1、考点规范练 32 空间点、直线、平面之间的位置关系一、基础巩固1.在下列命题中,不是公理的是( )A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点 ,那么它们有且只有一条过该点的公共直线2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是线段 BC,CD1 的中点,则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是( )A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直3. 如图,=l ,A,B,C,且 Cl,直线 ABl=M,过 A,B,C 三点的平面记作 ,则
2、 与 的交线必通过( )A.点 AB.点 BC.点 C 但不过点 MD.点 C 和点 M4. 如图所示,ABCD-A 1B1C1D1 是长方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则下列结论正确的是( )A.A,M,O 三点共线B.A,M,O,A1 不共面C.A,M,C,O 不共面D.B,B1,O,M 共面5.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 和 a,且长为 a 的棱与长为 的棱异面,则 a 的取值范围是( )2 2A.(0, ) B.(0, ) C.(1, ) D.(1, )2 3 2 36.l1,l2 表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2
3、是异面直线,q: l1,l2 不相交,则( )A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件C.p 是 q 的充分必要条件D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件7. 如图,圆锥 SO 中,AB,CD 为底面圆的两条直径 ,ABCD=O,且 ABCD,SO=OB=2,P 为 SB 的中点,则异面直线 SA 与 PD 所成角的正切值为 ( )A.1 B. C.2 D.22 28.已知直线 l平面 ,直线 m平面 ,则 是 lm 的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.过正方体 A
4、BCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作平面 ,使得正方体的各棱与平面 所成的角均相等,则满足条件的平面 的个数是( )A.1 B.4 C.6 D.810. 如图所示,在空间四边形 ABCD 中,点 E,H 分别是边 AB,AD 的中点,点 F,G 分别是边 BC,CD 上的点,且 ,则下列说法正确的是 .(填序号) =23 EF 与 GH 平行; EF 与 GH 异面; EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上,也可能不在直线 AC 上; EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上.11. 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA底面 ABC,D 是 PC 的中点.已知BAC= ,
5、AB=2,AC=2 ,PA=2.求:2 3(1)三棱锥 P-ABC 的体积;(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值.二、能力提升12.已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 , 内,则“ 直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.若空间三条直线 a,b,c 满足 ab,bc,则直线 a 与 c( )A.一定平行 B.一定相交C.一定是异面直线 D.一定垂直14.若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值( )A.至多等于 3 B.至多等于 4C.等于 5 D.大于 515.
6、已知 m,n,l 为不同的直线, 为不同的平面,给出下列命题,其中真命题的序号是 . ml,nlmn; m,nmn; m,n,mn; m, ,nmn; m 与 l 异面,n 与 l 异面m 与 n 异面; m 与 l 共面,n 与 l 共面m 与 n 共面.16.a,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a,b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论: 当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 30角; 当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 60角; 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45; 直线
7、 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是 .(填序号 ) 17. 如图所示,A 是BCD 所在平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点.(1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线;(2)若 ACBD ,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角.三、高考预测18. 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是棱 D1D 的中点,点 F 在棱 B1B 上,且满足B1F=2BF.(1)求证:EFA 1C1;(2)在棱 C1C 上确定一点 G,使 A,E,G,F 四点共面,并求此时 C1G 的长.考点规范练 32 空间点、直线、平面之间的位置关系1.A
8、 解析 选项 A 是面面平行的性质定理 ,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.2.A 解析 由 BC AD,AD A1D1 知,BC A1D1,从而四边形 A1BCD1 是平行四边形,所以 A1BCD 1,又 EF平面 A1BCD1,EFD1C=F,则 A1B 与 EF 相交.3.D 解析 AB,MAB, M .又 =l,Ml , M.根据公理 3 可知,M 在 与 的交线上,同理可知,点 C 也在 与 的交线上.4.A 解析 连接 A1C1,AC,则 A1C1AC,所以 A1,C1,A,C 四点共面.所以 A1C平面 ACC1A1.因为 MA 1C,所以 M平面 ACC1A1.又 M平
