1、2019 年广东省汕头市高考数学一模试卷（理科） （A 卷）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax|log 2x0，B x|x2，则 AB（ ）A x|x2 Bx|0x2 C x|0x2 D x|1x22 （5 分）已知 aR，i 是虚数单位，复数 ，若 ，则 a（ ）A0 B2 C2 D13 （5 分）已知离散型随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P m则 X 的数学期望 E（X ）（ ）A B1 C D24 （5 分）已知向量 ，若 ，则向量与向量
2、的夹角为（ ）A B C D5 （5 分）动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x+20 相切，则动圆必经过定点（ ）A （4，0） B （2，0） C （0，2） D （0，2）6 （5 分）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数yg（x ）的图象，则 g（x）在 上的最小值为（ ）A1 B C D07 （5 分）将含有甲、乙、丙的 6 人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宜传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ）A B C D8 （5 分）在正方体 ABCDA 1B
3、1C1D1 中，点 O 是四边形 ABCD 的中心，关于直线 A1O，第 2 页（共 27 页）下列说法正确的是（ ）AA 1OD 1C BA 1OBCCA 1O平面 B1CD1 DA 1O平面 AB1D19 （5 分）若函数 f（x ）e x（cos xa）在区间 上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ）A B （1，+） C1 ，+） D10 （5 分）过双曲线 1（a0，b0）的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点，与双曲线的渐进线交于 C，D 两点，若|AB| |CD|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ，+ ） B ，+）
4、C （1， D （1， 11 （5 分）三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABC 30，APC 的面积为 2，则三棱锥 P ABC 的外接球体积的最小值为（ ）A B C64 D412 （5 分）定义在 上的函数 f（x ） ，满足 ，且当 时，f（x）lnx，若函数 g（x）f （x）ax 在 上有零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A B ln，0 C D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z4x+y 的最大值为 14 （5 分）已知 ，则 cos2
5、 15 （5 分）在（1ax+x 2） 5 的展开式中，x 3 的系数为 30，则实数 a 的值为 16 （5 分）在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a1，且（bc2）cosA+ac cosB1 b2，则ABC 面积的最大值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考第 3 页（共 27 页）题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且
6、 2Snna n+2an1（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列 的前 n 项和为 Tn，证明：T n418 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA菱形 ABCD 所在的平面，ABC60，E 是 BC 中点，F 是 PC 上的点（1）求证：平面 AEF平面 PAD；（2）若 M 是 PD 的中点，当 ABAP 时，是否存在点 F，使直线 EM 与平面 AEF 的所成角的正弦值为 ？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由19 （12 分）我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营
7、养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布N（32，16） （1）购买 10 只该基地的“南澳牡蛎” ，会买到质量小于 20g 的牡蛎的可能性有多大？（2）2019 年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量 x（人）与年收益增量 y（万元）的数据如下：人工投入增量 x（人） 2 3 4 6 8 10 13年收益增量 y（万元） 13 22 31 42 50 56 58该基地为了预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量，建立了 y 与 x 的两个回归模型：第 4 页（共 27 页）模型 ：由最
