1、12 排列与组合12.1 排 列第 1 课时 排列与排列数公式1.理解排列、排列数的定义，掌握排列数公式及推导方法 2.能用列举法、 “树形图”表示出一个排列问题的所有的排列3能用排列数公式解决无限制条件的排列问题, 1排列(1)一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的 排列顺序也相同排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素” ，二是“按一定顺序排列” 因此，排列要完成的“一件事”是“取出 m 个元素，再按顺序排列” ， “一定的顺序”就是与位置有
2、关，不考虑顺序就不是排列 2排列数及排列数公式排列数定义从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数表示法 Amn全排列n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，这时公式中 mn，即有 A n(n1) (n2)n321阶乘 正整数从 1 到 n 的连乘积叫做 n 的阶乘，用 n！表示乘积式 A n(n1)(n2)( nm1)mn排列数公式 阶乘式A mnn！（n m）！性质 A n！ ，0！1n备注 n，mN *，mn排列数是指“从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的所有排列的个数” ，即排列共有多少种
3、形式，它是一个数因此，A 只代表排列数，而不表示具体的排列 mn判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)a，b，c 与 b，a，c 是同一个排列( )(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现( )(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化( )(4)从 4 个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列( )答案：(1) (2) (3) (4)下面问题中，是排列问题的是( )A由 1，2，3，4 四个数字组成无重复数字的四位数B从 60 人中选 11 人组成足球队C从 100 人中选 2 人抽样调查D从 1，2，3，4，5 中选 2 个数组成集合答案：A
4、A _，A _24 3答案：12 6若 A 1095，则 m_m10答案：6探究点 1 排列的概念判断下列问题是否是排列问题，并说明理由(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动 A，另一名同学参加活动 B；(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和；(4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商；(5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上【解】 (1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动 ，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中(2)不是排列，因为选出的两名
5、同学参加的是同一个活动， 没有顺序之分(3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求 (4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列(5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生 判断一个具体问题是否为排列问题的方法1.从 1，2，3，4 四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )A1 B2C3 D4解析：选 B.因为加法和乘法满足交换律 ，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是
6、排列问题而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题2判断下列问题是否是排列问题：(1)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题(2)因为从 10 名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是
7、排列问题 综上，(1)、(3)是排列问题，(2) 不是排列问题探究点 2 排列的列举问题四个人 A，B，C，D 坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来【解】 先安排 A 有 4 种坐法，安排 B 有 3 种坐法，安排 C 有 2 种坐法，安排 D 有 1 种坐法，由分步乘法计数原理，有 432124 种画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD ，ACDB ，ADBC，ADCB ，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB ，CBAD ，CBDA，CDAB ，CDBA ，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.
8、1变条件 若本例条件再增加一条“A 不坐排头” ，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD ，BCDA ，BDAC，BDCA ，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC ，DBAC ，DBCA，DCAB ，DCBA ，共 18 种坐法2变条件 若在本例条件中再增加一条“A，B 不相邻” ，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC ，ADCB ，BCAD，BCDA ，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA 共 12 种利用“树形图”法解决简单排列问题的
9、适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时 ，是一种比较有效的表示方式(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类 ，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列 某药品研究所研制了 5 种消炎药 a1，a 2，a 3，a 4，a 5，4 种退热药b1，b 2，b 3，b 4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但 a1，a 2 两种药或同时用或同时不用，a 3，b 4 两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法解：如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：
10、a1a2b1，a 1a2b2，a 1a2b3，a 1a2b4，a 3a4b1，a 3a4b2，a 3a4b3，a 3a5b1，a 3a5b2，a 3a5b3，a 4a5b1，a 4a5b2，a 4a5b3，a 4a5b4，共 14 种探究点 3 排列数的计算或证明(1)计算 ；(2)求证：A A mA .mn 1 mn m 1n【解】 (1)287654 7876587654321 98765 1.8765（8 7）8765（24 9）(2)法一：因为 A Amn 1 mn （n 1）！（n 1 m）！ n！（n m）！ ( 1)n！（n m）！ n 1n 1 m n！（n m）！ mn 1
11、mm mA ，n！（n 1 m）！ m 1n所以 A 1 A mA .mn mn m 1n法二：A 表示从 n1 个元素中取出 m 个元素的排列个数 ，其中不含元素 a1 的有 Amn 1个mn含有 a1 的可这样进行排列：先排 a1，有 m 种排法，再从另外 n 个元素中取出 m1 个元素排在剩下的 m1 个位置上，有 A 种排法m 1n故 A 1 mA A ，mn m 1n mn所以 mA A A .m 1n mn 1 mn排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的
