1、12019 年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）1 （3 分）如图，数轴上表示2 的点 A 到原点的距离是（ ）A2 B2 C D2 （3 分）2019 年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000 人次，275000000 这个数用科学记数法表示为（ ）A27.510 7 B0.27510 9 C2.7510 8 D2.7510 93 （3 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）A B C D4 （3 分）不等式 x+20 的解集为（ ）A x2 B x2 C x2 D x
2、25 （3 分） 九章算术是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出 11 钱；每人出 6 钱，又差 16 钱问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为 x，买鸡的钱数为 y，可列方程组为（ ）A BC D6 （3 分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子 AB 的长是 3 米若梯子与地面的夹角为 ，则梯子顶端到地面的距离 C 为（ ）2A3sin 米 B3cos 米 C 米 D 米7 （3 分）如图，在 ABC 中， ACB 为钝角用直尺和圆规在边 AB 上确定一点 D使 ADC2 B
3、，则符合要求的作图痕迹是（ ）A BC D8 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的顶点 A、 C 的坐标分别是（0，3） 、（3、0） ACB90， AC2 BC，则函数 y （ k0， x0）的图象经过点 B，则 k的值为（ ）A B9 C D二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）9 （3 分）计算：3 10 （3 分）分解因式： ab+2b 11 （3 分）一元二次方程 x23 x+10 的根的判别式的值是 12 （3 分）如图，直线 MN PQ，点 A、 B 分别在 MN、 PQ 上， MAB33过线段 AB 上的点 C 作 CD AB 交 PQ 于点
4、 D，则 CDB 的大小为 度313 （3 分）如图，有一张矩形纸片 ABCD， AB8， AD6先将矩形纸片 ABCD 折叠，使边AD 落在边 AB 上，点 D 落在点 E 处，折痕为 AF；再将 AEF 沿 EF 翻折， AF 与 BC 相交于点 G，则 GCF 的周长为 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax22 ax+ （ a0）与 y 轴交于点A，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M P 为抛物线的顶点若直线 OP 交直线 AM 于点 B，且 M 为线段 AB 的中点，则 a 的值为 三、解答题（共 10 小题，满分 78 分）15 （6 分）先化简，再求
5、值：（2 a+1） 24 a（ a1） ，其中 a 16 （6 分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家” 、“家” “乐” ，除汉字外其余均相同小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率17 （6 分）为建国 70 周年献礼，某灯具厂计划加工 9000 套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前 5 天完成任务求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量18 （7 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，以边 AB 为
6、直径作 O，点 E 在 BC 边上，连结 AE交 O 于点 F，连结 BF 并延长交 CD 于点 G4（1）求证： ABE BCG；（2）若 AEB55， OA3，求 的长 （结果保留 ）19 （7 分）网上学习越来越受到学生的喜爱某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取 20 名学生，进行了每周网上学习的调查数据如下（单位：时）：3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.82.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4整理上面的数据，得到表格如下：网上学习时间 x（时） 0 x1 1 x2 2 x3 3 x4人数 2 5
7、8 5样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：统计量 平均数 中位数 众数数值 2.4 m n根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数 m 的值为 ，众数 n 的值为 （2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按 18 周计算）网上学习的时间（3）已知该校七年级学生有 200 名，估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数20 （7 分）图、图、图均是 66 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为 1，点 A、 B、 C、 D、 E、 F 均在格点上在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法
