1、2019 年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 0 ，Bx|1x 1，则 AB（ ）A （1，1） B （1，2） C （1，0） D （0，1）2 （5 分）若复数（a+i） （2+i ） （i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a（ ）A2 B2 C D3 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z2x+y 的最大值为（ ）A7 B8 C15 D164 （5 分）已知 p：“x2
2、” ，q：“x2 ”，则 p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知 sin2 ，则 cos2（ ）（ ）A B C D6 （5 分）已知向量 （2，1） ， （1，k） ， （2 + ） ，则 k（ ）A8 B6 C6 D87 （5 分） （2xy ） （x +2y） 5 展开式中 x3y3 的系数为（ ）A40 B120 C160 D2008 （5 分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为（ ）第 2 页（共 25 页）A2+8 B +8 C D9 （5
3、分）将偶函数 f（x ） sin（2x+ ）cos （2x+） （0 ）的图象向右平移个单位，得到 yg（x）的图象，则 g（x ）的一个单调递减区间为（ ）A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） D （ ， ）10 （5 分）已知矩形 ABCD，AB1AD ，E 为 AD 的中点，现分别沿 BE，CE 将ABE，DCE 翻折，使点 A，D 重合，记为点 P，则几何体 PBCE 的外接球表面积为（ ）A10 B5 C D11 （5 分）双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1、F 2，且 F2 恰为抛物线 y24x 的焦点，设双曲线 C 与该抛物线的个交点为 A，若
4、| AF2| F1F2|，则双曲线 C 的离心率为（ ）A1+ B1+ C2+ D2+12 （5 分）设 a 为常数，函数 f（x ）e x（xa）+a，给出以下结论：若 a 1，则 f（x ）在区间（ a1，a）上有唯一零点；若 0 a1，则存在实数 x0，当 xx 0 时，f （x）0：若 a 0，则当 x0 时，f（ x）0其中正确结论的个数是（ ）A0 B1 C2 D3二、填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分，满分 20 分.13 （5 分）已知双曲线 1（a0）的一条渐近线为 y x，则实数 a 第 3 页（共 25 页）14
5、（5 分）不透明的布袋中有 3 个白球，2 个黑球，5 个红球共 10 个球（除颜色外完全相同） ，从中随机摸出 2 个球，则两个球不同色的概率为 15 （5 分）已知 f（x ）log 2（4 x+1）x，则使得 f（2x1）+1log 25 成立的 x 的取值范围是 16 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，且 a1，A ，若当b、c 变化时， g（b，c）b+c 存在最大值，则正数 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解否须写出必要的文字说明、证明过程或
6、演算步骤.17 （12 分）数列a n中，a 11，a n+an+1pn+1，其中 p 为常数（1）若 a1，a 2，a 4 成等比数列，求 P 的值：（2）是否存在 p，使得数列a n为等差数列？并说明理由18 （12 分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：学号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 22数学1171289611313613912112412111511512312511712312213212996105106120物理80 81 8385 89 81 91 78 85 91 72 76
7、87 82 79 82 81 89 6373 77 45学号 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44数学 108 137 87 95 108 119 101 128 125 74 81 135 101 97 116 102 76 100 62 86 120 101物理 76 80 71 57 72 65 69 79 0 55 56 77 63 70 75 63 59 64 42 62 77 65用这 44 人的两科成绩制作如下散点图：第 4 页（共 25 页）学号为 22 号的 A 同学由于严重感冒导致
8、物理考试发挥失常，学号为 31 号的 B 同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将 A、B 两同学的成绩（对应于图中 A、B 两点）剔除后，用剩下的 42 个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为 110.5，标准差为 18.36，物理学科的平均分为 74，标准差为 11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为 0.8222，回归直线 l（如图所示）的方程为 y0.5006x +18.68（）若不剔除 A、B 两同学的数据，用全部 44 的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为 0，回归直线为 l0，试分析 0 与 的大