8、小二乘公式可求得 y 与 x 的线性回归方程： ；模型 ：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线： 的附近，对人工投入增量 x 做变换，令 ，则 ybt +a，且有（i）根据所给的统计量，求模型 中 y 关于 x 的回归方程（精确到 0.1） ；（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数 R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量回归模型 模型 模型回归方程182.4 79.2附：若随机变量 ZN （ ， 2） ，则 P（3Z +3）0.9974，0.9987 100.9871；样本（t i，y i） （ i1，2，n）的最小二乘估计公
9、式为：，第 5 页（共 27 页）另，刻画回归效果的相关指数20 （12 分）已知椭圆 C： （ab0）的左右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 ，点 A 在椭圆 C 上，|AF 1|2，F 1AF260，过 F2 与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C交于 P， Q 两点（）求椭圆 C 的方程；（）若 P，Q 的中点为 N，在线段 OF2 上是否存在点 M（m，0） ，使得 MNPQ？若存在，求实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由21 （12 分）已知 f（x ） （a0） （1）讨论 f（x ）的单调性；（2）若 f（x）存在 3 个零点，求实数 a 的取值范围（二）选考题：共（10 分
10、） 请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，a0） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 （1）设 P 是曲线 C 上的一个动点，若点 P 到直线 l 的距离的最大值为 ，求 a 的值；（2）若曲线 C 上任意一点（ x，y）都满足 y|x |+2，求 a 的取值范围选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +k|+|x2|（k R） （1）若 k4，求不等式 f（x）x 22x4 的解集；（2）设
11、k4，当 x1， 2时都有 f（x）x 22x+4 ，求 k 的取值范围第 6 页（共 27 页）2019 年广东省汕头市高考数学一模试卷（理科） （A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax|log 2x0，B x|x2，则 AB（ ）A x|x2 Bx|0x2 C x|0x2 D x|1x2【分析】可解出集合 A，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax| x1，Bx|x2；ABx|1 x2故选：D【点评】考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算2
12、（5 分）已知 aR，i 是虚数单位，复数 ，若 ，则 a（ ）A0 B2 C2 D1【分析】利用商的模等于模的商列式求解 a 的值【解答】解：复数 ，且 ， ，即 ，则 a0故选：A【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题3 （5 分）已知离散型随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P m则 X 的数学期望 E（X ）（ ）A B1 C D2【分析】利用分布列求出 m，然后求解期望即可【解答】解：由题意可得： + +m+ 1第 7 页（共 27 页）可得 m E（X） 1故选：B【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力4
13、（5 分）已知向量 ，若 ，则向量与向量 的夹角为（ ）A B C D【分析】由向量共线的坐标运算得： ，所以 33（3k） ，即 k2，即（2，2） ，由向量的数量积得：（ 24+（2）40，即（ ，故向量 与向量 的夹角为 ，得解【解答】解：由 ，得： （3k，3） ，又 ，所以 33（3k） ，即 k2，即 （2，2） ，又 （4，4） ，所以（ 24+（2）40，所以（ ，故向量 与向量 的夹角为 ，故选：D【点评】本题考查了向量共线的坐标运算及向量的数量积及其夹角，属简单题5 （5 分）动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x+20 相切，则动圆必经过定点（
14、 ）A （4，0） B （2，0） C （0，2） D （0，2）【分析】由抛物线的解析式确定出焦点坐标与准线方程，根据动圆恒与直线 x+20 相切，而 x+20 为准线方程，利用抛物线的定义可得出动圆一定过抛物线的焦点第 8 页（共 27 页）【解答】解：由抛物线 y28x，得到准线方程为 x+20，焦点坐标为（ 2，0） ，动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x+2 0 相切，动圆必经过定点（2，0） 故选：B【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键6 （5 分）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数y
15、g（x ）的图象，则 g（x）在 上的最小值为（ ）A1 B C D0【分析】利用函数 yA sin（ x+）的图象变换规律得到 g（x ）的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得 g（x）在 上的最小值【解答】解：将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 yg（x ）sin（2x + ）sin（2x ）的图象，在 上，2x ， ，故当 2x 时，函数取得最小值为1，故选：A【点评】本题主要考查函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题7 （5 分）将含有甲、乙、丙的 6 人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分
