1、31.3 空间向量的数量积运算1.了解空间向量夹角的概念及表示方法 2.掌握空间向量数量积的计算方法及运算律3能将立体几何问题转化为向量运算问题1空间向量的夹角定义已知两个非零向量 a， b，在空间任取一点 O，作a， b，则AOB 叫做向量 a， b 的夹角OA OB 记法 a ， b范围 通常规定，0 a，b，当a ， b 时，ab2空间向量的夹角与向量位置关系(1)a ， b0 时，向量 a， b 方向相同(2)a ， b 时，向量 a， b 方向相反(3)a ， b 时，向量 ab. 22空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a， b，则|a|b|cosa ， b叫做 a， b
2、 的数量积，记作 ab.运算符“”：其中 ab 中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用 “”代替 (2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)交换律 abba分配律 a(bc)ab ac(3)数量积的性质垂直 若 a， b 是非零向量，则 abab0同向：则 ab|a|b|共线反向：则 ab|a|b|模aa |a|a|cosa ， a|a| 2|a| aa|ab|a| b|向量数量积的性质夹角 为 a， b 的夹角，则 cos ab|a|b|判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)向量 与 的夹角等于向量 与 的夹角( )AB CD AB DC (2)若 ab0，
3、则 a0 或 b 0.( )(3)对于非零向量 a，b， a，b与a，b相等( )(4)若 abb c，且 b0，则 ac.( )(5)若 a，b 均为非零向量，则 ab| a|b|是 a 与 b 共线的充要条件( )答案：(1) (2) (3) (4) (5)已知 i，j，k 是两两垂直的单位向量，a2ij k，bij 3k，则 ab( )A2 B1C1 D.2答案：A在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为 45的是 ( )A. 与 AB AC B. 与AB CA C. 与 AB AD D. 与AB BA 答案：A已知|a| 3， |b|2，ab3，则a ， b_答案：23已知向量 a，
4、b 满足：|b| ， a ， b45，且 a 与 2ba 互相垂直，则2|a|_ 答案：2探究点 1 空间向量的数量积运算学生用书 P55已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAA 12，AD4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点求下列向量的数量积(1) ；(2) .BC ED1 BF AB1 【解】 如图所示，设 a， b， c，AB AD AA1 则|a |c|2，|b| 4，a bb cca0.(1) ( )BC ED1 BC EA1 A1D1 b 12（c a） b|b |2 4216.(2) ( )( )BF AB1 BA1 A1F AB AA1 (a
5、c)(c a 12b)|c |2|a| 22 22 20.变问法 若本例的条件不变，计算 .EF FC1 解： ( )( )EF FC1 EA1 A1F FD1 D1C1 12（AA1 AB ） 12AD (12AD AB ) 12（c a） 12b(12b a) (abc)12 (12b a) |a|2 |b|22.12 14空间向量数量积的计算问题的解题思路(1)在几何体中求空间向量数量积的步骤将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；代入 ab| a|b|cosa，b 求解(2)长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要
6、熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直或特殊角等条件 1.已知向量 a 和 b 的夹角为 120，且| a|2，|b|5，则(2ab) a_ 解析：(2ab) a2a 2ba2|a| 2|a|b|cos 12024 25 13.( 12)答案：132如图，已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求：(1) ；OA OB (2)( )( )OA OB CA CB 解：在正四面体 OABC 中，| | | |1，OA OB OC ， ， ， 60.OA OB OA OC OB OC (1) | | |cosAOBOA OB OA OB 11cos 60 .12(2)( )( )OA OB CA CB (
