 8 p3 3解析：选 B设 A、B 在 y22px 上，另一个顶点为 O，则 A、B 关于 x 轴对称，则AOx
13、30，则 OA 方程为 y x由 得 y2 p，所以AOB 的边长为33 y 33x，y2 2px，) 34 p35直线 4kx4yk 0 与抛物线 y2x 交于 A，B 两点，若|AB| 4，则弦 AB 的中点到直线 x 0 的距离等于( )12A B274C D 494解析：选 C直线 4kx4y k0，即 yk ，即直线 4kx4yk0 过抛物线(x 14)y2x 的焦点 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB| x 1 x2 4，故 x1x 2 ，则弦(14，0) 12 72AB 的中点的横坐标是 ，弦 AB 的中点到直线 x 0 的距离是 74 12 74 12 94
14、6过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，若|AB| 7，则线段 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点为 F(1， 0)，准线方程为 x1由抛物线的定义知|AB| AF|BF |x 1 x 2 x 1x 2p，即 x1x 227，得 x1x 25，于是线段 ABp2 p2的中点 M 的横坐标为 ，因此点 M 到抛物线准线的距离为 1 ，故填 52 52 72 72答案：727已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上，直线 yx 与抛物线 C 交于A，B 两点，若 P(2，2)为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为
15、 _解析：设抛物线 C 的方程为 y2ax( a0)，由方程组 ，得交点坐标为 A(0，0)，y2 axy x)B(a， a)，而点 P(2，2)是 AB 的中点，从而有 a4，故所求抛物线 C 的方程为 y24x答案：y 24x8已知 A(2， 0)，B 为抛物线 y2x 上的一点，则|AB| 的最小值为_解析：设点 B(x，y) ，则 xy 20，所以|AB| （x 2）2 y2 （x 2）2 x x2 3x 4 (x 32)2 74所以当 x 时，|AB |取得最小值，且|AB |min 32 72答案：729若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与 y 轴的交点，A 为
16、抛物线上一点，且| AM| ，| AF|3，求此抛物线的标准方程17解：设所求抛物线的标准方程为x22py(p0)，设 A(x0，y 0)，由题知 M (0， p2)因为|AF|3，所以 y0 3，p2因为|AM| ，17所以 x 17，20 (y0 p2)2 所以 x 8，代入方程 x 2py 0得，20 2082p ，解得 p2 或 p4(3 p2)所以所求抛物线的标准方程为 x24y 或 x28y10已知抛物线 y2x 与直线 yk(x1) 相交于 A，B 两点(1)求证：OA OB；(2)当AOB 的面积等于 时，求 k 的值10解：(1)证明：如图，由方程组 消去 x 并整理，得 k
17、y2yk0y2 x，y k（x 1），)设点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由根与系数的关系知 y1y 2 ，y 1y211k因为 kOAkOB 1，y1x1y2x2 1y1y2所以 OAOB (2)设直线与 x 轴交于点 N，显然 k0令 y0，则 x1，即点 N(1，0)所以 SOAB S OAN S OBN |ON|y1| |ON|y2|12 12 |ON|y1y 2|12 112 （y1 y2）2 4y1y2 ，12 ( 1k)2 4 10所以 k 16B 能力提升11设直线 l1：y 2x，直线 l2 经过点 P(2，1)，抛物线 C：y 24x，已知 l1，l 2 与
18、C 共有三个交点，则满足条件的直线 l2 的条数为( )A1 B2C3 D 4解析：选 C因为点 P(2，1)在抛物线内部，且直线 l1与抛物线 C 交于两点，所以过点 P 的直线 l2在分别过这两点或与 x 轴平行时符合题意所以满足条件的直线 l2共有 3条12直线 yx3 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，过 A，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P，Q，则梯形 APQB 的面积为_ 解析：由 ，消去 y 得 x210x90，得 x1 或 9，即 或 所y2 4xy x 3) x 1y 2) x 9y 6)以|AP| 10，| BQ|2 或|BQ| 10，| AP|2，所以|
19、 PQ|8，所以梯形 APQB 的面积S 84810 22答案：4813已知顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线被直线 x2y10 截得的弦长为 ，15求此抛物线方程解：设抛物线方程为 x2ay (a0)，由 消去 y，得 2x2axa0x2 ay，x 2y 1 0)因为直线与抛物线有两个交点，所以 (a) 242a0 ，即 a8设直线与抛物线两个交点的坐标为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 ，y 1y 2 (x1x 2)，a2 a2 12所以|AB| （x1 x2）2 （y1 y2）254（x1 x2）2 54（x1 x2）2 4x1x2 14 5（a