16、发宜传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ）A B C D【分析】推导出基本事件总数 n 20，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组包含的基本事件个数：m 9，由此能求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率【解答】解：将含有甲、乙、丙的 6 人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，第 9 页（共 27 页）其中一组指挥交通，一组分发宜传资料，基本事件总数 n 20，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组包含的基本事件个数：m 9 ，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为 p 故选：C【点评】本题考查概率的求法
17、，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8 （5 分）在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 O 是四边形 ABCD 的中心，关于直线 A1O，下列说法正确的是（ ）AA 1OD 1C BA 1OBCCA 1O平面 B1CD1 DA 1O平面 AB1D1【分析】推导出 A1DB 1C，ODB 1D1，从而平面 A1DO平面 B1CD1，由此能得到A1O平面 B1CD1【解答】解：在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 O 是四边形 ABCD 的中心，A 1DB 1C，ODB 1D1，A 1DDO D，B 1D1B 1CB 1，平面 A1DO平面 B
18、1CD1，A 1O平面 A1DO，A 1O平面 B1CD1故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础第 10 页（共 27 页）知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题9 （5 分）若函数 f（x ）e x（cos xa）在区间 上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ）A B （1，+） C1 ，+） D【分析】求出函数的导数，问题转化为 acosxsinx，x ，令 h（x）cosx sinx sin（ x） ，x ，根据三角函数的性质求出 a 的范围即可【解答】解：f（x ）e x（cos xsin xa） ，若 f（x）在
19、区间 上单调递减，则 cosx sinxa0 区间 上恒成立，即 acosxsinx ，x ，令 h（x）cosxsinx sin（ x） ，x ，故 x（ ， ） ，故 sin（ x ）的最大值是 1，此时 x ，即 x ，故 h（x）的最大值是 ，故 a ，故选：D【点评】本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题10 （5 分）过双曲线 1（a0，b0）的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点，与双曲线的渐进线交于 C，D 两点，若|AB| |CD|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ，+ ） B ，+） C （1， D
20、（1， 【分析】将 xc 代入 1 和 y x，求出 A， B，C ，D 的坐标，由两点之第 11 页（共 27 页）间的距离公式求得|AB|，| CD|，由| AB| |CD|，求得 a 和 c 的关系，根据离心率公式，即可求得离心率的取值范围【解答】解：当 xc 时代入 1 得 y ，则 A（c ， ） ，B（c， ） ，则 AB ，将 xc 代入 y x 得 y ，则 C（c， ） ，D （ c， ） ，则|CD| ，|AB| |CD| ，即 b c，则 b2 c2c 2a 2，即 c2a 2，则 e2 ，则 e ，故选：B【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据方程求出交点坐标，结
21、合距离公式进行求解是解决本题的关键，属于中档题11 （5 分）三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABC 30，APC 的面积为 2，则三棱锥 P ABC 的外接球体积的最小值为（ ）A B C64 D4【分析】由题意画出图形，设 ACx ，由APC 的面积为 2，得 PA ，再由ABC30，得三角形 ABC 外接圆的半径 rx，求出球心到平面 ABC 的距离，再由勾股定理可得外接球的半径，利用基本不等式求得最小值，代入球的体积公式求解【解答】解：如图，设 AC x，由APC 的面积为 2，得 PA ，ABC30，三角形 ABC 外接圆的半径 rx，PA平面 ABC，PA ，第
22、 12 页（共 27 页）O 到平面 ABC 的距离为 d PA ，设球 O 的半径为 R，则 R ，当且仅当 时“”成立三棱锥 PABC 的外接球体积的最小值为 故选：A【点评】本题考查了棱锥与球的位置关系，考查正弦定理的应用，属于中档题12 （5 分）定义在 上的函数 f（x ） ，满足 ，且当 时，f（x）lnx，若函数 g（x）f （x）ax 在 上有零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A B ln，0 C D【分析】由题意，找出 x（1，的解析式，画出 f（x）定义在 上的图形，利用直线 yax 与 f（x）的交点个数得到 a 的范围【解答】解：因为当 时，f（x ）ln