8、（1）在图中以线段 AB 为边画一个 ABM，使其面积为 6（2）在图中以线段 CD 为边画一个 CDN，使其面积为 65（3）在图中以线段 EF 为边画一个四边形 EFGH，使其面积为 9，且 EFG9021 （8 分）已知 A、 B 两地之间有一条 270 千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以 60千米/时的速度沿此公路从 A 地匀速开往 B 地，乙车从 B 地沿此公路匀速开往 A 地，两车分别到达目的地后停止甲、乙两车相距的路程 y（千米）与甲车的行驶时间 x（时）之间的函数关系如图所示（1）乙车的速度为 千米/时， a ， b （2）求甲、乙两车相遇后 y 与 x 之间的函数关系式（
9、3）当甲车到达距 B 地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程22 （9 分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第 78 页的部分内容例 2 如图，在 ABC 中， D， E 分别是边 BC， AB 的中点， AD， CE 相交于点 G，求证： 证明：连结 ED请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程结论应用：在 ABCD 中，对角线 AC、 BD 交于点 O， E 为边 BC 的中点， AE、 BD 交于点 F（1）如图，若 ABCD 为正方形，且 AB6，则 OF 的长为 （2）如图，连结 DE 交 AC 于点 G，若四边形 OFEG 的面积为 ，则 ABCD 的面积为 623
10、（10 分）如图，在 Rt ABC 中， C90， AC20， BC15点 P 从点 A 出发，沿 AC向终点 C 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿射线 CB 运动，它们的速度均为每秒 5 个单位长度，点 P 到达终点时， P、 Q 同时停止运动当点 P 不与点 A、 C 重合时，过点 P 作PN AB 于点 N，连结 PQ，以 PN、 PQ 为邻边作 PQMN设 PQMN 与 ABC 重叠部分图形的面积为 S，点 P 的运动时间为 t 秒（1） AB 的长为 ； PN 的长用含 t 的代数式表示为 （2）当 PQMN 为矩形时，求 t 的值；（3）当 PQMN 与 ABC 重叠部分图形为
11、四边形时，求 S 与 t 之间的函数关系式；（4）当过点 P 且平行于 BC 的直线经过 PQMN 一边中点时，直接写出 t 的值24 （12 分）已知函数 y （ n 为常数）（1）当 n5，点 P（4， b）在此函数图象上，求 b 的值；求此函数的最大值7（2）已知线段 AB 的两个端点坐标分别为 A（2，2） 、 B（4，2） ，当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时，直接写出 n 的取值范围（3）当此函数图象上有 4 个点到 x 轴的距离等于 4，求 n 的取值范围82019 年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）1 【
12、解答】解：数轴上表示2 的点 A 到原点的距离是 2，故选： B2 【解答】解：将 275000000 用科学记数法表示为：2.7510 8故选： C3 【解答】解：从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最右边有一个正方形故选： A4 【解答】解：移项得： x2系数化为 1 得： x2故选： D5 【解答】解：设人数为 x，买鸡的钱数为 y，可列方程组为：故选： D6 【解答】解：由题意可得：sin ，故 BC3sin（ m） 故选： A7 【解答】解： ADC2 B 且 ADC B+ BCD， B BCD， DB DC，点 D 是线段 BC 中垂线与 AB 的交点，故选： B8 【解答】
13、解：过点 B 作 BD x 轴，垂足为 D， A、 C 的坐标分别是（0，3） 、 （3、0） ， OA OC3，在 Rt AOC 中， AC ，又 AC2 BC，9 BC ，又 ACB90， OAC OCA45 BCD CBD， CD BD ， OD3+ B（ ， ）代入 y 得： k ，故选： D二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）9 【解答】解：原式2 故答案为：2 10 【解答】解： ab+2b b（ a+2） 故答案为： b（ a+2） 11 【解答】解： a1， b3， c1， b24 ac（3） 24115，故答案为：512 【解答】解：直线 MN PQ，
14、MAB ABD33， CD AB， BCD90， CDB903357故答案为：5713 【解答】解：由折叠的性质可知， DAF BAF45， AE AD6， EB AB AE2，10由题意得，四边形 EFCB 为矩形， FC ED2， AB FC， GFC A45， GC FC2，由勾股定理得， GF 2 ，则 GCF 的周长 GC+FC+GF4+2 ，故答案为：4+2 14 【解答】解：抛物线 y ax22 ax+ （ a0）与 y 轴交于点 A， A（0， ） ，抛物线的对称轴为 x1顶点 P 坐标为（1， a） ，点 M 坐标为（2， ）点 M 为线段 AB 的中点，点 B 坐标为（4，
15、 ）设直线 OP 解析式为 y kx（ k 为常数，且 k0）将点 P（1， ）代入得 k y（ ） x将点 B（4， ）代入得 （ ）4解得 a2故答案为：2三、解答题（共 10 小题，满分 78 分）15 【解答】解：原式4 a2+4a+14 a2+4a8 a+1，当 a 时，原式8 a+1216 【解答】解：画树状图如图：共有 9 个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有 5 个，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为 1117 【解答】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 x 套，则实际每天加工彩灯的数量为 1.2x 套，由题意得： 5，解得： x300，经检验
