1、考点规范练 37 直线与方程一、基础巩固1.若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1, -1),则直线 l 的斜率为( )A. B.- C.- D.13 13 32 232.若直线 mx+2y+m=0 与直线 3mx+(m-1)y+7=0 平行,则 m 的值为( )A.7 B.0 或 7 C.0 D.43.若直线 l1:kx+(1-k)y-3=0 和 l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0 互相垂直,则 k=( )A.-3 或- 1 B.3 或 1 C.-3 或 1 D.-1 或 34.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2关于点(2,1)
2、对称,则直线 l2经过定点 ( )A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2)5.在同一平面直角坐标系中,直线 l1:ax+y+b=0 和直线 l2:bx+y+a=0 的图象可能是( )6.若点(m,n) 在直线 4x+3y-10=0 上,则 m2+n2的最小值是( )A.2 B.2 C.4 D.22 37.已知直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是( -3,3),则其斜率的取值范围是( )A. B. (1,+)(-1,15) (-,12)C.(-,1) D.(-,-1)(15,+) (12,+)8.已知点 P(4,a)到直线 4x-3y-1=0
3、的距离不大于 3,则 a 的取值范围是 . 9.设直线 l 的方程为(m 2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求 m 的值.(1)直线 l 经过定点 P(2,-1);(2)直线 l 在 y 轴上的截距为 6;(3)直线 l 与 y 轴平行;(4)直线 l 与 y 轴垂直.10.已知两条直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当 m 分别为何值时,l 1与 l2:(1)相交?(2)平行?(3)垂直?二、能力提升11.若 mR,则“ log6m=-1”是“直线 l1:x+2my-1=0 与 l2:(3m-1)x-my-1=0 平行”的(
4、 )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知点 A(7,-4)关于直线 l 的对称点为 B(-5,6),则该对称直线 l 的方程为( )A.6x+5y-1=0 B.5x+6y+1=0C.5x-6y-1=0 D.6x-5y-1=013.在直角坐标平面内,过定点 P 的直线 l:ax+y-1=0 与过定点 Q 的直线 m:x-ay+3=0 相交于点 M,则|MP|2+|MQ|2的值为( )A. B. C.5 D.10102 1014.已知点 P(x,y)到 A(0,4)和 B(-2,0)的距离相等,则 2x+4y 的最小值为 . 15.已知直线 l1:
5、ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当 00,b0 时,-a0,-b0,选项 B 符合.6.C 解析 (方法一)因为点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,所以 4m+3n-10=0.欲求 m2+n2的最小值可先求 的最小值.(-0)2+(-0)2而 表示 4m+3n-10=0 上的点(m,n)到原点的距离 ,如图.(-0)2+(-0)2当过原点和点(m,n)的直线与直线 4m+3n-10=0 垂直时,原点到点(m,n) 的距离最小,最小值为 2.故 m2+n2的最小值为 4.(方法二) 由题意知点( m,n)为直线上到原点最近的点,直线与两坐标轴交于 A ,B ,(5
6、2,0) (0,103)在 RtOAB 中,|OA|= ,|OB|= ,|AB|= ,52 103 (52)2+(103)2=256斜边上的高 h 即为所求 m2+n2的算术平方根, SOAB= |OA|OB|= |AB|h,12 12 h= =2,| =52103256 m2+n2的最小值为 h2=4.7.D 解析 设直线的斜率为 k,如图.当过定点 A 的直线经过点 B 时,直线 l 在 x 轴上的截距为 3,此时k=-1;当过定点 A 的直线经过点 C 时,直线 l 在 x 轴上的截距为- 3,此时 k= .故所求的直线的斜率的取12值范围是(- ,-1) .(12,+)8.0,10 解
7、析 由题意得,点 P 到直线的距离为 .|44-3-1|5 =|15-3|5又 3,即| 15-3a|15,解得 0a10,故 a 的取值范围是0,10.|15-3|59.解 (1)由于点 P 在直线 l 上,即点 P 的坐标(2,- 1)适合方程(m 2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把点 P 的坐标(2,- 1)代入方程,得 2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得 m= .17(2)令 x=0,得 y= ,2-622+-1根据题意可知 =6,2-622+-1解得 m=- 或 m=0.13(3)直线与 y 轴平行,则有 2-2-30,22+-1=0,解得 m
8、= .12(4)直线与 y 轴垂直,则有 解得 m=3.2-2-3=0,22+-10,10.解 (1)当 m=-5 时,显然 l1与 l2相交但不垂直;当 m-5 时,两条直线 l1和 l2的斜率分别为 k1=- ,k2=- ,它们在 y 轴上的截距分别为3+4 25+b1= ,b2= .5-34 85+由 k1k2,得- - ,3+4 25+即 m-7,且 m-1.则当 m-7,且 m-1 时,l 1与 l2相交.(2)由 1=2,12,得 -3+4 =- 25+,5-34 85+, 解得 m=-7.则当 m=-7 时,l 1与 l2平行.(3)由 k1k2=-1,得 =-1,解得 m=-
9、.(-3+4)(- 25+) 133则当 m=- 时,l 1与 l2垂直.13311.A 解析 由 log6m=-1,得 m= .若 l1:x+2my-1=0 与 l2:(3m-1)x-my-1=0 平行,16则直线斜率相等或斜率不存在,解得 m=0 或 m= ,16则“log 6m=-1”是“直线 l1:x+2my-1=0 与 l2:(3m-1)x-my-1=0 平行”的充分不必要条件.12.D 解析 由题意可得,直线 l 是线段 AB 的垂直平分线.因为 A(7,-4),B(-5,6),所以 kAB= =- ,所以6+4-5-7 56kl= .又因为线段 AB 的中点坐标为(1,1),所以
10、直线 l 的方程为 y-1= (x-1),即 6x-5y-1=0.65 6513.D 解析 由题意知 P(0,1),Q(-3,0). 过定点 P 的直线 ax+y-1=0 与过定点 Q 的直线 x-ay+3=0 垂直, 点 M 位于以 PQ 为直径的圆上. |PQ|= ,9+1=10 |MP|2+|MQ|2=|PQ|2=10.14.4 解析 由题意得,点 P 在线段 AB 的垂直平分线上, 则易得点 P 的轨迹方程为 x+2y=3,所以22x+4y2 =2 =4 ,当且仅当 x=2y= 时等号成立,故 2x+4y 的最小值为 4 .24 2+2 232 215.解 由 -2=2-4,2+2=22+4,得 =2,=2,所以直线 l1与 l2交于点 A(2,2)(如图).易知|OB|=a 2+2,|OC|=2-a,连接 OA,则 S 四边形 OBAC=SAOB+SAOC= 2(a2+2)+ 2(2-a)=a2-a+4= ,a(0,2),12 12 (-12)2+154所以当 a= 时,四边形 OBAC 的面积最小.1216.D 解析 依题意得|a-b|= ,当 0c 时, |a-b|= 1.因为两条直(+)2-4=1-418 22 1-4线间的距离等于 ,所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是 .|-|2 22, 2212=12
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