23、x，所以 x（1，时， ，所以 f（ ）lnx，此时 ，故f（x）lnx，x（1，所以 f（x）在 上的图象如图，要使函数 g（x）f（x）ax 在上有零点，只要直线 yax 与 f（x）的图象有交点，由图象可得，k OAa0，其中 ，第 13 页（共 27 页）所以使函数 g（x）f（x）ax 在 上有零点，则实数 a 的取值范围是ln，0故选：B【点评】本题考查通过将定义域转变到已知函数的定义域上求函数解析式的方法，数形结合解题的方法，关键是将零点个数转化为函数图象的交点个数解答二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z4x
24、+y 的最大值为 19 【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由 z4x+y 得y4x+z，根据平移直线确定目标函数的最大值【解答】解：作出 x，y 满足约束条件 对应的平面区域如图：由 z4x+y 得 y4x +z，平移直线 y4x +z，由图象可知当直线 y4x +z 经过点 B 时，直线 y4x+z 的截距最大，此时 z 最大，由 ，解得 A（5，1） ，此时 z45119，第 14 页（共 27 页）故答案为：19【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键14 （5 分）已知 ，则 cos2 &n
25、bsp; 【分析】利用两角差的正切公式求得 tan 的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值【解答】解：已知 ，tan ，则 cos2 ，故答案为： 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式、二倍角公式的应用，属于基础题15 （5 分）在（1ax+x 2） 5 的展开式中，x 3 的系数为 30，则实数 a 的值为 1 【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：在（1ax+x 2） 5 的展开式中，通项公式 Tr+1 （x 2ax） r，（x 2ax） r 的通项公式 Tk+1 （x 2） rk （ax） k（a） k x2rk ，令 2r
26、k3则 r2 时，k 1；r3 时，k3x 3 的系数为 30 + ，第 15 页（共 27 页）解得 a1故答案为：1【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16 （5 分）在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a1，且（bc2）cosA+ac cosB1 b2，则ABC 面积的最大值为 【分析】根据余弦定理，结合三角形的面积公式以及基本不等式的性质进行转化求解即可【解答】解：a1，且（bc2）cosA+accosB1b 2，（bc2） +ac 1b 2，即 + 1b 2，即 +c21b 2，即 +c2
27、+b210， +c2+b2a 20，即（c 2+b2a 2） （1 ）0，ABC 是锐角三角形形，cosA 0，即 c2+b2a 20，则 1 0，即 bc1，由余弦定理得 a2b 2+c22bccosA2bc2bccosA，即 122cosA，得 2cosA1，得 cosA ，即 0a60，则三角形的面积 S bcsinA ，即三角形面积的最大值为 ，故答案为：【点评】本题主要考查解三角形的应用，结合余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式的性质是解决本题的关键第 16 页（共 27 页）三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必
28、须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 2Snna n+2an1（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列 的前 n 项和为 Tn，证明：T n4【分析】 （1）利用数列的递推关系式推出数列 为常数列，然后求解（2）由（1）得 ，所以 ，然后求解数列的和，推出结果即可【解答】解：（1）当 n1 时，2S 1a 1+2a11，即a11，（1 分）当 n2 时，2S nna n+2an1 ，2S n1 （n1）a n1 +2an1 1 （2分），得 2anna n（n 1）a n1 +2an2a n1
29、 ，即 nan（n+1 ）an1 ，（3 分）所以 ，且 ，（4 分）所以数列 为常数列，（5 分），即 （6 分）（2）由（1）得 ，所以 ，（8 分）第 17 页（共 27 页）所以 ，（9 分），（没写也不扣分）（10 分） （11 分） （12 分）【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，放缩法的应用，考查转化思想以及计算能力18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA菱形 ABCD 所在的平面，ABC60，E 是 BC 中点，F 是 PC 上的点（1）求证：平面 AEF平面 PAD；（2）若 M 是 PD 的中点，当 ABAP 时，是否存在点 F，使直线 EM 与平面 AEF
