1、2019 年广东省广州大学附中中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （3 分）2019 的相反数是（ ）A2019 B2019 C D2 （3 分）下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D3 （3 分）如图几何体的俯视图是（ ）A B C D4 （3 分）下列运算正确的是（ ）Aa 6a3a 2 Ba 4aa 3C2a3a6a D （2x 2y） 38x 6y35 （3 分）使分式 有意义的 x 的取值范围是
2、（ ）Ax2 Bx2 Cx2 Dx 06 （3 分）下列说法正确的是（ ）A一个游戏中奖的概率是 ，则做 10 次这样的游戏一定会中奖B为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式C一组数据 8，8，7，10， 6，8，9 的众数和中位数都是 8D若甲组数据的方差是 0.1，乙组数据的方差是 0.2，则乙组数据比甲组数据波动小第 2 页（共 31 页）7 （3 分）在二次函数 yx 2+2x+1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是（ ）Ax1 Bx1 Cx1 Dx 18 （3 分）已知 x1、x 2 是关于 x 的方程 x2ax
3、20 的两根，下列结论一定正确的是（ ）Ax 1x 2 Bx 1+x20 Cx 1x20 Dx 10，x 209 （3 分）如图，已知圆锥的母线长为 6，圆锥的高与母线所夹的角为 ，且 sin ，则该圆锥的侧面积是（ ）A24 B24 C16 D1210 （3 分）如图 1，点 E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P，点 Q 同时从点 B 出发，点 P沿 BEEDDC 运动到点 C 停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止，它们的运动速度都是1cm/s，设 P、 Q 出发 t 秒时，BPQ 的面积为 y（cm 2） ，已知 y 与 t 的函数关系的图象如图 2
4、（曲线 OM 为抛物线的一部分） ，则下列结论：ADBE5cm； 当 0t5 时，y t2；直线 NH 的解析式为 y t+27；若ABE 与QBP 相似，则 t 秒，其中正确结论的个数为（ ）A4 B3 C2 D1二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分 ）11 （3 分）因式分解：a 22ab+b 2 第 3 页（共 31 页）12 （3 分）分式方程 的解是 13 （3 分）要了解全市中考生的数学成绩在某一范围内的学生所占比例的大小，需知道相应样本的 （填“平均数”或“频
5、数分布” ）14 （3 分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达 A 地后，导航显示车辆应沿北偏西 60方向行驶 6 千米至 B 地，再沿北偏东 45方向行驶一段距离到达古镇 C小明发现古镇 C 恰好在 A 地的正北方向，则B、C 两地的距离是 千米15 （3 分）等腰三角形 ABC 中，顶角 A 为 40，点 P 在以 A 为圆心，BC 长为半径的圆上，且 BPBA，则PBC 的度数为 16 （3 分）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，DE 平分ADC 交 AB 于点E，BCD
6、 60，AD AB，连接 OE下列结论：S ABCDAD BD；DB 平分CDE； AODE；S ADE5S OFE ，其中正确的结论是 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17 （9 分）解不等式组18 （9 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点O，BD 8，tan ABD ，求线段 AB 的长第 4 页（共 31 页）19 （10 分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球 B乒乓球 C羽毛球 D足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机
7、抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有 人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）20 （10 分）如图，已知矩形 OABC 中，OA2，AB4，双曲线 （k 0）与矩形两边 AB、BC 分别交于 E、F（1）若 E 是 AB 的中点，求 F 点的坐标；（2）若将BEF 沿直线 EF 对折，B 点落在 x 轴上的 D 点，作 EGOC，垂足为
8、G，证明EGD DCF，并求 k 的值21 （12 分）荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了 2 千克桂味和 3 千克糯米糍，共花费 90 元；后又购买了 1 千克桂味和 2 千克糯米糍，共花费 55 元 （每次两种荔枝的售价都不变）（1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；第 5 页（共 31 页）（2）如果还需购买两种荔枝共 12 千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的 2 倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低22 （12 分） 【问题情境】已知矩形的面积为 a（a 为常数，a0） ，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的长为 x，周长为 y，