20、2 8a）因为|AB| ，所以 ，1514 5（a2 8a） 15即 a28a480，解得 a4 或 a12，所以所求抛物线方程为 x24y 或 x212y14(选做题) 如图，已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 P(2，0) 的直线交抛物线于A(x1，y 1)，B (x2，y 2)两点，直线 AF，BF 分别与抛物线交于点 M，N(1)求 y1y2 的值；(2)记直线 MN 的斜率为 k1，直线 AB 的斜率为 k2，证明： 为定值k1k2解：(1)依题意，设 AB 的方程为 xmy2，代入 y24x，得 y24my 80，从而y1y28(2)证明：连接 MN，设 M(x3，y 3)，
21、N(x 4，y 4)， ，k1k2 y3 y4x3 x4 x1 x2y1 y2 y1 y2y3 y4设直线 AM 的方程为 xny 1，代入 y24x 消 x 得：y 24ny40，所以y1y34，同理 y2y44， ，k1k2 y1 y2y3 y4 y1 y2 4y1 4y2 y1y2 4由(1)知 y1y28，所以 2 为定值k1k2双曲线与抛物线 (强化练)学生用书 P121(单独成册)一、选择题1顶点在坐标原点，准线方程为 y1 的抛物线的标准方程是( )Ax 22y Bx 24yCx 2 2y D x24y解析：选 B抛物线的准线为 y1，故其焦点在 y 轴负半轴上，且 1，所以抛物
22、线p2的标准方程为 x24y 2已知双曲线 1( a0)的右焦点为(3 ，0)，则该双曲线的离心率等于( )x2a2 y25A B31414 324C D32 43解析：选 C根据右焦点坐标为 (3，0)，知 c3，则 a2 59，所以 a2，故 e ca323已知双曲线的实轴长和虚轴长等长，且过点(5，3) ，则双曲线方程为 ( )A 1 B 1x225 y225 x29 y29C 1 D 1y216 x216 x216 y216解析：选 D由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为 x2y 2 (0)，将点(5，3)代入方程，可得 523 216，所以双曲线方程为 x2y 216，即 1
23、x216 y2164若抛物线 y22x 上有两点 A，B，且 AB 垂直于 x 轴，若| AB|2 ，则抛物线的焦2点到直线 AB 的距离为( )A B12 14C D16 18解析：选 A线段 AB 所在的直线的方程为 x1，抛物线的焦点坐标为 ，则焦点(12，0)到直线 AB 的距离为 1 12 125已知中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2) ，则它的离心率为( )A B6 5C D62 52解析：选 D由题意知过点(4，2)的渐近线的方程为 y x，所以2 4，ba ba所以 ，e 2 1 1 ，所以 e ，故选 Dba 12 b2a2 14 54 526
24、已知双曲线 1( b0)的右焦点与抛物线 y212x 的焦点重合，则该双曲线的x24 y2b2焦点到其渐近线的距离等于( )A B45 2C3 D 5解析：选 A由题易得抛物线的焦点为 (3，0)，所以双曲线的右焦点为(3，0)，所以b2945，所以双曲线的一条渐近线方程为 y x，即 x2y0，所以所求距离为52 5d |35|5 4 57(2018上海金山调研)与直线 2xy40 平行的抛物线 yx 2 的切线方程为( )A2xy30 B2xy30C2x y10 D 2xy10解析：选 D设切线方程为 2xym0，联立 ，得 x22xm0由y x22x y m 0)4 4m0，得 m1，所
25、以切线方程为 2xy1 0故选 D8已知双曲线的中心在原点，两个焦点 F1，F 2 的坐标分别为( ，0)和( ，0) ，点5 5P 在双曲线上，且 PF1PF 2，PF 1F2 的面积为 1，则双曲线的方程为( )A 1 B 1x22 y23 x23 y22C y21 D x2 1x24 y24解析：选 C由题意，知 |PF1|PF2| 2|PF1|2 |PF2|2 （25）2)(|PF1|PF 2|)216，即 2a4，解得 a2，又 c ，所以 b1，所以所求双曲线的5方程为 y 21故选 Cx249(2018泉州高二检测)已知点 A(4，0)，抛物线 C：x 212y 的焦点为 F，射
26、线 FA 与抛物线和它的准线分别相交于点 M 和 N，则|FM |MN| 等于( )A23 B34C35 D 45解析：选 C抛物线焦点为(0，3)，又 A(4，0)，所以 FA 的方程为 3x4y 12 0，设 M(xM，y M)由 x2 12y，3x 4y 12 0，)可得 xM3(负值舍去)，所以 yM ，34所以 故选 C|FM|MN| 3510如图，已知双曲线 1(a0 ，b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，|F 1F2|4，P 是x2a2 y2b2双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与 y 轴交于点 A， APF1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q，若| PQ| 1，则双