7、 )( )OA OB OA OC OB OC ( )( 2 )OA OB OA OB OC 22 2 22 OA OA OB OA OC OB OB OC 1 22 211cos 601 2211cos 6012111111.探究点 2 利用向量的数量积判断或证明垂直问题学生用书 P56如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB 60，AB 2AD，PD底面 ABCD.求证：PABD .【证明】 由底面 ABCD 为平行四边形，DAB60 ，AB2AD ，知 DABD，则 0.BD DA 由 PD底面 ABCD，知 PD BD，则 0.BD PD 又 ，PA PD
8、 DA 所以 ( ) 0，即 PABD .PA BD PD DA BD PD BD DA BD 利用向量数量积判断或证明线线、线面垂直的思路(1)由数量积的性质 abab0( a， b 0)可知，要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为 0 即可(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，G 分别是棱CC1，BC，CD 的中点，求证： A1G平面 DEF.证明：设正方体的棱长为 a，因为 ( )( )A1G DF A1A AD DG DC
9、 CF A1A DC AD DC DG DC A1A CF AD CF DG CF DG DC AD CF a2 a20，12 12所以 A1GDF，同理可证 A1GDE，又 DFDE D ，所以 A1G平面 DEF.探究点 3 利用空间向量的数量积求夹角学生用书 P56已知空间四边形 OABC 各边及对角线长都相等，E，F 分别为 AB，OC 的中点，求向量 与向量 所成角的余弦值OE BF 【解】 设 a， b， c，OA OB OC 且|a |b| c|1，易知AOBBOCAOC ，3则 abb cc a .12因为 ( ) (ab) ，OE 12OA OB 12 cb，| | | ，B
10、F OF OB 12OC OB 12 OE BF 32所以 (ab) ac bc ab b2 ，OE BF 12 (12c b) 14 14 12 12 12设 与 所成的角为 ，OE BF cos .OE BF |OE |BF | 1232 32 23所以向量 与向量 所成角的余弦值是 .OE BF 23求两个向量的夹角的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围(2)先求 ab，再利用公式 cosa，b 求 cosa，b ，最后确定a，b ab|a|b|在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求向量 与 的夹角的大小BC1 AC 解：法一：如图，连
11、接 AD1，CD 1，因为 ，AD1 BC1 所以CAD 1 的大小就等于 ， BC1 AC 因为ACD 1 为等边三角形，所以CAD 160.所以向量 与 的夹角的大小为 60.BC1 AC 法二：设正方体的棱长为 1，则| | ，| | .BC1 2 AC 2 ( )( )( )( ) | |2 BC1 AC BC CC1 AB BC AD AA1 AB AD AD AB AD AA1 AB 0| |200| |21.AA1 AD AD AD cos ， ，BC1 AC BC1 AC |BC1 |AC | 122 12所以 ， 60.BC1 AC 即向量 与 的夹角的大小为 60.BC1
12、AC 探究点 4 利用数量积求两点间的距离学生用书 P56如图，在三棱锥 ABCD 中，底面边长与侧棱长均为 a，M ，N 分别是棱AB， CD 上的点，且 MB2AM，CN ND，求 MN 的长12【解】 因为 MN MB BC CN ( ) ( )23AB AC AB 13AD AC ，13AB 13AD 23AC 所以 2MN ( 13AB 13AD 23AC )2 2 2 219AB 29AD AB 49AB AC 49AC AD 19AD 49AC a2 a2 a2 a2 a2 a219 19 29 29 19 49 a2，59所以| | a.MN 53则 MN 的长为 a.53求两
13、点间的距离或线段的长度的方法(1)将此线段用向量表示(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量(3)利用|a| ，计算出| a|，即得所求距离 a21.已知在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1AB AD1，且这三条棱彼此之间的夹角都是 60，则 AC1 的长为( )A6 B. 6C3 D. 3解析：选 B.设 a， b， c ，AB AD AA1 则|a |b| c|1，且a，bb，cc，a60 ，因此 abb cc a .12由 abc 得| |2 2a 2b 2c 22a b2bc 2ca6.AC1 AC1 AC1 所以| | ，故选 B.AC1 62如图，在 120的二面角
