1、13.3 函数的最大(小)值与导数1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 1函数 yf(x)在闭区间 a，b 上的最值(1)能够取得最值的前提条件：在区间 a，b上函数 yf (x)的图象是一条连续不断的曲线(2)函数的最值必在极值点或端点处取得2求函数 yf( x)在 a，b上的最值的步骤(1)求函数 yf(x )在(a，b)内的极值(2)将函数 yf(x )的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值求函数 yf(x)在 a，b上的最值包含以下两点(1)给定函数
2、的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值常见的有以下几种情况：图中的函数 yf( x)在( a，b) 上有最大值而无最小值；图中的函数 yf(x) 在(a，b)上有最小值而无最大值；图中的函数 yf (x)在(a，b) 上既无最大值又无最小值；图中的函数 yf( x)在( a，b)上既有最大值又有最小值(2)函数 f(x)的图象在区间 a，b上连续不断是 f(x)在 a，b 上存在最大值和最小值的充分不必要条件如函数 f(x) 的图象( 如图)在1，1上|x|， 1 x 1， 且 x 0， 1， x 0 )有间断点，但存在最大值和最小值 判断正误(正确的打“”
3、，错误的打 “”)(1)函数的最大值不一定是函数的极大值( )(2)函数 f(x)在区间 a，b上的最大值与最小值一定在区间端点处取得 ( )(3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值( )答案：(1) (2) (3) 函数 f(x)2xcos x 在( ，) 上( )A无最值 B有极值C有最大值 D有最小值答案：A函数 yx 33x 3 在区间 3，3上的最小值为( )A1 B5C21 D15答案：D函数 f(x) 的最大值为_xx 1答案：12探究点 1 求函数的最值求下列函数的最值：(1)f(x)2x 312x，x 2，3；(2)f(x) xsin x ，x0，212【解】
4、(1)因为 f(x)2x 312x，所以 f(x)6x 2126(x )(x )，2 2令 f(x)0，解得 x 或 x .2 2因为 f(2) 8 ，f(3)18，f( ) 8 ，f( )8 ；2 2 2 2所以当 x 时，2f(x)取得最小值8 ；2当 x3 时，f(x)取得最大值 18.(2)f(x) cos x，令 f(x)0，12又 x0 ，2，解得 x 或 x .23 43计算得 f(0)0，f(2) ，f ，(23) 3 32f .(43) 23 32所以当 x0 时，f( x)有最小值 f(0)0；当 x2 时，f(x) 有最大值 f(2).求函数最值的步骤第一步：求函数的定义
5、域第二步：求 f(x)，解方程 f(x)0.第三步：列出关于 x，f( x)，f (x)的变化表第四步：求极值、端点处的函数值，确定最值 1.函数 f(x) (x 2，2)的最大值是 _，最小值是4xx2 1_解析：因为 f(x) ，4（x2 1） 2x4x（x2 1）2 4x2 4（x2 1）2令 f(x)0，得 x1 或 x1.又因为 f(1)2，f(1)2，f(2) ，85f(2) ，85所以 f(x)在2，2上的最大值为 2，最小值为2.答案：2 22求函数 f(x) 的最值x 1ex解：函数 f(x) 的定义域为 xR.x 1exf(x) ，1ex ex（x 1）（ex）2 2 xe
6、x当 f(x)0 时， x2，当 f(x)0 时， x2.所以 f(x)在(，2)上单调递增，在(2，) 上单调递减，所以 f(x)无最小值，且当 x2 时，f(x)maxf(2) .1e2探究点 2 含参数的最值问题已知函数 f(x)e xax 2bx1，其中 a，bR，e2.718 28为自然对数的底数设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0 ，1 上的最小值【解】 由 f(x)e xax 2bx1，有 g(x)f(x) ex2axb.所以 g(x)e x 2a.因此，当 x0，1时，g(x)12a，e2a当 a 时，g(x )0，12所以 g(x)在0，1上单调递增
7、，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当 a 时，g(x )0，e2所以 g(x)在0，1上单调递减，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e 2ab；当 0，所以函数 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增， g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a) 0，解得 a 不符合题意，舍去e2(3)若 a ，则 2ae，g(x )e x2a0，e2所以函数 g(x)在区间0，1上单调递减，g(x)ming(1)e 2a0，解得 a .综上所述，a .e2 e2(1)含参数的函数最值问题的两类情况能根据条件确定出参数，从而化为不含参数