9、则 y 与 x 的函数关系式为 y2（x+ ） （x0） 【探索研究】（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 yx+ （x0）的图象和性质填写下表，画出函数的图象；x 1 2 3 4 y 观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；在求二次函数 yax 2+bx+c（a0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到请你通过配方求函数 yx+ （x 0）的最小值【解决问题】（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案23 （12 分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做
10、此三角形的准外心举例：如图 1，若 PAPB ，则点 P 为ABC 的准外心第 6 页（共 31 页）应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD AB，求APB 的度数探究：已知ABC 为直角三角形，斜边 BC5，AB3，准外心 P 在 AC 边上，试探究PA 的长24 （14 分）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、BH（1）求证：APBBPH；（2）当点
11、P 在边 AD 上移动时， PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由25 （14 分）抛物线 ya（x+2） 2+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴负半轴交于点 C，已知点 A（ 1，0） ，OBOC（1）求此抛物线的解析式；（2）若把抛物线与直线 yx4 的交点称为抛物线的不动点，若将此抛物线平移，使其顶点为（m，2m） ，当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点；（3）Q 为直线 yx4 上一点，在此抛物线的对称
12、轴上是否存在一点 P，使得APB 2AQB，且这样的 Q 点有且只有一个？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存第 7 页（共 31 页）在，请说明理由第 8 页（共 31 页）2019 年广东省广州大学附中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （3 分）2019 的相反数是（ ）A2019 B2019 C D【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案【解答】解：2019 的相反数是：2019故选：B【点评】此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键2 （3 分）下列
13、图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 A 选项不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故 B 选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 C 选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项不符合题意故选：B【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180 度后与原图形重合3 （3 分
14、）如图几何体的俯视图是（ ）第 9 页（共 31 页）A B C D【分析】找到从几何体的上面看所得到图形即可【解答】解：从上面看得到图形为 ，故选：C【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形注意所看到的线都要用实线表示出来4 （3 分）下列运算正确的是（ ）Aa 6a3a 2 Ba 4aa 3C2a3a6a D （2x 2y） 38x 6y3【分析】根据整式的运算法则即可求出答案【解答】解：（A）原式a 3，故 A 错误；（B）原式a 4a，故 B 错误；（C）原式6a 2，故 C 错误；
15、故选：D【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型5 （3 分）使分式 有意义的 x 的取值范围是（ ）Ax2 Bx2 Cx2 Dx 0【分析】先根据分式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可【解答】解：分式 有意义，2x40，即 x2故选：B【点评】本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为 06 （3 分）下列说法正确的是（ ）第 10 页（共 31 页）A一个游戏中奖的概率是 ，则做 10 次这样的游戏一定会中奖B为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式C一组数据 8，8，7，10， 6，8，