9、面 AB1D1,所以 M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上.同理 A,O 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上,所以 A,M,O 三点共线.5.A 解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为 a 的棱长一定大于 0 且小于 .26.A 解析 l1,l2 是异面直线l 1,l2 不相交,即 pq;而 l1,l2 不相交 l1,l2 是异面直线,即 q p.故 p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件.7. B 解析 连接 OP,易知 O 为 AB 的中点.因为 P 为 SB 的中点,所以 OPSA ,且 OP= SA,所以DPO12为异面直线
10、SA 与 PD 所成的角 .在 RtSOB 中,SO=OB=2,所以 OP= .在等腰三角形 PCD 中,2OPCD,OD=2,所以 tanDPO= ,故选 B.=22=28.A 解析 若 ,则由 l 知 l ,又 m,可得 lm,若 与 相交(如图),设 =n,当 mn 时,由 l 可得 lm,而此时 与 不平行,于是 是 lm 的充分不必要条件,故选 A.9.B 解析 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 AA1,AD,AB 平行的直线各有 3 条,AA 1=AD=AB,A1-BDC1是正三棱锥,AA 1,AD,AB 与平面 A1DB 所成角相等, 满足条件的平面有 4 个,故选
11、B.10. 解析 连接 EH,FG(图略 ),依题意,可得 EHBD ,FGBD,故 EHFG ,所以 E,F,G,H 共面.因为EH= BD,FG= BD,故 EHFG,所以 EFGH 是梯形,EF 与 GH 必相交,设交点为 M.因为点 M 在 EF 上,12 23故点 M 在平面 ACB 上.同理,点 M 在平面 ACD 上,所以点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点,又 AC是这两个平面的交线,所以点 M 一定在直线 AC 上.11.解 (1)SABC= 22 =2 ,三棱锥 P-ABC 的体积为 V= SABCPA= 2 2= .12 3 3 13 13 3 433(2)如图
12、,取 PB 的中点 E,连接 DE,AE,则 EDBC,所以ADE(或其补角) 是异面直线 BC 与 AD 所成的角.在ADE 中,DE=2,AE= ,AD=2,2cosADE= .22+22-2222=34故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 .3412.A 解析 若直线 a,b 相交,设交点为 P,则 Pa,Pb.又 a,b,所以 P,P,故 , 相交.反之,若 , 相交 ,则 a,b 可能相交,也可能异面或平行 .故“ 直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件.13.D 解析 两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直,故选 D.1
13、4.B 解析 特殊值法.当 n=3 时,正三角形的三个顶点之间两两距离相等,故 n=3 符合;当 n=4 时,联想正四面体的四个顶点之间两两距离相等,故 n=4 符合.由此可以排除选项 A,C,D.故选 B.15. 解析 由平面的基本性质 4 知 正确;平行于同一平面的两条直线可以平行、相交,也可以异面,故 错误;mn,故 为真命题; mn,故 为真命题;或 如图(1),长方体中,m 与 l 异面,n 1,n2,n3 都与 l 异面,但 n2 与 m 相交,n 1 与 m 异面,n 3 与 m 平行,故 为假命题;如图(2),长方体中,m 与 l 共面,n 与 l 共面,但 m 与 n 异面,
14、故 为假命题.(1)(2)16. 解析 由题意,AB 是以 AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线 ,由 ACa,ACb,得 AC圆锥底面,在底面内可以过点 B,作 BDa,交底面圆 C 于点 D,如图所示,连接 DE,则 DEBD, DEb.连接 AD,在等腰三角形 ABD 中,设 AB=AD= ,当直线 AB 与 a 成 60角时,ABD=60,故 BD= .又2 2在 RtBDE 中,BE=2, DE= ,过点 B 作 BFDE ,交圆 C 于点 F,连接 AF,由圆的对称性可知2BF=DE= , ABF 为等边三角形, ABF= 60,即 AB 与 b 成 60角, 正确, 错误.由
15、最小角定2理可知 正确;很明显,可以满足直线 a平面 ABC,直线 AB 与 a 所成的最大角为 90, 错误.故正确的说法为 .17. (1)证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与 BC 共面,所以 A,B,C,D 在同一平面内,这与 A 是 BCD 所在平面外的一点相矛盾.故直线 EF 与 BD 是异面直线.(2)解 取 CD 的中点 G,连接 EG,FG,则 ACFG,EGBD ,所以相交直线 EF 与 EG 所成的角即为异面直线 EF 与 BD 所成的角.又因为 ACBD,所以 FGEG.在 RtEGF 中,由 EG
16、=FG= AC,可得FEG=45,即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45.1218.(1)证明 如图所示,连接 B1D1, ABCD-A1B1C1D1 为正方体, 四边形 A1B1C1D1 为正方形. A1C1B 1D1. BB1平面 A1B1C1D1, A1C1BB 1. B1D1BB1=B1, A1C1平面 BB1D1D. EF平面 BB1D1D, EFA 1C1.(2)解 如图所示,假设 A,E,G,F 四点共面,则 A,E,G,F 四点确定平面 AEGF, ABCD-A1B1C1D1 为正方体, 平面 AA1D1D平面 BB1C1C. 平面 AEGF平面 AA1D1D=AE,平面
17、 AEGF平面 BB1C1C=GF, 由平面与平面平行的性质定理得 AEGF,同理可得 AFGE ,因此四边形 AEGF 为平行四边形, GF=AE.在 RtADE 中,AD=a ,DE= DD1= ,ADE=90 ,12 2由勾股定理得 AE= a,2+2=2+(2)2=52在直角梯形 B1C1GF 中,下底 B1F= BB1= a,腰 B1C1=a,GF=AE= a,23 23 52过 G 作 GHBB 1 交 BB1 于 H.显然四边形 B1C1GH 为矩形,故有 C1G=B1H,GH=C1B1=a.在 RtFGH 中,FH=B 1F=C1G,GH=a.由勾股定理可得GF= = a,2+(1-1)2 2+(23-1)2=52结合图形可知 C1GB1F,解得 C1G= a.16
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