8、函数的最值问题；对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于 0，等于 0，小于 0 三种情况若导函数恒不等于 0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于 0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值(2)已知函数最值求参数值(范围 )的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围) 是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围 已知函数 f(x)ax 36ax 2b，x 1，2的最大值为 3，最小值为29，求 a，b 的值解：由题设知 a0，否则 f(x)b 为常函数，与题设
9、矛盾求导得 f(x)3 ax212ax3ax(x4) ，令 f(x)0，得 x10，x 24( 舍去)当 a0，且 x 变化时，f(x)，f(x) 的变化情况如下表：x 1 (1，0) 0 (0，2) 2f(x) 0 f(x) 7ab 增函数 b 减函数 16ab由表可知，当 x0 时，f( x)取得极大值 b，也就是函数在 1，2上的最大值，所以 f(0)b3.又 f(1)7 a3，f(2)16a3f(1) ，所以 f(2)16a293，解得 a2.综上可得，a2，b3 或 a2，b29.探究点 3 函数最值问题的综合应用设函数 f(x)2x 33ax 23bx 8c 在 x1 及 x2 时
10、取得极值(1)求 a，b 的值；(2)若对于任意的 x0，3，都有 f(x)c 2 成立，求 c 的取值范围【解】 (1)f(x)6x 26ax 3b，因为函数 f(x)在 x1 及 x2 时取得极值，所以 f(1)0，f(2)0，即 解得6 6a 3b 0，24 12a 3b 0，) a 3，b 4. )(2)由(1)可知，f(x)2x 39x 212x8c，f(x)6x 218x126(x1)(x2) 当 x(0 ，1)时，f(x )0；当 x(1 ，2)时，f(x )0；当 x(2 ，3)时，f(x )0.所以，当 x1 时，f( x)取极大值 f(1)58c ，又 f(0)8c，f(3
11、) 98c.所以当 x0 ，3时，f(x)的最大值为 f(3)98c .因为对于任意的 x0 ，3，有 f(x)c 2 恒成立，所以 98cc 2，解得 c1 或 c9.因此 c 的取值范围为( ，1) (9，)若本例中“x0 ，3”变为“ x(0 ，3)”仍有 f(x)0 成立1a解：(1)由题设知 f(x)的定义域为 x(0，) ，f(x) ，g(x) ln x ，1x 1x所以 g(x) .x 1x2令 g(x)0，得 x1.当 x(0 ，1)时，g(x)0，故(1 ，)是 g(x)的单调递增区间因此，x1 是 g(x)在(0 ，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值
12、为 g(1)1.(2)g(a)g(x)0 成立，1a即 ln a0 成立由(1)知 g(x)的最小值为 1，所以 ln a1 时，证明： x2ln x0，则 f(x)的单当 a 0调递增区间为(0，)，(2 分) 含 参 数 应 注 意 分 类 讨 论时，由 f(x)0 得 x ，当 a0 a由 f(x)0 时，函数 f(x)的单调递增区间为( ，) ，单调递减区间为(0 ， )(5a a分)(2)证明：当 x1 时，x2ln x1 时，g( x)0，故 g(x)在(1，)上递增，所以 g(x)g(1)0，所以 x3 x2ln x0.(12 分)23 12利用导数解决不等式问题(如：证明不等式
13、，比较大小等 )，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小) 常与函数最值问题有关因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解1若函数 f(x)导函数的图象是如图所示的一条直线，则( )A函数 f(x)没有最大值也没有最小值B函数 f(x)有最大值，没有最小值C函数 f(x)没有最大值，有最小值D函数 f(x)有最大值，也有最小值解析：选 C.由导函数图象可知，函数 f(x)只有一个极小值点 1，即 f(x)在 x1 处取得最小值，没有最大值2函数 f(x)x 33x (10，得 f(x)的单
14、调递增区间为 0，1)；令 f(x)0，所以 f(x)在1，1 上单调递增，故 f(x)maxf(1)，f(x )minf( 1)，所以 f(x)既有最大值又有最小值(说明：f(x)表示对 f(x)再次求导，即 f(x)的导函数)5已知 e 是自然对数的底数，若函数 f(x)e xxa 的图象始终在 x 轴的上方，则实数 a 的取值范围是( )A(1，) B( ，1)C1，) D(，1解析：选 A.因为函数 f(x)e xx a 的图象始终在 x 轴的上方，所以 f(x)e xxa0对一切实数 x 恒成立，即 f(x)min0.f(x)e x1，令 f(x)0，解得 x0，当 x0 时，f (