16、， x300 是原方程的解，且符合题意；答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 300 套18 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， AB 为 O 的直径， ABE BCG AFB90， BAF+ ABF90， ABF+ EBF90， EBF BAF，在 ABE 与 BCG 中， ， ABE BCG（ ASA） ；（2）解：连接 OF， ABE AFB90， AEB55， BAE905535， BOF2 BAE70， OA3， 的长 19 【解答】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，
17、3.1，3.3，3.3，3.5，4，12中位数 m 的值为 2.5，众数 n 为 2.5；故答案为：2.5，2.5；（2）2.41843.2（小时） ，答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按 18 周计算）网上学习的时间为 43.2 小时（3）200 130（人） ，答：该校七年级学生有 200 名，估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数为 130人20 【解答】解：（1）如图所示， ABM 即为所求；（2）如图所示， CDN 即为所求；（3）如图所示，四边形 EFGH 即为所求；21 【解答】解：（1）乙车的速度为：（270602）275 千米/时，a270753.6， b27060
18、4.5故答案为：75；3.6；4.5；（2）603.6216（千米） ，当 2 x3.6 时，设 y k1x+b1，根据题意得：，解得 ， y135 x270（2 x3.6） ；当 3.6 x4.6 时，设 y60 x， ；13（3）甲车到达距 B 地 70 千米处时行驶的时间为：（27070）60 （小时） ，此时甲、乙两车之间的路程为：135 270180（千米） 答：当甲车到达距 B 地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程为 180 千米22 【解答】教材呈现：证明：如图，连结 ED在 ABC 中， D， E 分别是边 BC， AB 的中点， DE AC， DE AC， DEG AC
19、G， 2， 3， ；结论应用：（1）解：如图四边形 ABCD 为正方形， E 为边 BC 的中点，对角线 AC、 BD 交于点 O， AD BC， BE BC AD， BO BD， BEF DAF， ， BF DF， BF BD， BO BD， OF OB BF BD BD BD，正方形 ABCD 中， AB6， BD6 ， OF 故答案为 ；14（2）解：如图，连接 OE由（1）知， BF BD， OF BD， 2 BEF 与 OEF 的高相同， BEF 与 OEF 的面积比 2，同理， CEG 与 OEG 的面积比2， CEG 的面积+ BEF 的面积2（ OEG 的面积+ OEF 的面积
20、）2 1， BOC 的面积 ， ABCD 的面积4 6故答案为 623 【解答】解：（1）在 Rt ABC 中， C90， AC20， BC15 AB 25 ，由题可知 AP5 t， PN APsin CAB 3 t故答案为：25；3 t（2）当 PQMN 为矩形时， NPQ90， PN AB， PQ AB， ，15由题意可知 AP CQ5 t， CP205 t， ，解得 t ，即当 PQMN 为矩形时 t （3）当 PQMN ABC 重叠部分图形为四边形时，有两种情况，如解图（3）1 所示 PQMN 在三角形内部时延长 QM 交 AB 于 G 点，由（1）题可知：cos Asin B ，co
21、s B ， AP5 t， BQ155 t， PN QM3 t AN APcosA4 t， BG BQcosB93 t， QG BQsinB124 t， PQMN 在三角形内部时有 0 QM QG，03 t124 t，0 t NG254 t（93 t）16 t当 0 t 时， PQMN 与 ABC 重叠部分图形为 PQMN， S 与 t 之间的函数关系式为S PNNG3 t（16 t）3 t2+48t如解图（3）2 所示当 0 QG QM， PQMN 与 ABC 重叠部分图形为梯形 PQMG 时，即：0124 t3 t，解得： ，PQMN 与 ABC 重叠部分图形为梯形 PQMG 的面积 S 综
22、上所述：当 0 t 时， S3 t2+48t当 ， S （4）当过点 P 且平行于 BC 的直线经过 PQMN 一边中点时，有两种情况，如解题图（4）1， PR BC， PR 与 AB 交于 K 点， R 为 MN 中点，过 R 点作 RH AB， PKN HKR B，NK PNcot PKN3 t ， NR MR， HR PN QM，16 NH GH ， HR ， GM QM QG3 t（124 t ）7 t12 HR KH HRcot HKR ， NK+KH NH， ，解得： t ，如解题图（4）2， PR BC， PR 与 AB 交于 K 点， R 为 MQ 中点，过 Q 点作 QH P
23、R， HPN A QRH，四边形 PCQH 为矩形， HQ QRsin QRH PC205 t，205 t ，解得 t 综上所述：当 t 或 时，点 P 且平行于 BC 的直线经过 PQMN 一边中点时，1724 【解答】解：（1）当 n5 时，y ，将 P（4， b）代入 y x2+ x+ ， b ；当 x5 时，当 x5 时有最大值为 5；当 x5 时，当 x 时有最大值为 ；函数的最大值为 ；（2）将点（4，2）代入 y x2+nx+n 中， n ， n4 时，图象与线段 AB 只有一个交点；将点（2，2）代入 y x2+nx+n 中， n2，将点（2，2）代入 y x2+ x+ 中， n ，182 n 时图象与线段 AB 只有一个交点；综上所述： n4，2 n 时，图象与线段 AB 只有一个交点；（3）当 x n 时， y n2+ n2+ ，4， n8；当 x 时， y + ，+ 4， n ，当 x n 时， y n2+n2+n n，n4；函数图象上有 4 个点到 x 轴的距离等于 4 时， n8 或 n 4
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