14、 l 中，Al ，Bl ，AC ，BD 且ACAB ，BD AB，垂足分别为 A，B，已知 ACABBD 6，则线段 CD 的长应为_解析：因为 ACAB，BD AB ，所以 0 ， 0，CA AB BD AB 又因为二面角 l 的平面角为 120，所以 ， 60，CA BD 所以 CD2| |2( )2CD CA AB BD 2 2 22( )36 226 2cos 60144，CA AB BD CA AB CA BD BD AB 所以 CD12.答案：121已知|p| |q|1，且p， q90 ，a3p2q，bpq，则 ab( )A1 B2C3 D.4答案：A2已知空间四边形 OABC 中
15、，OBOC，AOBAOC ，则 cos ， 的值3 OA BC 为( )A. B.12 22C D.012解析：选 D. ( )OA BC OA OC OB | | |cosAOC| | |cosAOB | | | | | |0，OA OC OA OB OA OC OA OB 12OA OC 12OA OB 所以 .OA BC 所以 cos ， 0.OA BC 3若 a， b， c 为空间两两夹角都是 60的三个单位向量，则|ab2c|_答案： 54如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，设 ADAA 11，AB2，P 是 C1D1 的中点，则 与 所成角的大小为_， _B1C A1P
16、B1C A1P 解析：法一：连接 A1D，则 PA1D 就是 与 所成角连接 PD，在PA 1D 中，B1C A1P 易得 PA1DA 1PD ，即PA 1D 为等边三角形，从而 PA 1D60，即 与2 B1C 所成角的大小为 60.因此 cos 601.A1P B1C A1P 2 2法二：根据向量的线性运算可得 ( )( ) 21.B1C A1P A1A AD AD 12AB AD 由题意可得 PA1B 1C ，则 cos ， 1，从而 ， 2 2 2 B1C A1P B1C A1P 60 .答案：60 1学生用书 P57知识结构 深化拓展1.空间向量数量积性质的应用(1)abab0，此结
17、论用于证明空间中的垂直关系(2)|a|2a 2，此结论用于求空间中线段的长度(3)cos a，b ，此结论用于求有关空ab|a|b|间角的问题(4)|b|cosa，b ，此结论用于求空间ab|a|中的距离问题2空间向量的数量积的三点注意(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定(2)当 a0 时，由 ab0 可得 ab 或 b0.(3)空间向量没有除法运算：即若 abk ，则没有 a .kb学生用书 P131(单独成册)A 基础达标1已知 e1，e 2 为单位向量，且 e1e 2，若 a2e 13e 2， bke 14e 2，ab，则实数 k的值为( )A6 B6C3 D.3解析：选 B.由题意可得
18、 ab0，e 1e20，|e1|e 2|1，所以(2e 13e 2)(ke14e 2)0，所以 2k120，所以 k6.2已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E，F 分别是 BC，AD的中点，则 的值为( )AE AF Aa 2 B. a212C. a2 D. a214 34解析：选 C. AE AF ( )12AB AC 12AD ( )14AB AD AC AD (aa aa ) a2.14 12 12 143已知四边形 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，连接 AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是 ( )A. 与 B. 与PC BD
19、 DA PB C. 与 D. 与PD AB PA CD 解析：选 A.可用排除法因为 PA平面 ABCD，所以 PACD， 0，排除 D.PA CD 又因为 ADAB ，所以 AD PB，所以 0，DA PB 同理 0，排除 B，C ，故选 A.PD AB 4.如图，已知 PA平面 ABC，ABC 120 ，PAABBC6，则 PC 等于( )A6 B62C12 D.144解析：选 C.因为 ，所以PC PA AB BC 2 2 2 22 2 2 36 3636236cos 60144，所PC PA AB BC PA AB PA BC AB BC 以 PC12.5设平面上有四个互异的点 A，B
20、，C ，D，已知( 2 )( )0，则DB DC DA AB AC ABC 是( )A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D.等边三角形解析：选 B.因为 2 ( )( ) ，DB DC DA DB DA DC DA AB AC 所以( )( )| |2| |20，AB AC AB AC AB AC 所以| | |，AB AC 即ABC 是等腰三角形6在空间四边形 ABCD 中， _AB CD BC AD CA BD 解析：原式 ( )AB CD BC AD CA AD AB ( ) ( )AB CD CA AD BC CA 0.AB AD AD BA 答案：07如图，已知四棱柱 ABC
