1、考点规范练 38 圆的方程一、基础巩固1.已知点 A(3,-1),B(-3,1),则以线段 AB 为直径的圆的方程是( )A.x2+y2=10 B.x2+y2= 10C.x2+y2=40 D.x2+y2=202.设 aR,则“a1” 是“ 方程 x2+2ax+y2+1=0 表示的曲线是圆”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a=( )A.- B.- C. D.243 34 34.圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的点到直线 x-y=2 的距离的最大值
2、是( )A.1+ B.2 C.1+ D.2+2222 25.已知圆 C 的圆心在曲线 y= 上,圆 C 过坐标原点 O,且分别与 x 轴、y 轴交于 A,B 两点,则OAB 的2面积等于 ( )A.2 B.3 C.4 D.86.(2018 天津,文 12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .7.已知 aR,方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 . 8. 如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方),且|AB|=2.(1)圆 C 的标准方程为 ;
3、 (2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为 . 9.在平面直角坐标系 xOy 中,以点 (1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 10.已知圆 C 的圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2),求圆 C 的方程.11.已知 M 为圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 上的任意一点,且点 Q(-2,3).(1)若点 P(a,a+1)在圆 C 上,求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率;(2)求|MQ|的最大值和最小值;(3)若 M(m,n),求 的最大值和最小值.-3+2二、能力
4、提升12.已知直线 l:x+my+4=0,若曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上存在两点 P,Q 关于直线 l 对称,则 m 的值为( )A.2 B.-2 C.1 D.-113.已知直线 l: =1 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A,B,O 为坐标原点,则OAB 的内切圆的方程为 4+3. 14.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1,点 P 是圆 C 上的动点.记 d=|PB|2+|PA|2,其中 A(0,1),B(0,-1),则 d 的最大值为 . 15.已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0.从圆 C 外一点 P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且
5、有|PM|=|PO|,求使 |PM|取得最小值时点 P 的坐标.三、高考预测16.已知动点 P(x,y)满足 x2+y2-|x|-|y|=0,O 为坐标原点,则 的最大值为 . 2+2考点规范练 38 圆的方程1.A 解析 由题意知线段 AB 的中点坐标为(0,0),|AB|= =2 ,3-(-3)2+(-1-1)2 10所以圆的方程为 x2+y2=10.2.A 解析 因为方程表示的曲线是圆,所以可转化为(x+a) 2+y2=a2-1,即 a2-10,解得 a1 或 a 1”时,有 a2-10,此时曲线方程是圆的方程;当曲线方程是圆的方程时,有 a1 或 a1.所以是充分不必要条件 .3.A
6、解析 因为圆的方程可化为(x- 1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).由点到直线的距离公式,得 d= =1,|+4-1|2+1解得 a=- ,故选 A.434.A 解析 将圆的方程化为(x-1) 2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为 1,则圆心到直线 x-y=2 的距离 d=,故圆上的点到直线 x-y=2 的距离的最大值为 d+1= +1,故选 A.|1-1-2|2 =2 25.C 解析 设圆心的坐标是 . 圆 C 过坐标原点,(,2) |OC|2=t2+ ,42 圆 C 的方程为(x-t) 2+ =t2+ .(-2)2 42令 x=0,得 y1=0,y2= , 点
7、 B 的坐标为 ;4 (0,4)令 y=0,得 x1=0,x2=2t, 点 A 的坐标为(2t,0), SOAB= |OA|OB|= |2t|=4,12 12|4|即OAB 的面积为 4.6.x2+y2-2x=0 解析 设点 O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,1),(2,0),则|AO|=|AB|,所以点 A 在线段 OB 的垂直平分线上.又因为 OB 为该圆的一条弦 ,所以圆心在线段 OB 的垂直平分线上.设圆心坐标为(1,y),所以(y-1) 2=1+y2,解得 y=0,所以该圆的半径为 1,其方程为( x-1)2+y2=1,即 x2+y2-2x=0.7.(-2,-4) 5 解析
