1、单元质检三 导数及其应用(时间:100 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)1.如果一个物体的运动方程为 s(t)=1-t+t2,其中 s 的单位是 m,t 的单位是 s,那么物体在 3 s 末的瞬时速度是( )A.7 m/s B.6 m/sC.5 m/s D.8 m/s2.若函数 y=ex+mx 有极值,则实数 m 的取值范围是( )A.m0 B.m1 D.m1,f(0)=5,f(x)是 f(x)的导函数,则不等式 ex(f(x)-1)4(其中e 为自然对数的底数) 的解集为( )A.(0,+) B.(-,0)(3,+ )C.(-,0)(1,
2、 +) D.(3,+)8.设函数 f(x)=ex ,若不等式 f(x)0 有正实数解 ,则实数 a 的最小值为( )(+3-3)A.3 B.2C.e2 D.e二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)9.(2018 天津,文 10)已知函数 f(x)=exln x,f(x)为 f(x)的导函数 ,则 f(1)的值为 . 10.设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+3=0 垂直,则 a= . +1-111.若 f(x)=ae-x-ex 为奇函数,则 f(x-1)0; f(0)f(3)0; f(0)f(3)0; f(1)f(3)0 时,x 2kx 对任意的 x(
3、0,+)恒成立,求实数 k 的取值范围.20.(14 分) 设 aZ,已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a 在区间(1,2)内有一个零点 x0,g(x)为f(x)的导函数.(1)求 g(x)的单调区间;(2)设 m1, x0)( x0,2,函数 h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证: h(m)h(x0)0,若 y=ex+mx 有极值, 则必须使 y的值有正有负,故 m 时 ,f(x)0,f(x)单调递增,则 f(x)的最小值为 f +ln 20,所以 f(x)无零点.12 (12)=345.D 解析 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x)
4、,即-x 3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得 a=1,则 f(x)=x3+x.由 f(x)=3x2+1,得曲线 f(x)在(0,0)处的切线斜率 k=f(0)=1.故切线方程为 y=x.6.B 解析 f(x)=- -2x,2(1)312 f(1)=- f(1)-2,13解得 f(1)=- ,32 f(x)= -x2,f(x)= .1-42令 f(x)0,解得 x ,344 344故 f(x)在 内递增,在 内递减,(0,344) (344,+)故 f(x)的最大值是 f ,a= .(344) 3447.A 解析 令 g(x)=ex(f(x)-1),则 g(x)=ex(
5、f(x)-1)+exf(x)=ex(f(x)+f(x)-1).因为 f(x)+f(x)1,所以 g(x)0.所以函数 g(x)在 R 上单调递增.因为 f(0)=5,所以 g(0)=4.因为 ex(f(x)-1)4,所以 g(x)g(0),所以 x0.故选 A.8.D 解析 原问题等价于 ae x(x2-3x+3)在区间(0,+)内有解.令 g(x)=ex(x2-3x+3),则 ag(x) min,而 g(x)=ex(x2-x).由 g(x)0,可得 x1 或 x-1,即 x0. f(x-1)3 时,f(x)0. f(x)的单调递增区间为(-,1)和(3, +),单调递减区间为(1,3). f
6、(x)极大值 =f(1)=1-6+9-abc=4-abc,f(x)极小值 =f(3)=27-54+27-abc=-abc. f(x)=0 有三个解 a,b,c, a0,且 f(3)=-abc0,f(1)f(3)0;当 01 时,g (x)0, g(x)在(- ,0)内单调递增 ,在(0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增, 当 x=0 时,g(x)取得极大值 g(0)=0,当 x=1 时,g(x) 取得极小值 g(1)=-1.关于 a 的方程 2a3-3a2=-3-m 有两个不同的根 ,等价于 y=g(x)与 y=-3-m 的图象有两个不同的交点, -3-m=-1 或- 3-m=0,解得