9、小关系，并在图中画出回归直线 l0 的大致位置（）如果 B 同学参加了这次物理考试，估计 B 同学的物理分数（精确到个位）：（）就这次考试而言，学号为 16 号的 C 同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式 Zi 统一化成标准分再进行比较，其中 Xi 为学科原始分， 为学科平均分，s 为学科标准差） 19 （12 分）如图，多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，AB 2，DFBE1，AFCE ，且平面 ADF底面 ABCD，平面 BCE底面ABCD（）证明：EF平面 ADF；（）求二面角 AEF C 的余弦值20 （12 分
10、）已知过点 D（4 ，0）的直线 1 与椭圆 C： 1 交于不同的两点A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，其中 y1y20，O 为坐标原点（）若 x10，求OAB 的面积：（）在 x 轴上是否存在定点 T，使得直线 TA，TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三第 5 页（共 25 页）角形21 （12 分）已知常数 a0，函数 f（x ）ln （1+x） （）讨论函数 f（x ）在区间（0，+）上的单调性：（）若 f（x）存在两个极值点 x1，x 2，且 f（x 1）+f（x 2）0，求 a 的取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，
11、曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，a0） ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （）若 a2，求曲线 C 与 l 的普通方程；（）若 C 上存在点 P，使得 P 到 l 的距离为 ，求 a 的取值范围选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x a|+ x，aR （）若 f （1）+f（2）5，求 a 的取值范围；（）若 a，bN*，关于 x 的不等式 f（x）b 的解集为（， ） ，求 a，b 的值第 6 页（共 25 页）2019 年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有
12、一项是符合题目要求1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 0 ，Bx|1x 1，则 AB（ ）A （1，1） B （1，2） C （1，0） D （0，1）【分析】化简集合 A，根据并集的定义写出 AB【解答】解：集合 Ax| x22x 0 x|0x 2 ，B x|1x1，则 ABx| 1x 2（1，2） 故选：B【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2 （5 分）若复数（a+i） （2+i ） （i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a（ ）A2 B2 C D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数 a 的值【解答】
13、解：复数（a+i） （ 2+i）2a1+ （a+2）i 在复平面内所对应的点在虚轴上，2a10，即 a 故选：D【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z2x+y 的最大值为（ ）A7 B8 C15 D16【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 zx+2y第 7 页（共 25 页）过点 B（3，0）时，z 最大值即可【解答】解：作出变量 x，y 满足约束条件 可行域如图：由 z2x+y 知，所以动直线 y2x +z 的纵截距 z 取得最大值时，目标函
14、数取得最大值由 得 A（3，2） 结合可行域可知当动直线经过点 A（3，2）时，目标函数取得最大值 z23+28故选：B【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题4 （5 分）已知 p：“x2” ，q：“x2 ”，则 p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】直接求解一元二次方程，再分别判断 p，q 的关系，从而得到答案【解答】解：由 q：“x2 ”，解得：x1（舍去）或 x2，由 p 可推出 q，充分性成立，反之，由 q 可推出 p，即必要性成立p 是 q 的充分必要条件，故选：C【点评】本题
15、考查了充分必要条件，考查了一元二次方程的解法，是基础题第 8 页（共 25 页）5 （5 分）已知 sin2 ，则 cos2（ ）（ ）A B C D【分析】由已知直接利用二倍角的余弦化简求值【解答】解：sin2 ，cos 2（ ） 故选：C【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的余弦，是基础题6 （5 分）已知向量 （2，1） ， （1，k） ， （2 + ） ，则 k（ ）A8 B6 C6 D8【分析】设 （x，y ） ， （m ，n） ，则 （x+m，y+n） ，xm+yn， ，结合向量的加法，数量积公式及两向量垂直的充要条件可得解【解答】由 （2，1）
16、， （1，k） ，得 2 + （3，2+k） ，由 （2 + ） ，所以 23+1（2+ k）0，所以 k8，故选：A【点评】本题考查了向量的加法，数量积公式及两向量垂直的充要条件，属简单题7 （5 分） （2xy ） （x +2y） 5 展开式中 x3y3 的系数为（ ）A40 B120 C160 D200【分析】把（x+2y ） 5按照二项式定理展开，可得（2x y） （x +2y） 5 展开式中 x3y3 的系数【解答】解：（x+2y ） 5x 5+10x4y+40x3y2+80x2y3+80xy4+32y5，（2xy） （x +2y） 5 展开式中 x3y3 的系数为 1
