1、11 变化率与导数11.1 变化率问题11.2 导数的概念1.了解导数概念的实际背景 2.会求函数从 x1 到 x2 的平均变化率3会利用导数的定义求函数在某点处的导数1平均变化率函数 yf(x) 从 x1 到 x2 的平均变化率(1)定义式： . y x f（x2） f（x1）x2 x1(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比(3)作用：刻画函数值在区间 x1，x 2上变化的快慢(4)几何意义：已知 P1(x1，f( x1)，P 2(x2，f(x 2)是函数 yf( x)的图象上两点，则平均变化率 表示割线 P1P2 的斜率 y x f（x2） f（x1）x2 x12瞬时变化率函数 y
2、f(x) 在 xx 0 处的瞬时变化率(1)定义式： .lim x 0 y x lim x 0f（x0 x） f（x0） x(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，平均变化率趋近的值(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢3导数的概念定义式 lim x 0 lim x 0 y x lim x 0lim x 0f（x0 x） f（x0） x记法 f(x0)或 y|xx 0 实质 函数 yf( x)在 xx 0 处的导数就是 yf (x)在 xx 0 处的瞬时变化率1.对平均变化率的理解(1)函数 f(x)应在 x1，x 2 处有定义(2)x2 在 x1 附近，即 xx 2 x10
3、，但 x 可正可负(3)注意变量的对应，若 xx 2x 1，则 yf(x 2)f(x 1)，而不是 yf(x 1)f(x 2)(4)平均变化率可正可负，也可为零但是，若函数在某区间上的平均变化率为 0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相等比如，f(x) x2 在区间2，2上的平均变化率为 0，但 f(x)x 2 在 2，2上的图象先下降后上升，值域是0 ，42瞬时速度与平均速度的区别和联系(1)区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关(2)联系：瞬时速度是平均速度的极限值注意 对于任何具体函数或者实际问题，瞬时变化率
4、都是一个精确值，而不是近似值只是现阶段我们还不能求出瞬时变化率，故只能用平均变化率来估计瞬时变化率3对导数概念的理解(1)函数 yf(x)应在 xx 0 及其附近有意义，否则导数不存在(2)若极限 不存在，则称函数 yf(x) 在 xx 0 处不可导 lim x 0f（x0 x） f（x0）x(3)在点 xx 0 处的导数的定义可变形为 f(x0) 或 f(x0)lim x 0f（x0 x） f（x0） x lim x x0.lim x x0f（x） f（x0）x x0判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)函数 f(x)c(c 为常数)在区间 x1，x 2上的平均变化率 为 0.(
5、) y x(2)函数 yf(x)在 xx 0 处的导数值与 x 值的正、负无关 ( )(3)瞬时变化率是刻画某函数在区间 x1，x 2上函数值的变化快慢的物理量( )(4)在导数的定义中，x，y 都不可能为零( )答案：(1) (2) (3) (4)如图，函数 yf( x)在 A， B 两点间的平均变化率是( )A1 B1C2 D2解析：选 B. yx f（3） f（1）3 1 1.1 32已知 f(x)2x1，则 f(0.5)_答案：2函数 yf(x) 在 x1 处的瞬时变化率为 _1x答案：1探究点 1 求函数的平均变化率求函数 yf( x)3x 2 2 在区间x 0，x 0x 上的平均变
6、化率，并求当x02，x0.1 时平均变化率的值【解】 函数 yf( x)3x 2 2 在区间x 0，x 0x上的平均变化率为f（x0 x） f（x0）（x0 x） x0 6x 03x.6x0x 3（x）2x当 x02，x 0.1 时，函数 y3x 22 在区间2，2.1上的平均变化率为 6230.112.3.求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量 xx 2x 1.(2)求函数值的改变量 yf( x2)f (x1)(3)求平均变化率 . yx f（x2） f（x1）x2 x11.汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图，在时间段t 0，t 1，t1，t 2， t2，t 3上的平均
7、速度分别为 v1，v 2，v 3，则三者的大小关系为_解析： 1k OA， 2k AB， 3k BC，v v v 由图象知 kOA ，所以当 x 从 1 变为 4 时，函数 f(x)的函数值比函数 g(x)的函数值变化|143| |23|得快10已知质点 M 按规律 s2 t23 做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)(1)当 t2，t0.01 时，求 ； s t(2)当 t2，t0.001 时，求 ； s t(3)求质点 M 在 t2 时的瞬时速度解： st s（t t） s（t）t2（t t）2 3 （2t2 3）t4t2t.(1)当 t2，t0.01 时， 4220.018.02(c
8、m/s)st(2)当 t2，t0.001 时， 4220.0018.002(cm/s)st(3)v (4t2 t)4t428(cm/s)limt 0lim t 0st lim t 0lim t 0B 能力提升11设函数 f(x)在 x2 处的导数存在，则 ( )limx 0 lim x 0f（2） f（ 2 x）2xA2f(2) B2f (2)C f(2) D. f(2)12 12解析：选 C.因为函数 f(x)在 x2 处的导数存在，所以 limx 0 lim x 0f（2） f（2 x）2x f(2)12 lim x 0 lim x 0f（2 x） f（2）x 1212在高台跳水运动中，运
9、动员相对于水面的高度 h(m)与起跳后的时间 t(s)存在函数关系 h(t)4.9 t26.5t10，则瞬时速度为 0 m/s 的时刻是 ( )A. s B. s6598 6549C. s D. s9865 4965解析：选 A.设 tt 0 时刻的瞬时速度为 0 m/s，则 hh(t 0t)h( t0)9.8t 0t6.5t4.9(t) 2，所以 9.8t 06.54.9 t，ht则 h(t0) 9.8t 06.5，limt 0lim t 0ht所以9.8t 06.50，解得 t0 s.659813已知某一运动物体在 x s 时离出发点的距离为 f(x) m，且满足 f(x) x3x 22x
10、.23(1)求在第 1 s 内的平均速度；(2)求在第 1 s 末的瞬时速度；(3)经过多长时间该物体的速度达到 14 m/s?解：(1)物体在第 1 s 内的平均速度 (即平均变化率)为 (m/s)f（1） f（0）1 0 113(2)f（1 x） f（1）x23（1 x）3 （1 x）2 2（1 x） 113x63x (x)2.23当 x 0 时，63x (x)26，23所以物体在第 1 s 末的瞬时速度为 6 m/s.(3)令 yf(x) x3x 22x ，23则 yx f（x x） f（x）x23（x x）3 （x x）2 2（x x） (23x3 x2 2x)x2x 22x2 (x)
11、22xxx.23当 x 0 时， 2x 22x 2，yx令 2x22x214，解得 x 2(x3 舍去) ，即经过 2 s 该物体的速度达到 14 m/s.14(选做题) 枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是 a510 5 m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为 1.6103 s求枪弹射出枪口时的瞬时速度解：运动方程为 s at2.12因为 s a(t0t) 2 at12 12 20at 0t a(t)2，12所以 at0 at.st 12所以 at 0.limt 0lim t 0st由题意知，a510 5 m/s2， t01.610 3 s，所以 at0810 2800(m/s)即枪弹射出枪口时的瞬时速度为 800 m/s.
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