16、9 的众数和中位数都是 8D若甲组数据的方差是 0.1，乙组数据的方差是 0.2，则乙组数据比甲组数据波动小【分析】根据概率的意义可判断出 A 的正误；根据抽样调查与全面调查意义可判断出 B的正误；根据众数和中位数的定义可判断出 C 的正误；根据方差的意义可判断出 D 的正误【解答】解：A、一个游戏中奖的概率是 ，做 10 次这样的游戏也不一定会中奖，故此选项错误；B、为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用抽样调查的方式，故此选项错误；C、一组数据 8，8，7，10， 6，8，9 的众数和中位数都是 8，故此选项正确；D、若甲组数据的方差是 0.1，乙组数据的方差是 0.2，则乙组数据比甲组数据波
17、动大；故选：C【点评】此题主要考查了概率、抽样调查与全面调查、众数和中位数、方差，关键是注意再找中位数时要把数据从小到大排列再找出位置处于中间的数7 （3 分）在二次函数 yx 2+2x+1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是（ ）Ax1 Bx1 Cx1 Dx 1【分析】抛物线 yx 2+2x+1 中的对称轴是直线 x1，开口向下，x1 时，y 随 x 的增大而增大【解答】解：a10，二次函数图象开口向下，又对称轴是直线 x1，当 x1 时，函数图象在对称轴的左边，y 随 x 的增大增大故选：A【点评】本题考查了二次函数 yax 2+bx+c（a0）的性质
18、：当 a0，抛物线开口向下，对称轴为直线 x ，在对称轴左边，y 随 x 的增大而增大8 （3 分）已知 x1、x 2 是关于 x 的方程 x2ax20 的两根，下列结论一定正确的是（ ）第 11 页（共 31 页）Ax 1x 2 Bx 1+x20 Cx 1x20 Dx 10，x 20【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出0，由此即可得出 x1x 2，结论 A 正确；B、根据根与系数的关系可得出 x1+x2a，结合 a 的值不确定，可得出 B 结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出 x1x22，结论 C 错误；D、由 x1x22，可得出 x1、x 2 异号，结论 D
19、 错误综上即可得出结论【解答】解：A（a） 241（2）a 2+80，x 1x 2，结论 A 正确；B、x 1、x 2 是关于 x 的方程 x2ax20 的两根，x 1+x2a，a 的值不确定，B 结论不一定正确；C、x 1、x 2 是关于 x 的方程 x2ax 20 的两根，x 1x22，结论 C 错误；D、x 1x22，x 1、x 2 异号，结论 D 错误故选：A【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键9 （3 分）如图，已知圆锥的母线长为 6，圆锥的高与母线所夹的角为 ，且 sin ，则该圆锥的侧面积是（ ）A24
20、 B24 C16 D12【分析】先根据正弦的定义计算出圆锥的半径2，然后根据扇形的面积公式求圆锥的第 12 页（共 31 页）侧面积【解答】解：sin ，母线长为 6，圆锥的底面半径 62，该圆锥的侧面积 62212 故选：D【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长10 （3 分）如图 1，点 E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P，点 Q 同时从点 B 出发，点 P沿 BEEDDC 运动到点 C 停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止，它们的运动速度都是1cm/s，设 P、 Q 出发 t 秒时，BPQ 的面积
21、为 y（cm 2） ，已知 y 与 t 的函数关系的图象如图 2（曲线 OM 为抛物线的一部分） ，则下列结论：ADBE5cm； 当 0t5 时，y t2；直线 NH 的解析式为 y t+27；若ABE 与QBP 相似，则 t 秒，其中正确结论的个数为（ ）A4 B3 C2 D1【分析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点 P 到达点 E时点 Q 到达点 C，从而得到 BC、BE 的长度，再根据 M、N 是从 5 秒到 7 秒，可得 ED的长度，然后表示出 AE 的长度，根据勾股定理求出 AB 的长度，然后针对各小题分析解答即可【解答】解：根据图（2）可得，当
22、点 P 到达点 E 时点 Q 到达点 C，点 P、Q 的运动的速度都是 1cm/s，BCBE5cm，ADBE5（故正确） ；第 13 页（共 31 页）如图 1，过点 P 作 PFBC 于点 F，根据面积不变时BPQ 的面积为 10，可得 AB4，ADBC，AEB PBF，sinPBF sinAEB ，PFPBsin PBF t，当 0t5 时，y BQPF t t t2（ 故正确） ；根据 57 秒面积不变，可得 ED2，当点 P 运动到点 C 时，面积变为 0，此时点 P 走过的路程为 BE+ED+DC11，故点 H 的坐标为（11，0） ，设直线 NH 的解析式为 ykx+b，将点 H（
23、11，0） ，点 N（7，10）代入可得： ，解得： 故直线 NH 的解析式为：y t+ ， （故错误） ；当 ABE 与QBP 相似时，点 P 在 DC 上，如图 2 所示：tanPBQtanABE ， ，即 ，解得：t （故正确） ；综上可得正确，共 3 个故选：B第 14 页（共 31 页）【点评】本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点 P 到达点 E 时，点 Q 到达点 C 是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分 ）11 （3 分）因式分解：a 22ab+b 2 （ab） 2 【分析】根据完