17、6040120 ，故选：B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题8 （5 分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为（ ）第 9 页（共 25 页）A2+8 B +8 C D【分析】首先根据三视图，把几何体进行复原，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果【解答】解：根据三视图，转换为几何体为：左侧是一个半圆锥，右侧是一个四棱锥，如图所示：所以：V 几何体 V 1+V2， + ，故选：D【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型9 （5 分）将偶函数 f（x
18、） sin（2x+ ）cos （2x+） （0 ）的图象向右平移个单位，得到 yg（x）的图象，则 g（x ）的一个单调递减区间为（ ）第 10 页（共 25 页）A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） D （ ， ）【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和三角函数关系式的平移变换和伸缩变换及余弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解：函数 f（x ） sin（2x+ ）cos （2x+ ） ， ，由于函数 f（x）为偶函数且 0 ，故： ，所以：函数 f（x ）cos2 x 的图象向右平移 个单位得到：g（x）2cos （2x ）的图象，令： （kZ） ，解得： （kZ
19、） ，故函数的单调递减区间为： （k Z） ，当 k0 时，单调递减区间为： ，由于：（ ） ，故选：C【点评】1 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的平移和伸缩变换的应用，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题10 （5 分）已知矩形 ABCD，AB1AD ，E 为 AD 的中点，现分别沿 BE，CE 将ABE，DCE 翻折，使点 A，D 重合，记为点 P，则几何体 PBCE 的外接球表面积为（ ）A10 B5 C D【分析】利用所给数据易得三线垂直，进而利用长方体外接球直径为其体对角线长，得解【解答】解：由 AB1，AD ，E
20、为 AD 中点，第 11 页（共 25 页）可得 PE ，PB PC1，得EPB EPC90，CPB90，PBCE 为长方体一角，其外接球直径为其体对角线长， ， ，外接球表面积为 4R2 ，故选：C【点评】此题考查了长方体外接球问题，难度不大11 （5 分）双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1、F 2，且 F2 恰为抛物线 y24x 的焦点，设双曲线 C 与该抛物线的个交点为 A，若| AF2| F1F2|，则双曲线 C 的离心率为（ ）A1+ B1+ C2+ D2+【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线 C 的值，利用抛物线与双曲线的交点以及AF 1F2 是以 AF1 为
21、底边的等腰三角形，结合双曲线 a、b、c 关系求出 a 的值，然后求出离心率【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0） ，所以双曲线中，c1，因为双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A，| AF2| F1F2|，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以 2c，c2a 2+b21，解得 a 1，双曲线的离心率 e 1+ 故选：A【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力第 12 页（共 25 页）12 （5 分）设 a 为常数，函数 f（x ）e x（xa）+a，给出以下结论：若 a 1，则 f（x ）在区间（ a1，a）上有唯一零点；若 0 a1，则
22、存在实数 x0，当 xx 0 时，f （x）0：若 a 0，则当 x0 时，f（ x）0其中正确结论的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【分析】由题意可得 f（x ）过原点，求得 f（x）的导数，可得单调性、极值和最值，即可判断 ；结合最小值小于 0，以及 x 的变化可判断【解答】解：函数 f（x ）e x（xa）+a，可得 f（0）0，f（x）恒过原点，若 a1，由 f（x ）的导数为 f（x）e x（xa+1） ，即有 xa1 时，f（x）递增；xa1 时，f （x）递减，可得 xa1 处取得最小值，且 f（a1）ae a1 ，由 exx +1，可得 ae a1 0，即有 f（
23、a1）0，f（a）a0，则 f（x）在区间（ a1，a）上有唯一零点，故正确；，若 0a 1，由 可得 f（x）的最小值为 f（a1）0，且 x+时，f（x）+ ，x时，f（x ）a，结合图象可得 xa1 时存在实数 x0，当 xx 0 时，f（x ）0，故正确；，若 a0，由 可得 f（x）的最小值为 f（a1）0，且 f（0）0，x时，f（x）a，结合图象可得当 x0 时，f（x）0，故正确故选：D【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查函数的零点问题，以及函第 13 页（共 25 页）数值的符号，考查化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分