15、x)0，则 f(x)在(0，)上单调递增，所以当 x0 时， f(x)取得极小值即最小值，最小值为 f(0) 1a，所以 1a0，即 a1，故实数 a 的取值范围为(1， ) 6函数 f(x) 在区间2，4上的最小值为_xex解析：f(x) ，当 x2，4 时，f (x)0；sin2x （2 cos x）cos xsin2x 1 2cos xsin2x 3当 00，得 01，所以 f(x)在( ，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，1e所以 f(x)在 ，e上的最大值为 f(1) .1e 12B 能力提升11设直线 xt 与函数 f(x) x2，g(x) ln x 的图象分别交于点 M、N
16、 ，则当|MN|取最小值时 t 的值为( )A1 B.12C. D.52 22解析：选 D.由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN| t 2ln t(t0)记 h(t)t 2ln t(t0)，则 h(t)2t .1t 2t2 1t 2（t 22）（t 22）t当 0 时，h(t)0，h(t)在( ，)上单调递增22 22故当 t 时，| MN|有最小值2212已知(a1)x 1ln x0 对任意 x ，2恒成立，则实数 a 的最大值为( )12A0 B1C12ln 2 D. 1 ln 22解析：选 C.原问题等价于 a 1 对任意 x ，2 恒成立ln x 1x 12令 h(x) ，则
17、 h(x) .令 h(x)0，得 x1，且当 x ，1) 时，h(x)0；ln x 1x ln xx2 12当 x(1 ，2时，h(x)m 恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)f(x)x ex x2ex x(x2)12 ex2由 x(x2)0，解得 x0 或 xm 恒成立，所以 m 成立1ex 2ex解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1.当 x 时，f( x)0，f(x) 为增函数；1e当 0 .xex 2e由第一问可知 f(x)xln x 的最小值是 ，1e当且仅当 x 时取到1e设 m(x) ，x(0 ，)，则 m(x) ，xex 2e 1 xex易知 m(x
18、)maxm(1) ，1e当且仅当 x1 时取到，所以 xln x .xex 2e从而对一切 x(0 ，)，都有 ln x 成立1ex 2ex导数在研究函数中的应用(强化练)一、选择题1已知函数 yf( x)，x R 有唯一的极值，且 x1 是 f(x)的极小值点，则( )A当 x( ，1)时，f(x)0；当 x(1，) 时，f(x) 0B当 x(，1) 时，f(x)0；当 x(1，) 时，f( x)0C当 x(，1) 时，f(x)0；当 x(1，) 时，f( x)0D当 x( ，1)时，f(x)0；当 x(1，) 时，f(x) 0解析：选 C.由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是左
19、负右正，又函数f(x)， xR 有唯一的极值，故当 x(，1) 时，f (x)0；当 x(1 ，)时，f(x) 0.2函数 f(x)xe x 的一个单调递增区间是( )A1，0 B2 ，8C1，2 D0，2解析：选 A.因为 f(x) (1x)e x 0，ex xex（ex）2又因为 ex 0，所以 x1.3函数 y2x 33x 212x5 在0，3 上的最大值和最小值分别是( )A5，15 B5，4C5，15 D5， 16解析：选 C.y6x 26x 12 6(x1)(x2)，令 y0 得 x 1 或 x2.当 x2 时 y15，当 x0 时 y5，当 x3 时，y4.故选 C.4若函数 y
20、f( x)的导函数 yf (x)的图象如图所示，则 yf(x)的图象可能为( )解析：选 C.观察题图可知：当 x0，则 f(x)单调递增；当 0f( )1e 12Df( )，f( )的大小关系无法确定1e 12解析：选 C.f(x) ， ex （ x）exexex x 1ex当 xf( )故选 C.1e 126若函数 f(x)x 3ax 2x 6 在(0 ，1)内单调递减，则实数 a 的取值范围是( )Aa1 Ba1Ca1 D0 a1解析：选 A.因为 f(x)3x 22ax1，又 f(x)在(0，1) 内单调递减，所以不等式 3x22ax 10 在(0，1)内恒成立，所以 f(0)0，且