24、全平方公式即可求出答案【解答】解：原式（ab） 2故答案为：（ab） 2【点评】本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型12 （3 分）分式方程 的解是 3 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：x3（x2） ，去括号得：x3x 6，解得：x3，经检验 x3 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根13 （3 分）要了解全市中考生的数学成绩在某一范围内的学生所占比例的大小，需知道相应样本的 频数
25、分布 （填“平均数”或“频数分布” ）【分析】平均数是反映一组数据集中变化趋势，而频数分布则反映某一范围内的数出现第 15 页（共 31 页）的次数，即频数，因此选择频数分布【解答】解：频数分布是反映一组数据中，某一范围内的数据的出现的次数，通过次数计算出所占的比，而平均数则反映一组数据集中变化趋势，故答案为：频数分布【点评】考查频数分布的意义、平均数的意义及求法，理解各个统计量的意义和反映数据的特征，才是解决问题的关键14 （3 分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达 A 地后，导航显示车辆应沿北偏西 60方向行驶 6 千米至 B 地，再沿北偏东
26、 45方向行驶一段距离到达古镇 C小明发现古镇 C 恰好在 A 地的正北方向，则B、C 两地的距离是 3 千米【分析】作 BEAC 于 E，根据正弦的定义求出 BE，再根据正弦的定义计算即可【解答】解：作 BEAC 于 E，在 Rt ABE 中，sinBAC ，BEABsinBAC6 3 ，由题意得，C45，BC 3 3 （千米） ，故答案为：3 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键第 16 页（共 31 页）15 （3 分）等腰三角形 ABC 中，顶角 A 为 40，点 P 在以 A 为圆心，BC 长为半径的圆上
27、，且 BPBA，则PBC 的度数为 30或 110 【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；【解答】解：如图，当点 P 在直线 AB 的右侧时连接 APABAC， BAC40，ABCC70，ABAB，ACPB，BCPA，ABCBAP，ABP BAC40，PBCABCABP30，当点 P在 AB 的左侧时，同法可得ABP40，PBC40+70 110 ，故答案为 30或 110【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型16 （3 分）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，DE 平分ADC 交
28、 AB 于点E，BCD 60，AD AB，连接 OE下列结论：S ABCDAD BD；DB 平分CDE； AODE；S ADE5S OFE ，其中正确的结论是 【分析】求得ADB90，即 ADBD ，即可得到 SABCDADBD；依据第 17 页（共 31 页）CDE60，BDE30，可得CDBBDE，进而得出 DB 平分CDE；依据RtAOD 中，AOAD，即可得到 AODE ；依据 OE 是ABD 的中位线，即可得到OEAD，OE AD，进而得到OEF ADF，依据 SADF 4S OEF ，S AEF 2S OEF，即可得到 SADE 6S OFE【解答】解：BADBCD60，ADC12
29、0，DE 平分ADC，ADEDAE60AED ，ADE 是等边三角形，ADAE AB，E 是 AB 的中点，DEBE，BDE AED 30，ADB90，即 ADBD ，S ABCDADBD ，故正确；CDE60，BDE30，CDBBDE，DB 平分CDE，故 正确；RtAOD 中，AOAD，AODE ，故 错误；O 是 BD 的中点，E 是 AB 的中点，OE 是ABD 的中位线，OEAD ，OE AD，OEFADF，S ADF 4S OEF，且 AF2OF ，S AEF 2S OEF ，S ADE 6S OFE，故错误；故答案为： 第 18 页（共 31 页）【点评】本题考查了平行四边形的性
30、质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式以及相似三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17 （9 分）解不等式组【分析】别求出各不等式的解集，再求出其公共解集【解答】解：解不等式 得： x0解不等式 得： x2不等式组的解集为 0x2【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键18 （9 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点O，BD 8，tan ABD ，求线段 AB 的长【分析】由
31、菱形的性质可得 BOOD4，AOB90，由锐角三角函数可求AO3，由勾股定理可求 AB 的长【解答】解：四边形 ABCD 为菱形BOOD ， AOB90BD8BO4 ，第 19 页（共 31 页）AO3在 Rt ABC 中，AO3，OB4则【点评】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键19 （10 分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球 B乒乓球 C羽毛球 D足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有