24、，满分 20 分.13 （5 分）已知双曲线 1（a0）的一条渐近线为 y x，则实数 a 1 【分析】利用已知条件，双曲线的渐近线方程，列出方程求解即可【解答】解：双曲线 1（a0）的一条渐近线为 y x，可得 ，解得 a1故答案为：1【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查14 （5 分）不透明的布袋中有 3 个白球，2 个黑球，5 个红球共 10 个球（除颜色外完全相同） ，从中随机摸出 2 个球，则两个球不同色的概率为 【分析】从中随机摸出 2 个球，基本事件总数 n 45，两个球不同色的包含的基本事件个数 m 31，由此能求出两个球不同色的概
25、率【解答】解：不透明的布袋中有 3 个白球，2 个黑球，5 个红球共 10 个球（除颜色外完全相同） ，从中随机摸出 2 个球，基本事件总数 n 45，两个球不同色的包含的基本事件个数 m 31，两个球不同色的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15 （5 分）已知 f（x ）log 2（4 x+1）x，则使得 f（2x1）+1log 25 成立的 x 的取值范围是 （0，1） 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（x ）log 2（4 x +1）+xlog 2（4 x+1）xf（x） ，则函数 f（x ）为偶函
26、数，求出函数的导数，分析可得函数在（0，+）递第 14 页（共 25 页）增，进而分析可得|2x 1|1，解出即可【解答】解：根据题意，f（ x）log 2（4 x+1）x，f（x）log 2（4 x +1）+x log2（4 x+1）xf（x ） ，则函数 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（ x）log 2（4 x+1）x，其导数 f（x） 1 0，故 f（x）在（0 ，+）递增，f（1）log 251，故 f（2x1）+1log 25，即 f（2x1） f（1） ，则有 f（|2x1| ）f（1） ，故|2 x1| 1，解得：0x1，故不等式的解集是（0，1） ，故答案为：（0，1） 【
27、点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，考查转化思想，是一道常规题16 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，且 a1，A ，若当b、c 变化时， g（b，c）b+c 存在最大值，则正数 的取值范围是 （ ，2） 【分析】由正弦定理得 b+c （sinB+sinC）由辅助角公式得：b+c sin（B+）其中tan ， b+c 存在最大值，即 B+ 有解，即 （ ）即 ，得解【解答】解：由正弦定理得： ，所以 b+c （sinB+sinC） sinB+sin（ ） （1 ）sinB+ cosB第 15 页（共 25 页） sin（B+ ）其中
28、 tan ，由 B ） ，b+c 存在最大值，即 B+ 有解，即 （ ）即 ，所以 ，故答案为：（ ，2）【点评】本题考查了正弦定理、辅助角公式、函数有解问题，属中档题三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解否须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）数列a n中，a 11，a n+an+1pn+1，其中 p 为常数（1）若 a1，a 2，a 4 成等比数列，求 P 的值：（2）是否存在 p，使得数列a n为等差数列？并说明理由【分析】 （1）推导出 a1+a2p+1，a 2+a32p+1，a 3+a43p+1 ，从而a2p，a 3p+1，a 42p，再由 a1，a 2
29、，a 4 成等比数列，能求出 p（2）当 n2 时，a n+an+1pn +1，a n1 +anpnp+1，推导出 an+1a n1 p，从而a2n1 是首项为 1，公差为 p 的等差数列，a 2n是首项为 p，公差为 p 的等差数列，由此能求出存在 p2，使得数列a n为等差数列【解答】解：（1）数列a n中，a 11，a n+an+1pn+1，其中 p 为常数a 1+a2p+1，a 2+a32p+1，a 3+a43p+1，a 2p，a 3p+1，a 42p，a 1，a 2，a 4 成等比数列， ，p 22p，p0，p2（2）当 n2 时，a n+an+1pn +1，a n1 +anpnp+
30、1，相减，得：a n+1a n1 p，第 16 页（共 25 页）a 2n1 是首项为 1，公差为 p 的等差数列，a 2n是首项为 p，公差为 p 的等差数列，a 2n1 p+（n1）ppn+1p ，a2np+（n1）pnp ，要使得数列a n为等差数列，则 1 0，解得 p2，存在 p2，使得数列a n为等差数列【点评】本题考查实数值的求法，考查满足等差数列的实数是否存在的判断与求法，考查等差数列、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题18 （12 分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：学号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
31、13 14 15 16 17 18 1920 21 22数学1171289611313613912112412111511512312511712312213212996105106120物理80 81 8385 89 81 91 78 85 91 72 76 87 82 79 82 81 89 6373 77 45学号 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44数学 108 137 87 95 108 119 101 128 125 74 81 135 101 97 116 102 76 100 62 8