21、DA1B1C1D1 的底面 ABCD 是矩形，AB 4，AA 13，BAA 160 ，E 为棱 C1D1 的中点，则 _AB AE 解析： ，AE AA1 AD 12AB 243cos 600 4214.AB AE AB AA1 AB AD 12AB 12答案：148.如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各条棱长都相等，M 是侧棱 CC1 的中点，则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是_解析：不妨设棱长为 2，则 ， ，AB1 BB1 BA BM BC 12BB1 cos ， AB1 BM （BB1 BA ）（BC 12BB1 ）225 0，所以 ， 90.0 2 2 0225
22、AB1 BM 答案：909如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 C1D1，D 1D 的中点，正方体的棱长为 1.(1)求 ， 的余弦值；CD AF (2)求证： .BD1 EF 解：(1) ，AF AD DF AD 12AA1 .CE CC1 C1E AA1 12CD AA1 12AB 因为 0， 0， 0，AB AD AB AA1 AD AA1 所以 ( ) .CE AF AA1 12AB (AD 12AA1 ) 12又| | | | ，所以 cos ， .AF CE 52 CE AF 25(2)证明： ， ( )，BD1 BD DD1 AD AB AA1 EF ED
23、1 D1F 12AB AA1 所以 0，所以 .BD1 EF BD1 EF 10如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，M ，N 分别是 A1B，B 1C1 上的点，且BM2A 1M，C 1N2B 1N.设 a， b， c.AB AC AA1 (1)试用 a，b，c 表示向量 ；MN (2)若BAC 90，BAA 1CAA 160，AB ACAA 11，求 MN 的长解：(1) MN MA1 A1B1 B1N 13BA1 AB 13B1C1 (c a)a (ba)13 13 a b c.13 13 13(2)因为(ab c)2a 2b 2c 22a b2bc2a c1110211 211 5，
24、12 12所以|a bc| ，5所以| | |abc| ，MN 13 53即 MN .53B 能力提升11已知空间四边形 ABCD 中，ACDBDC90，且 AB2，CD1，则 AB 与CD 所成的角是( )A30 B45C60 D.90解析：选 C.根据已知ACD BDC90 ，得 0，所以 (AC CD DB CD AB CD ) | |2 | |21，所以 cos ， AC CD DB CD AC CD CD DB CD CD AB CD ，所以 AB 与 CD 所成的角为 60.AB CD |AB |CD | 1212在三棱锥 OABC 中，OAOB，OAOC ，BOC60，OA OB
25、OC2，若E 为 OA 的中点， F 为 BC 的中点，则 EF_解析：因为 ( ) ，EF OF OE 12OB OC 12OA 所以| |2 ( )2EF 14OB OC OA ( 2 2 22 2 2 )14OB OC OA OB OC OB OA OC OA 又由已知得| | | |2，OA OB OC ， ， 22 2，OA OB OA OC OB OC 12所以| |2 (4444)4.EF 14所以| |2，即 EF2.EF 答案：213.(选做题) 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面边长为 .2(1)设侧棱长为 1，求证：AB 1BC 1；(2)设 AB1 与 BC1
26、 的夹角为 ，求侧棱的长3解：(1)证明： ， .AB1 AB BB1 BC1 BB1 BC 因为 BB1平面 ABC，所以 0， 0.BB1 AB BB1 BC 又ABC 为正三角形，所以 ， ， .AB BC BA BC 3 23因为 ( )( ) 2 AB1 BC1 AB BB1 BB1 BC AB BB1 AB BC BB1 BB1 BC | | |cos ， 2110，AB BC AB BC BB1 所以 AB1BC 1.(2)结合第一问知 AB1 BC1 | | |cos ， 2 21.AB BC AB BC BB1 BB1 又| | | |.AB1 （AB BB1 ）2 2 BB1 2 BC1 所以 cos ， ，AB1 BC1 BB1 2 12 BB1 2 12所以| |2，BB1 即侧棱长为 2.
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