30、 的所成角的正弦值为 ？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由【分析】 （1）连接 AC，证明 AEBC ，AEAD，推出 PAAE，即可证明 AE平面PAD，然后说明平面 AEF平面 PAD（2）以 A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设 ABAP2，则 ，求出相关点的坐标，求出平面 AEF 的一个法向量，设直线 EM 与平面 AEF 所成角为，由 ，利用空间向量的数量积求解 ，然后推出结果【解答】 （1）证明：连接 AC，因为底面 ABCD 为菱形，ABC60，所以ABC 是正三角形，第 18 页（共 27 页）E 是 BC 的中点，AE BC ，（1 分）又 ADBC，AE
31、 AD，（2 分）PA平面 ABCD，AE平面 ABCD，PAAE ，（3 分）又 PAAD A，AE平面 PAD，（4 分）又 AE平面 AEF，所以平面 AEF平面 PAD（5 分）（2）解：以 A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设 ABAP2，则，则，（6 分）设 ，则，（7 分）又 ，设 是平面 AEF 的一个法向量，则 ，取 z，得 ，（9 分）设直线 EM 与平面 AEF 所成角为 ，由 ，得：（10 分）化简得：10 213+40，解得 或 ，故存在点 F 满足题意，此时 为 或 （12 分）第 19 页（共 27 页）【点评】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，
32、直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力19 （12 分）我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布N（32，16） （1）购买 10 只该基地的“南澳牡蛎” ，会买到质量小于 20g 的牡蛎的可能性有多大？（2）2019 年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量 x（人）与年收益增量 y（万元）的数据如下：人工投入增量 x（人） 2 3
33、4 6 8 10 13年收益增量 y（万元） 13 22 31 42 50 56 58该基地为了预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量，建立了 y 与 x 的两个回归模型：模型 ：由最小二乘公式可求得 y 与 x 的线性回归方程： ；模型 ：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线： 的附近，对人工投入增量 x 做变换，令 ，则 ybt +a，且有第 20 页（共 27 页）（i）根据所给的统计量，求模型 中 y 关于 x 的回归方程（精确到 0.1） ；（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数 R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为 16 人时的年收
34、益增量回归模型 模型 模型回归方程182.4 79.2附：若随机变量 ZN （ ， 2） ，则 P（3Z +3）0.9974，0.9987 100.9871；样本（t i，y i） （ i1，2，n）的最小二乘估计公式为：，另，刻画回归效果的相关指数【分析】 （1）结合 N（32 ，16）及正态分布的性质可求得 32，4，由正态分布的对称性可求 P（20） ，再结合二项分布的性质即可求解（2） （i）由已知结合回归系数的计算公式可求 a，b，进而可求回归方程（ii）由表格中的数据，结合相关指数的性质即可判断第 21 页（共 27 页）【解答】解：（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量 N（32，1
35、6） ，则32， 4， （1 分）由正态分布的对称性可知，设购买 10 只该基地的“南澳牡蛎” ，其中质量小于 20g 的牡蛎为 X 只，故XB（10，0，0013） ，故 P（X1）1P （X0）1（10.0013） 1010.98710.0129，所以这 10 只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于 20g 的牡蛎的可能性仅为1.29%（5 分）（2） （i）由，有 ，（6 分）且 ，（7 分）所以，模型中 y 关于 x 的回归方程为 （8 分）（ii）由表格中的数据，有 182.479.2，即 （9 分）模型 的 R2 小于模型 ，说明回归模型 刻画的拟合效果更好（10 分）当 x16 时，模
36、型 的收益增量的预测值为第 22 页（共 27 页）（万元） ，（11 分）这个结果比模型的预测精度更高、更可靠（12 分）【点评】本题主要考查了回归模型的应用及分布列的应用及相关指数在拟合模型的选择中的应用20 （12 分）已知椭圆 C： （ab0）的左右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 ，点 A 在椭圆 C 上，|AF 1|2，F 1AF260，过 F2 与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C交于 P， Q 两点（）求椭圆 C 的方程；（）若 P，Q 的中点为 N，在线段 OF2 上是否存在点 M（m，0） ，使得 MNPQ？若存在，求实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由【分析】 （）