12、式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式 1.A 910 1112，则 m( )m12A3 B4C5 D6解析：选 B.等式 A 9101112 的右边是 4 个连续自然数的乘积，且最大数为 12，m12故 m4.2下列各式中与排列数 A 相等的是( )mnA. Bn( n1)(n2)( nm)n！（m n）！C. A DA Ann m 1 n 1n 1n m 1n解析：选 D.因为 A ，mnn！（n m）！A A n1n m 1n（n 1）！n 1 （m 1）！n ，（n 1）！（n m）！ n！（n m）！所以 A A A .mn 1n m 1n1456(n1)n 等于( )AA BA
13、4n n 4nCn！4! DA n 3n解析：选 D.456(n1)n 中共有 n41n3 个因式，最大数为 n，最小数为 4，故 456(n1)nA .n 3n2从 1，2，3，4 这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有( )A9 个 B12 个 C15 个 D18 个解析：选 B.用树形图表示为：由此可知共有 12 个3. _解析： .43254321 15答案：154从 0，1，2，3 这四个数字中，每次取出 3 个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于 200 的所有三位数解：大于 200 的三位数的首位是 2 或 3，于是大于 200 的三位数有：201，203，21
14、0，213，230，231，301，302，310，312，320，321.知识结构 深化拓展1.判断一个问题是否是排列的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关这就是说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题2排列数两个公式的选取技巧(1)排列数的第一个公式 A n(n1)(n2) (nm1)适用 mmn已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式在运用时要注意它的特点，从 n 起连续写出 m 个数的乘积即可(2)排列数的第二个公式 A 用于与排列数有关的证mnn！（n m）！明、解方程、解
15、不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n、m N *，mn”的运用易错提醒 公式中的 n，m 应该满足 n，mN *，m n，当mn 时不成立 ., A 基础达标1已知下列问题：从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；从 a，b，c，d 中选出 3 个字母；从 1，2，3，4，5 这五个数字中取出 2 个数字组成一个两位数其中是排列问题的有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：选 B.由排列的定义知 是排列问题2计算 ( )A12 B24C30 D36解析：选 D. 76636.76543
16、2 6543254323若 N *，且 27，则(27)(28)(34 )等于( )AA BA827 27 34CA DA734 834 解析：选 D.从 27 到 34 共有 34 (27) 18 个数所以(27)(28)(34)A .834 4甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )A6 B4C8 D10解析：选 B.列树形图如下：丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲，共 4 种5不等式 A n7 的解集为 ( )2n 1A n|1n5 B1，2，3，4C3，4 D4解析：选 C.由不等式 A n7，2n 1得(n1)( n2)n7，整理得 n24n50，解得1n5.又因为 n12
17、且 nN *，即 n3 且 nN *，所以 n3 或 n4，故不等式 A n7 的解集为 3，42n 16. _解析：原式21211109 12111098131211109 12111098 2.2 813 8答案：27从 a，b，c，d，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成_个以 b 为首的不同的排列，它们分别是_.解析：画出树形图如下：可知共 12 个，它们分别是bac，bad，bae，bca ，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea ， bec，bed.答案：12 bac，bad，bae ，bca ，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec ，bed8若集合 P
18、x| xA ，m N*，则集合 P 中共有_ 个元素m4解析：因为 xA ，m4所以有 mN *且 m4，所以 P 中的元素为 A 4，A 12，A A 24，14 24 34 4即集合 P 中有 3 个元素答案：39判断下列问题是否是排列问题：(1)某班共有 50 名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从 2，3，5，7，9 中任取两个数分别作为对数的底数和真数，有多少个不同对数值？(3)从集合 M 1，2，9 中，任取相异的两个元素作为 a，b，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程 1?x2a2 y2b2解：(1)是选出的 2 人担任正、副班长，与顺序有关
19、，所以该问题是排列问题 (2)是显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关 (3)不是焦点在 x 轴上的椭圆，方程中的 a、b 必有 ab，即取出的两个数谁是 a，谁是b 是确定的10甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过 5 次传球，球仍回到甲手中，不同的传球方法共有多少种？解：由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图，共 5 种同样甲第一次发球给丙，也有 5 种情况由分类加法计数原理，共有 5510 种不同传球方法B 能力提升11若 SA A A A A ，则 S 的个位数字是 ( )1 2 3 4 100A8 B5C3 D0解析：选 C.因为当
20、 n5 时， A 的个位数字是 0，故 S 的个位数取决于前四个排列数又nA A A A 33，故选 C.1 2 3 412A 与 A 的大小关系是( )2n 1 3nAA A BA A2n 1 3n 2n 1 3nCA A D大小关系不定2n 1 3n解析：选 D.由题意知 n3， A A ( n1)nn( n1)(n2)n( n24n1)，当2n 1 3nn3 时，A A 60，得 A A ，当 n4 时，A A 0，得2n 1 3n 2n 1 3n 2n 1 3nA A ，即 A 与 A 的大小关系不定故选 D.2n 1 3n 2n 1 3n13解下列方程或不等式(1)3A 2A 6A
21、；3x 2x 1 2x(2)A 6A .x9 x 29解：(1)由排列数公式，得：3x（x 1）（x 2） 2（x 1）x 6x（x 1）， x 3， xN*. )由，得 3x217x 100，解得 x5 或 x ，23结合可知 x5 是所求方程的根(2)原不等式可化为：9！（9 x）！ 69！（9 x 2）！ ， 2 x 9， xN*.)式等价于(11x)(10 x)6，即 x221x1040，即(x 8)(x13)0，所以 x8 或 x13.结合得 2x8，x N*，所以所求不等式的解集为3， 4，5，6，7 14(选做题) 一条铁路有 n 个车站，为适应客运需要，新增了 m 个车站，且知 m1，客运车票增加了 62 种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解：由题意可知，原有车票的种数是 A 种，现有车票的种数是 A 种，所以2n 2n mA A 62，2n m 2n即(nm)(nm 1)n(n1)62，所以 m(2nm 1)62231，因为 m2nm1，且 n2，m，nN *，所以 m 2，2n m 1 31， )解得 m2，n15，故原有 15 个车站，现有 17 个车站
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