32、200 人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）【分析】 （1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数；（2）由总人数减去喜欢 A，B 及 D 的人数求出喜欢 C 的人数，补全统计图即可；（3）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：（1）根据题意得：20 200（人） ，则这次被调查的学生共有 200 人；（2）补全图形，如图所示：第 20 页（共 31 页）（3）列表如下
33、：甲 乙 丙 丁甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙）丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙）丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 所有等可能的结果为 12 种，其中符合要求的只有 2 种，则 P 【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键20 （10 分）如图，已知矩形 OABC 中，OA2，AB4，双曲线 （k 0）与矩形两边 AB、BC 分别交于 E、F（1）若 E 是 AB 的中点，求 F 点的坐标；（2）若将BEF 沿直线 EF 对折，B 点落在 x 轴上的 D 点，作 EGOC，垂足为 G，证明EGD
34、 DCF，并求 k 的值第 21 页（共 31 页）【分析】 （1）根据点 E 是 AB 中点，可求出点 E 的坐标，将点 E 的坐标代入反比例函数解析式可求出 k 的值，再由点 F 的横坐标为 4，可求出点 F 的纵坐标，继而得出答案；（2）证明GEDCDF，然后利用两角法可判断 EGDDCF，设点 E 坐标为（，2） ，点 F 坐标为（4， ） ，即可得 CF ，BFDF2 ，在 RtCDF 中表示出 CD，利用对应边成比例可求出 k 的值【解答】解：（1）点 E 是 AB 的中点，OA2，AB 4，点 E 的坐标为（2，2） ，将点 E 的坐标代入 y ，可得 k4，即反比例函数解析式为
35、：y ，点 F 的横坐标为 4，点 F 的纵坐标 1，故点 F 的坐标为（4，1） ；（2）由折叠的性质可得：BEDE，BFDF，BEDF90，CDF+EDG90，GED+EDG90，CDFGED，又EGD DCF90，EGD DCF ，结合图形可设点 E 坐标为（ ，2） ，点 F 坐标为（4， ） ，则 CF ，BFDF 2 ，EDBEABAE4 ，第 22 页（共 31 页）在 Rt CDF 中， CD ， ，即 ， 1，解得：k3【点评】本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是利用点 E 的纵坐标，点 F 的横坐标，用含 k 的式子表示出其他各点的坐标，注意掌握相似三角形的对应边成
36、比例的性质，难度较大21 （12 分）荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了 2 千克桂味和 3 千克糯米糍，共花费 90 元；后又购买了 1 千克桂味和 2 千克糯米糍，共花费 55 元 （每次两种荔枝的售价都不变）（1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；（2）如果还需购买两种荔枝共 12 千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的 2 倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低【分析】 （1）设桂味的售价为每千克 x 元，糯米糍的售价为每千克 y 元；根据单价和费用关系列出方程组，解方程组即可；（2）设购买桂味 t 千克，总费用为 W 元，则购买糯米糍（12t）千克，根据题意得出12t2
37、t，得出 t4，由题意得出 W5t +240，由一次函数的性质得出 W 随 t 的增大而减小，得出当 t4 时，W 的最小值220（元） ，求出 1248 即可【解答】解：（1）设桂味的售价为每千克 x 元，糯米糍的售价为每千克 y 元；根据题意得： ，解得： ；答：桂味的售价为每千克 15 元，糯米糍的售价为每千克 20 元；（2）设购买桂味 t 千克，总费用为 W 元，则购买糯米糍（12t）千克，根据题意得：12t2t，t4，W15t+20 （12t）5 t+240，第 23 页（共 31 页）k50，W 随 t 的增大而减小，当 t4 时，W 的最小值220（元） ，此时 1248；答：
38、购买桂味 4 千克，糯米糍 8 千克时，所需总费用最低【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用；根据题意方程方程组和得出一次函数解析式是解决问题的关键22 （12 分） 【问题情境】已知矩形的面积为 a（a 为常数，a0） ，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系式为 y2（x+ ） （x0） 【探索研究】（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 yx+ （x0）的图象和性质填写下表，画出函数的图象；x 1 2 3 4 y 观察图象，写出
39、该函数两条不同类型的性质；在求二次函数 yax 2+bx+c（a0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到请你通过配方求函数 yx+ （x 0）的最小值【解决问题】（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案第 24 页（共 31 页）【分析】 （1）把 x 的值代入解析式计算即可；根据图象所反映的特点写出即可；根据完全平方公式（a+b） 2a 2+2ab+b2，进行配方即可得到最小值；（2）根据完全平方公式（a+b） 2a 2+2ab+b2，进行配方得到 y2 +2 ，即可求出答案【解答】解：（1）故答案为： ， ， ，2， ， ， 函数 yx+ 的图象如图：答：函