37、利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆 C 的方程（）存在这样的点 M 符合题意设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，N（x 0，y 0） ，设直线PQ 的方程为 yk（x 1） ，邻里中心与椭圆方程，利用韦达定理求出，通过点 N 在直线 PQ 上，求出 N 的坐标，利用 MNPQ，转化求解 m 的范围【解答】解：（）由 得 a2c，| AF1|2，|AF 2|2a2，由余弦定理得， ，解得 c1，a2，b 2a 2c 23，所以椭圆 C 的方程为 （）存在这样的点 M 符合题意设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，N（x 0，y 0） ，由 F2（1，0
38、） ，设直线 PQ 的方程为 yk（x1） ，第 23 页（共 27 页）由 得（4k 2+3）x 28k 2x+4k2120，由韦达定理得 ，故 ，又点 N 在直线 PQ 上， ，所以 因为 MNPQ，所以 ，整理得 ，所以存在实数 m，且 m 的取值范围为 【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力21 （12 分）已知 f（x ） （a0） （1）讨论 f（x ）的单调性；（2）若 f（x）存在 3 个零点，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，问题转化为 有 2
39、 个实数根，分离参数a，令 ，根据函数的单调性求出 a 的范围即可【解答】解：（1）f'（x ）ax+a+ ex+（x2）e x（x1）（e xa）（1 分）因为 a0，由 f'（x ）0，得 x11 或x2lna（2 分）（i）当 0ae 时，1lna，在（，lna）和（1，+ ）上，f '（x）0，f（x ）单调递增；在（lna，1）上，f'（x）0，f （x）单调递减，（3 分）（ii）当 ae 时，1lna，在（ ，+）上，f'（x）0，f（x）单调递增，第 24 页（共 27 页）（4 分）（iii ）当 ae 时，lna1，在（，1）和（ln
40、a，+ ）上，f '（x）0，f（x ）单调递增；在（1，lna）上，f'（x）0，f （x）单调递减，（5 分）（2）f（x） ax2+ax+（x2）e x（x2） （ ax+ex） ，所以 f（x）有一个零点x2（6 分）要使得 f（x）有 3 个零点，即方程 有 2 个实数根，又方程 ，令，（7 分）即函数 ya 与 yh（x ）图象有两个交点，令 ，得x1（8 分） ，h（x）的单调性如表：x （，0） （0，1） 1 （1，2） （2，+）h'（x） 0 + +h（x ） 极小值 当 x0 时，h（x ）0，又 h（2）e 2，h（x）的大致图象如图：（11
41、分）（9 分）所以，要使得 f（x ）有 3 个零点，则实数 a 的取值范围为（2e，e 2）（e 2，+） （12 分）第 25 页（共 27 页）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查函数恒成立问题，是一道综合题（二）选考题：共（10 分） 请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，a0） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 （1）设 P 是曲线 C 上的一个动点，若点 P 到直线 l 的距离的最大值为
42、 ，求 a 的值；（2）若曲线 C 上任意一点（ x，y）都满足 y|x |+2，求 a 的取值范围【分析】 （1）圆 C 上动点 P 到直线 l 的距离的最大值为圆心（ 0，a）到直线的距离加上半径；（2）利用圆心（0，a）到直线 yx+2 的距离大于等于圆 C 的半径 2，解不等式可得【解答】解：（1）依题意得曲线 C 的普通方程为：x 2+（ ya） 24，因为 sin（ ）2 ，所以 sincos 4，因为 x cos，y sin，所以直线 l 的直角坐标方程为： xy40，所以圆心 C（0，a）到直线的距离为 ，依题意得 +22 +2，第 26 页（共 27 页）因为 a0，解得 a
43、8（2）因为曲线 C 上任意一点（ x，y）都满足 y|x |+2，所以 2，所以|a 2| ，解得 a 22 或 a2+2 ，又 a0，所以 a 的取值范围为2+2 ，+）【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +k|+|x2|（k R） （1）若 k4，求不等式 f（x）x 22x4 的解集；（2）设 k4，当 x1， 2时都有 f（x）x 22x+4 ，求 k 的取值范围【分析】 （1）k4 时，函数 f（x）|2x +4|+|x2|，分类讨论去掉绝对值，求不等式 f（x ）x 22x4 的解集；（2）由 k4，x 1，2，
44、化简 f（x） ，把不等式 f（x）x 22x +4 转化为关于 k 的不等式恒成立问题，从而求出 k 的取值范围【解答】解：（1）k4 时，函数 f（x）|2x +4|+|x2|，所以 f（x） ，当 x2 时，由 f（x）x 22x4 化为3x 2x 22x 4，解得1x2，所以此时不等式无解；第 27 页（共 27 页）当2x2 时，由 f（x）x 22x4 化为 x+6x 22x 4，解得2x5，所以是2x2；当 x2 时，由 f（x）x 22x4 化为 3x+2x 22x4 ，解得1x6，所以是 2x6；综上所述，不等式 f（x ）x 22x4 的解集为x|2x6 ；（2）设 k4，则 2，当 x 1，2时，f（x ） 3x+2k，不等式 f（x） x22x+4 化为3x+2kx 22x+4，即 x2+x+k+20；设 g（x）x 2+x+k+2，则 g（x）0 在 x1，2恒成立，即 g（2）4+2+k +20，解得 k8，k 的取值范围是（，8
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