27、曲线的离心率是( )A3 B2C D3 2解析：选 B记APF 1的内切圆在边 AF1，AP 上的切点分别为 N，M ，则|AN| AM|，|NF 1|QF 1|，|PM| | PQ|又|AF 1| AF2|，所以|NF1| AF1| AN|AF 2|AM| |MF 2|，所以|QF 1|MF 2|则|PF 1|PF 2|(|PQ| QF1|)(| MF2| PM|)| PQ| PM|2| PQ|2，即 2a2，则 a1由|F 1F2|42c，得 c2，所以双曲线的离心率 e 2，故选 Bca二、填空题11抛物线 yax 2 的准线方程是 y2，则 a 的值为_ 解析：将 yax 2化为 x2
28、 y，由于准线方程为 y2，所以抛物线开口向下， 0，且1a 1a 2，所以|14a|a 18答案：1812已知 ab0，若椭圆 1 与双曲线 1 的离心率之积为 ，则双曲线x2a2 y2b2 x2a2 y2b2 32的渐近线方程为_解析：由已知及椭圆、双曲线的几何性质，得 ，所以 ，所1 (ba)2 1 (ba)2 32 ba 12以双曲线的渐近线方程为 y x，即 x y012 2答案：x y0213已知双曲线 1( b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与x24 y2b2双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C ，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为_解析
29、：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形 ABCD 为矩形双曲线的渐近线方程为y x，圆的方程为 x2y 24，不妨设交点 A 在第一象限，由 y x，x 2y 24，得 xAb2 b2， yA ，故四边形 ABCD 的面积为 4xAyA 2b，解得 b212，故所求44 b2 2b4 b2 32b4 b2的双曲线方程为 1x24 y212答案： 1x24 y21214已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，准线为 l，过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 M，若AMF 与AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比为 31，则点 A 的坐标为_解析：如图所示，由题意，可得|OF|1
30、，由抛物线的定义，得|AF| AM|，因为AMF 与 AOF (其中 O 为坐标原点) 的面积之比为 31，所以 S AMFS AOF312|AF| |AM| sin MAF12|OF| |AF| sin（ MAF）所以|AF| AM|3|OF|3设 A ，所以 13，所以 2，解得 y02 2所以点 A 的坐标是(2，2 )2答案：(2，2 )2三、解答题15已知双曲线的渐近线方程是 y x，焦距为 2 ，求双曲线的标准方程23 26解：当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线的标准方程为 1(a 10，b 10)，由题意知 ，解得 ，此时双曲线的标准方程为 1x218 y28当双曲线的焦点在
31、 y 轴上时，设双曲线的标准方程为 1(a 20，b 20)，由题意知 ，解得 ，此时双曲线的标准方程为 1y28 x218综上，所求双曲线的标准方程为 1 或 1x218 y28 y28 x21816已知抛物线 C：y 22px( p0)的焦点坐标为(1，0)(1)求抛物线 C 的标准方程；(2)若直线 l：yx 1 与抛物线 C 交于 A，B 两点，求弦长|AB|解：(1)由题意，得 1，p2所以 p2，抛物线 C 的标准方程是 y24x(2)易知直线 l：y x 1 过抛物线的焦点由 ，可得 x26x10，y2 4xy x 1)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2
32、6，所以|AB|x 1x 22817已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点 A(1，0)，B(0，2) ，点 C满足 ，其中 ，R，且 2 1OC OA OB (1)求点 C 的轨迹方程；(2)设点 C 的轨迹与双曲线 y 21(a0)交于两点 M，N ，且 OMON，求该双曲线x2a2的方程解：(1)设 C(x，y) ，因为 ，OC OA OB 所以(x， y)(1，0) (0，2) ，所以 x y 2)因为 21 ，所以 xy1即点 C 的轨迹方程为 xy1(2)由 ，x y 1x2a2 y2 1)得(a 21) x22a 2x2a 20由题意，得 a210，且 4a 48a 2(a21)0，即 a20，2所以直线 l 的方程为 y2 (x1)或 y2 (x1)2 2
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