32、6 120 101物理 76 80 71 57 72 65 69 79 0 55 56 77 63 70 75 63 59 64 42 62 77 65用这 44 人的两科成绩制作如下散点图：学号为 22 号的 A 同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为 31 号的 B 同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将 A、B 两同学的成绩第 17 页（共 25 页）（对应于图中 A、B 两点）剔除后，用剩下的 42 个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为 110.5，标准差为 18.36，物理学科的平均分为 74，标准差为 11.18，数学成绩（x）
33、与物理成绩（y）的相关系数为 0.8222，回归直线 l（如图所示）的方程为 y0.5006x +18.68（）若不剔除 A、B 两同学的数据，用全部 44 的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为 0，回归直线为 l0，试分析 0 与 的大小关系，并在图中画出回归直线 l0 的大致位置（）如果 B 同学参加了这次物理考试，估计 B 同学的物理分数（精确到个位）：（）就这次考试而言，学号为 16 号的 C 同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式 Zi 统一化成标准分再进行比较，其中 Xi 为学科原始分， 为学科平均分，s 为学
34、科标准差） 【分析】 （）判断出 0，根据相关数据分析判断即可；（）代入 x 的值，求出 y 的预报值即可；（）根据原始分，分别求出标准分，判断即可【解答】解：（） 0，说明理由可以是：离群的点 A， B 会降低变量间的线性关联程度，44 个数据点与回归直线 l0 的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，42 个数据点与回归直线 l 的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，42 个数据点更加贴近回归直线 l，44 个数据点与回归直线 l0 更离散，或其他言之有理的理由均可；，要点：直线 l0 斜率须大于 0 且小于 l 的斜率，第 18 页（共 25 页）具体位置稍有出入没有关系，
35、无需说明理由；（）令 x125，代入 y0.5006x +18.6881，故估计 B 同学的物理分数大约是 81 分；（）由表中知 C 同学的数学原始分为 122，物理原始分为 82，数学标准分为 Z16 0.63，物理标准分为 Z16 0.72，0.720.63，故 C 同学物理成绩比数学成绩要好一些【点评】本题考查了回归方程问题，考查相关系数以及转化思想，是一道常规题19 （12 分）如图，多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，AB 2，DFBE1，AFCE ，且平面 ADF底面 ABCD，平面 BCE底面ABCD（）证明：EF平面 ADF；（）求二面角 AEF C
36、 的余弦值【分析】 （）分别过点 E，F 作 BC，AD 的垂线，垂足为 N，M，连结 MN，推导出FMMN，EN 平面 ABCD，从而 FMEN，过点 B 作 BGAD，垂足为 G，推导出四边形 BNMG 为平行四边形，则 MNGB ，MNAD，由此能证明 MN平面 ADF，从而EF平面 ADF（）以 M 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 AEFC 的余弦值【解答】证明：（）分别过点 E，F 作 BC，AD 的垂线，垂足为 N，M，连结 MN，平面 ADF平面 ABCD，且平面 ADF平面 ABCDAD，第 19 页（共 25 页）FM平面 ABCD，又 MN平面 ABCD
37、，FMMN，同理可证 EN平面 ABCD，FMEN ，过点 B 作 BG AD，垂足为 G，在 Rt AGB 中，BAD60，AB2，则 AG1，又 MD ， GMBN ，又 GM BN，四边形 BNMG 为平行四边形，则 MNGB，MNAD，又 FMAD M，MN平面 ADF，故 EF平面 ADF解：（）以 M 为原点，建立空间直角坐标系，由（）知 MNGB ，则 A（ ，0，0） ，F（0，0， ） ，E（0， ） ，C（ ， ，0） ， （0， ，0） ， （ ） ， （ ） ，设平面 AEF 的一个法向量 （x，y，z） ，则 ，即 ，取 x1，得 （1，0， ） ，设平面 EFC 的
38、法向量 （x，y，z） ，则 ，即 ，取 x1，得 （1，0， ） ，设二面角 AEF C 的平面角为 ，则 cos ，二面角 AEF C 的余弦值为 第 20 页（共 25 页）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20 （12 分）已知过点 D（4 ，0）的直线 1 与椭圆 C： 1 交于不同的两点A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，其中 y1y20，O 为坐标原点（）若 x10，求OAB 的面积：（）在 x 轴上是否存在定点 T，使得直线 TA，TB 与 y 轴围成的三角形始终为等
39、腰三角形【分析】 （）根据对称性可得直线 k 的方程，求出点 B 的坐标，即可求出三角形的面积，（）设直线 l：x my +4，根据韦达定理和斜率公式，结合直线 TA 与 TB 的斜率互为相反数，即可求出【解答】解：（）当 x10 时，A（0，1）或 A（0，1） ，由对称性，不妨令 A（0，1） ，此时直线 l：x+4y40，联立 ，消 x 整理可得 5y28y +30，解得 y11，或 y2 ，故B（ ， ） ，所以OAB 的面积为 1 ，（）显然直线 l 的斜率不为 0，设直线 l：xmy+4，联立 ，消去 x 整理得（m 2+4）y 2+8my+120，所以64m 2412（m 2+4