21、f(1)0，所以 a1.7若函数 yx 33ax a 在(1，2)内有极小值，则实数 a 的取值范围是( )A1a2 B1a4C2a4 Da 4 或 a1解析：选 B.y3x 23a.当 a0 时，f (x)0，函数 yx 33axa 为单调函数，不合题意，舍去；要使函数 yx 33ax a 在(1 ，2)内有极小值，则 即 所以f（1）0) 1 a0，)10，解得 x ，所以 f(x)在(0，x1 4xx2x 344 344)上单调递增，在( ，)上单调递减，故 f(x)的最大值是 f( )，所以 a .3443443443449若存在正数 x 使 2x(xa)x .令 f(x)x ，所以
22、f(x)12 x ln 20，12x 12x所以 f(x)在(0，)上单调递增，所以 f(x)f(0)01 1，所以 a 的取值范围为(1， ) 10定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)1f (x)，f (0)6，其中 f(x)是 f(x)的导函数，则不等式 exf(x)ex5(其中 e 为自然对数的底数 )的解集为( )A(0，)B(，0)(3，)C(，0)(1，)D(3，)解析：选 A.不等式 exf(x)ex5 可化为 exf(x)e x50.设 g(x)e xf(x) ex5，则 g(x)e xf(x)e xf(x)e xe xf(x)f(x)10，所以函数 g(x)在定义域
23、R 上单调递增又 g(0)0，所以 g(x)0 的解集为(0 ，)二、填空题11函数 f(x)x2ln x 的单调递减区间是_解析：f(x)1 (x0)，令 f(x)1 1，f（1） f（a）.)答案：2，1)三、解答题15已知函数 f(x)x 3ax 24 在 x2 处取得极值，若 m，n1，1 ，求 f(m)f( n)的最小值解：f(x)3 x22ax，由函数 f(x)在 x2 处取得极值知，f(2)0，即342a20，所以 a3，由此可得 f(x)x 33x 24，f (x)3x 26 x.易知 f(x)在区间1，0)上单调递减，在区间(0，1 上单调递增，所以当 m1，1时，f (m)
24、minf(0)4.又 f(x)3x 26x 的图象开口向下，且对称轴为 x1，所以当 n1，1时，f(n)min f( 1)9.故 f(m)f(n)的最小值为 13.16已知函数 f(x)x 3ax 2 3x.(1)若 f(x)在1 ， )上是增函数，求实数 a 的取值范围；(2)若 x3 是 f(x)的极值点，求 f(x)在1 ，a上的最大值和最小值解：(1)f(x)3x 22ax 3，因为 f(x)在1，)上是增函数，所以当 x1 ，)时，f(x )0 恒成立，所以 a (x )min3( 当且仅当 x1 时取等号)，所以实数 a 的取值范围是32 1x(， 3(2)由题意，知 f(3)0
25、，即 276a30，解得 a5，所以 f(x)x 35x 23x ，f( x)3x 210x 3.令 f(x)0，得 x13，x 2 (舍去)13当 10，即当 x3 时，f( x)取得极小值，为 f(3)9.又 f(1)1，f(5) 15，所以 f(x)在1，5上的最小值是 f(3)9，最大值是 f(5)15.17已知函数 f(x)x 2( a2) xaln x，其中 aR .(1)若曲线 yf(x )在点(2，f(2)处的切线的斜率为 1，求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间解：(1)由 f(x) x2(a2)x aln x，可知函数 f(x)的定义域为 x|x0，且 f(x)2
26、x( a2) .ax由题意，知 f(2)4(a2) 1，a2解得 a2.(2)f(x)2x( a2) (x0)ax （2x a）（x 1）x令 f(x)0，得 x11，x 2 .a2当 a0 时， 0，令 f(x)0，得 x1；a2令 f(x)0，得 01，a2 a2所以函数 f(x)的单调递增区间为(0， )，(1，) ；a2令 f(x)1，即 a2 时，令 f(x)0，得 0 ，a2 a2所以函数 f(x)的单调递增区间为(0，1) ，( ，) ；a2令 f(x)2 时，函数 f(x)的单调递增区间为(0 ，1)，( ，)，单调递减区间为(1， )a2 a218已知函数 f(x) (a0)
27、 a（x 1） bexex(1)当 a1，b0 时，求函数 f(x)的极值；(2)当 b1 时，若函数 f(x)没有零点，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a1，b0 时，f(x) ， x 1ex所以 f(x) ，x 2ex所以当 x(，2)时，f(x )0，f (x)单调递增所以 f(x)的极小值为 f(2) ，无极大值1e2(2)当 b1 时，f (x) .ax a exex根据题意，知 0 无实根，ax a exex即 axae x0 无实根令 h(x)axa e x，则 h(x)ae x.若 a0，则 h(x)0，h(x)在 R 上单调递增，存在 x0，使得 h(x0)0，不合题意；若 a0，得 xln(a) ；令 h(x)0，即 aln(a) 2 a0，解得e 2a0，符合题意综上所述，a 的取值范围为( e2，0)
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