8、由题意,可得 a2=a+2,解得 a=-1 或 a=2.当 a=-1 时,方程为 x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,- 4),半径为 5;当 a=2 时,方程为 4x2+4y2+4x+8y+10=0,即 +(y+1)(+12)22=- 不表示圆.548.(1)(x-1)2+(y- )2=2 (2)-1-2 2解析 (1)由题意可设圆心 C 的坐标为(1, b),取 AB 的中点 P,连接 CP,CB,则BPC 为直角三角形,|BC|=r= =b,故圆 C 的标准方程为(x- 1)2+(y- )2=2.2 2(2)由(1)得,C(1, ),B(0
9、, +1),则 kBC=-1.2 2圆 C 在点 B 处的切线方程为 y=x+ +1.令 y=0,得 x=- -1,即切线在 x 轴上的截距为-1- .2 2 29.(x-1)2+y2=2 解析 因为直线 mx-y-2m-1=0 恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)到直线 mx-y-2m-1=0 的最大距离为 d= ,所以半径最大时的 r= ,所以半径最大的圆的标准方程为(x-(2-1)2+(-1-0)2=2 21)2+y2=2.10.解 (方法一)如图,设圆心 C(x0,-4x0),依题意得 =1,则 x0=1,即圆心 C 的坐标为(1,-4), 半径 r=2 ,故圆 C 的方程为(x-
10、1) 2+(y+4)2=8.-2+403-0 2(方法二) 设所求圆 C 的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2=r2,根据已知条件得0=-40,(3-0)2+(-2-0)2=2,|0+0-1|2 =, 解得 0=1,0=-4,=22.因此所求圆 C 的方程为(x-1) 2+(y+4)2=8.11.解 (1)将(a,a+ 1)代入圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0,解得 a=4,所以 P(4,5),|PQ|= =2 ,(4+2)2+(5-3)2 10kPQ= .5-34-(-2)=13(2)因为由题意知圆 C:(x-2)2+(y-7)2=(2 )2,2所以圆心为 C(2,7),半径
11、R=2 ,|QC|-R|MQ|QC|+R.2因为|QC|=4 ,所以 2 |MQ|6 ,2 2 2所以|MQ| 的最小值为 2 ,最大值为 6 .2 2(3)由题意知 m2+n2-4m-14n+45=0,即(m-2) 2+(n-7)2=(2 )2.因为 表示该圆上的任意一点与 Q(-2,3)相连所得直线的斜率.设该直线斜2n-3+2率为 k,所以其方程为 y-3=k(x+2).由圆心(2,7) 到该直线的距离 d= 2 ,得 2- k2+ .所|4-4|2+1 2 3 3以 的最小值为 2- ,最大值为 2+ .-3+2 3 312.D 解析 曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 是圆(x+1
12、) 2+(y-3)2=9,若圆 (x+1)2+(y-3)2=9 上存在两点 P,Q 关于直线 l 对称,则直线 l:x+my+4=0 过圆心(- 1,3),所以-1+3m+4=0,解得 m=-1,故选 D.13.(x-1)2+(y-1)2=1 解析 由直线 =1 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A,B,4+3如图.设OAB 的内切圆的圆心为 M(m,m).直线方程 =1 可化简为 3x+4y-12=0,4+3由点 M 到直线 l 的距离等于 m,得 =m,解得 m=1 或 m=6(舍) .|3+4-12|32+42故OAB 的内切圆的方程为 (x-1)2+(y-1)2=1.14.74 解析 设
13、 P(x0,y0),d=|PB|2+|PA|2= +(y0+1)2+ +(y0-1)2=2( )+2. 表示圆上任一点20 20 20+20 20+20到原点距离的平方,所以( )max=(5+1)2=36,20+20故 dmax=74.15.解 由题意知圆 C 为(x+1) 2+(y-2)2=2.由|PO|=|PM|,得 =(x1+1)2+(y1-2)2-2,整理得 2x1-4y1+3=0,即点 P 在直线 l:2x-4y+3=0 上.21+21当|PM|取最小值时,|PO|取最小值,此时直线 POl,所以直线 PO 的方程为 2x+y=0.解方程组 得点 P 的坐标为 .2+=0,2-4+3=0, (-310,35)16. 解析 表示曲线上的任意一点( x,y)到原点的距离.2 2+2当 x0,y0 时,x 2+y2-x-y=0 可化为 ,曲线上的点到原点的距离的最大值为 2(-12)2+(-12)2=12.22=2当 x0,y0 时, x2+y2+x-y=0 可化为 ,曲线上的点到原点的距离的最大值为 2(+12)2+(-12)2=12.22=2综上可知, 的最大值为 .2+2 2
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