40、数两条不同类型的性质是：当 0x1 时，y 随 x 的增大而减小，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大；当 x 1 时，函数 yx+ （x0）的最小值是 2yx + +2 +2，x0，所以 0，所以当 x1 时， 的最小值为 0，函数 yx+ （x 0）的最小值是 2（2）答：矩形的面积为 a（a 为常数，a0） ，当该矩形的长为 时，它的周长最小，最小值是 4 第 25 页（共 31 页）【点评】本题主要考查对完全平方公式，反比例函数的性质，二次函数的最值，配方法的应用，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用学过的性质进行计算是解此题的关键23 （12 分）联想三角形外心的概念，
41、我们可引入如下概念定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心举例：如图 1，若 PAPB ，则点 P 为ABC 的准外心应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD AB，求APB 的度数探究：已知ABC 为直角三角形，斜边 BC5，AB3，准外心 P 在 AC 边上，试探究PA 的长【分析】应用：连接 PA、PB，根据准外心的定义，分PB PC，PAPC，PAPB 三种情况利用等边三角形的性质求出 PD 与 AB 的关系，然后判断出只有情况是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出APB 45，然后即可求出APB 的度数；探究：先根据勾
42、股定理求出 AC 的长度，根据准外心的定义，分PB PC，PAPC，PAPB 三种情况，根据三角形的性质计算即可得解【解答】应用：解：若 PBPC ，连接 PB，则PCB PBC ，第 26 页（共 31 页）CD 为等边三角形的高，ADBD ，PCB 30，PBDPBC30，PD DB AB，与已知 PD AB 矛盾，PBPC，若 PAPC，连接 PA，同理可得 PAPC ，若 PAPB，由 PD AB，得 PDBD，APD45，故APB 90；探究：解：BC5，AB3，AC 4，若 PBPC，设 PAx，则 x2+32（4x） 2，x ，即 PA ，若 PAPC，则 PA2，若 PAPB，
43、由图知，在 RtPAB 中，不可能故 PA2 或 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论24 （14 分）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、BH（1）求证：APBBPH；第 27 页（共 31 页）（2）当点 P 在边 AD 上移动时， PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设
44、 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【分析】 （1）根据翻折变换的性质得出PBCBPH，进而利用平行线的性质得出APB PBC 即可得出答案；（2）首先证明ABPQBP，进而得出BCHBQH，即可得出PD+DH+PHAP+PD+DH+ HCAD+ CD8；（3）利用已知得出EFMBPA，进而利用在 RtAPE 中， （4BE） 2+x2BE 2，利用二次函数的最值求出即可【解答】 （1）证明：如图 1，PEBE，EBP EPB又EPHEBC 90，EPHEPBEBCEBP 即PBC
45、BPH又ADBC，APB PBCAPB BPH（2）PHD 的周长不变为定值 8证明：如图 2，过 B 作 BQ PH，垂足为 Q由（1）知APBBPH，在ABP 和QBP 中 ，ABP QBP（AAS ） 第 28 页（共 31 页）APQP ，ABBQ又ABBC，BCBQ又CBQH90，BHBH ，BCHBQHCHQHPHD 的周长为： PD+DH+PHAP+PD +DH+HCAD+CD8（3）如图 3，过 F 作 FMAB，垂足为 M，则 FMBC AB 又EF 为折痕，EFBPEFM +MEFABP+ BEF90，EFM ABP又AEMF90，EFM PBA（ASA ） EMAPx 在
46、 RtAPE 中， （4BE ） 2+x2BE 2解得， 又折叠的性质得出四边形 EFGP 与四边形 BEFC 全等， 即： 配方得， ，当 x2 时，S 有最小值 6第 29 页（共 31 页）【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键25 （14 分）抛物线 ya（x+2） 2+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴负半轴交于点 C，已知点 A（ 1，0） ，OBOC（1）求此抛物线的解析式；（2）若把抛物线与直线 yx4 的交点称为抛物线的不动点，若将此抛物线平移，使其顶点为（m，2m） ，当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点；（3）Q 为直线 yx4 上一点，在此抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得APB 2
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