7、m=-3 或 m=-2, 实数 m 的值是-3 或-2.15.解 (1)因为(x- )=1- ,(e-x)=-e-x,2-112-1所以 f(x)= e-x-(x- )e-x= .(1-12-1) 2-1 (1-)(2-1-2)-2-1 (12)(2)由 f(x)= =0,(1-)(2-1-2)-2-1解得 x=1 或 x= .52当 x 变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表:x 12 (12,1) 1 (1,52) 52 (52,+)f(x) - 0 + 0 -f(x) 12-12 0 12-52又 f(x)= -1)2e-x0,12(2-1所以 f(x)在区间 内的取值范围是 .1
8、2,+) 0,12-1216.(1)解 当 a=3 时,f( x)= x3-3x2-3x-3,f(x)=x2-6x-3.13令 f(x)=0,解得 x=3-2 或 x=3+2 .3 3当 x(-,3-2 )(3+2 ,+)时,f(x)0;3 3当 x(3 -2 ,3+2 )时,f( x)0,所以 f(x)=0 等价于 -3a=0.32+1设 g(x)= -3a,则 g(x)= 0,仅当 x=0 时 g(x)=0,所以 g(x)在(-,+ )内单调递增,故32+1 2(2+2+3)(2+1)2g(x)至多有一个零点,从而 f(x)至多有一个零点.又 f(3a-1)=-6a2+2a- =-6 0,
9、故 f(x)有一个零点.13 (-16)216 13综上,f(x )只有一个零点.17.(1)解 由 f(x)=ex-ax,得 f(x)=ex-a.因为 f(0)=1-a=-1,所以 a=2.所以 f(x)=ex-2x,f(x)=ex-2.令 f(x)=0,得 x=ln 2.当 xln 2 时,f( x)0,f(x)单调递增,所以当 x=ln 2 时,f(x)取得极小值 ,极小值为 f(ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.(2)证明 令 g(x)=ex-x2,则 g(x)=ex-2x.由(1), 得 g(x)=f(x)f(ln 2) =2-ln 40,故 g(x)在 R
10、 上单调递增.因为 g(0)=10,所以当 x0,g(x)g(0)0,即 x2 ,则当 x 时,f( x)0.所以 f(x)在 x=2 处取得极小值.若 a ,则当 x(0,2) 时,x-20.12 12所以 2 不是 f(x)的极小值点.综上可知,a 的取值范围是 .(12,+)19.(1)解 f(x)=ex-x2+a, f(x)=ex-2x.由已知,得 (0)=1+=0,(0)=1=, 解得 =-1,=1. 函数 f(x)的解析式为 f(x)=ex-x2-1.(2)证明 令 (x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,则 (x)=ex-1.由 (x)=0,得 x=0.当 x(-,0)时,(x
11、 )0,(x)单调递增.故 (x)min=(0)=0,从而 f(x)-x 2+x.(3)解 f(x)kx 对任意的 x(0, +)恒成立 k 对任意的 x(0, +)恒成立.()令 g(x)= ,x0,()则 g(x)= = = .()-()2 (-2)-(-2-1)2 (-1)(-1)2由(2)可知当 x(0,+)时,e x-x-10 恒成立,由 g(x)0,得 x1;由 g(x)0,故当 x1, x0)时 ,H1(x)0,H1(x)单调递增.因此,当 x1, x0)( x0,2时,H 1(x)H1(x0)=-f(x0)=0,可得 H1(m)0,即 h(m)0.令函数 H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),则 H2(x)=g(x0)-g(x).由(1)知 g(x)在1,2上单调递增,故当 x1, x0)时 ,H2(x)0,H2(x)单调递增;当 x(x 0,2时, H2(x)0,故 f(x)在1,2上单调递增 ,所以 f(x)在区间1,2 上除 x0 外没有其他的零点,而 x0,故 f 0. ()又因为 p,q,a 均为整数,所以|2p 4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|是正整数,从而|2p 4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|1.所以 .|-0| 1(2)4所以,只要取 A=g(2),就有 .|-0|14
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