40、）0，即 m212，第 21 页（共 25 页）则 y1+y2 ，y 1y2 ，设 T（t，0） ，则kTA+kTB + ，因为直线 TA，TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以 kTA+kTB0，即 2my1y2+（4t） （y 1+y2） + 0，解得 t1，故 x 轴上存在定点 T（1，0） ，使得直线 TA，TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21 （12 分）已知常数 a0，函数 f（x ）ln （1+x） （）讨论函数 f（x ）在区间（0，+）上的单调性：（）若 f（x
41、）存在两个极值点 x1，x 2，且 f（x 1）+f（x 2）0，求 a 的取值范围【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可；（）求出 f（x 1）+f（x 2） ln（1+x 1+x2+x1x2） ，得到f（x 1）+f（x 2） ln（4a 24a+1） ，令 2a 1t，得：f（x 1）+f（x 2）lnt 2+ 2，记 h（t）lnt 2+ 2，通过讨论 t 的范围求出 a 的范围即可【解答】解；（）f（x ） ，当 4a24a 0 即 a1 时，f（x）0，f （x）在（0，+ ）递增，当 4a24a 0 即 0a1 时，由 f（x）0 ，即 x2+4
42、a24a0，解得：x 12 （舍） ，x 22 ，由 f（x）0 ，解得：0xx 2，第 22 页（共 25 页）由 f（x）0 ，解得：xx 2，故 f（x）在（0 ，2 ）递减，在（2 ，+）递增；（）由（）知，若 f（x ）的两个极值点是 x1，x 2，则 0a1，且 x12 ，x 22 分别是 f（x）的极大值点和极小值点，由 f（x）的定义域知 2 1，且2 2a，解得：a ，又 f（x 1）+f（x 2）ln（1+x 1） +ln（1+x 2）ln（1+x 1+x2+x1x2） ，将 x1+x20，x 1x24a 24a 代入得：f（x 1）+f（x 2） ln（4a 24a+1）
43、 ，令 2a1t，得：f（x 1）+f（ x2）lnt 2+ 2，由 0a1 且 a 知，1t1 且 t0，记 h（t）lnt 2+ 2，当 0 t1 时，h（t）2 （lnt+ ）2，h（t ）2 0，故 h（t）在（0，1）递减，故 h（t ）h（1）0，即当 02a1t1 即 a1 时，f （x 1）+f （x 2）0 ，当 1t0 时，h（t） 2（ln（t ）+ 2，h（ t）2 0，故 h（t）在（1，0）递减， h（t ）h（1）40 ，即当12a1t0，即 0a 时，f （x 1）+f （x 2） 0，综上，满足条件的 a 的范围是（ ，1） 【点评】本题考查了函数的单调性问题
44、，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题选修 4-4：坐标系与参数方程选讲第 23 页（共 25 页）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，a0） ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （）若 a2，求曲线 C 与 l 的普通方程；（）若 C 上存在点 P，使得 P 到 l 的距离为 ，求 a 的取值范围【分析】 （）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之进行转换（）利用点到直线的距离公式的应用和分类讨论的方法，对无理不等式进行求解，最后求出 a 的取值范围【解答】解：（）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，a
45、0） ，由于：a2，故： （ 为参数） ，所以转换为直角坐标方程为： 直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 转换为直角坐标方程为 x+y20（）设点 P（acos，sin ） ，则：点 P 到直线的距离 d ，当 时，即 a 时， ，当 时，即： 时，由于： ，第 24 页（共 25 页）当 a 时， ，解得：故：a 的取值范围是： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，无理不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x a|+ x，aR （）若 f （1）+f
46、（2）5，求 a 的取值范围；（）若 a，bN*，关于 x 的不等式 f（x）b 的解集为（， ） ，求 a，b 的值【分析】 （）通过讨论 a 的范围，去掉绝对值，求出 a 的范围即可；（）通过讨论 x 的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集，得到关于 a，b 的不等式组，求出 a，b 的值即可【解答】解：（）由 f（1） +f（2）5 得|1a|+|2 a|2，当 a2 时，a1+a22，解得：a ，当 1a2 时，a1+2a2，不等式无解，当 a1 时，1a+2a2，解得：a ，综上，a 的范围是（， ）（ ，+） ；（）f（x） b，|x a|+ xb，当 xa 时，xa+x b，解得： x ，当 xa 时，ax +xb，得 ab，由不等式的解集是（， ） ，则 ，又 a，bN *，第 25 页（共 25 页）故 a1，b2【点评】本题考查了解绝对
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