2019年广东省江门市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

1、2019 年广东省江门市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）i 是虚数单位，若 是纯虚数，则实数 m（  ）A1 B1 C4 D42 （5 分）设集合 U1，2，3，4，5，A1 ，2，4， B2 ，5，则 A（ UB）（  ）A2 B5 C1 ，4 D2 ，43 （5 分）某地气象局把当地某月（共 30 天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如图所示的统计图，假设该月温度的中位数为 mc，众数为 m0，平均数为 ，则（  ）A Bm cm 0 Cm cm 0 D4

2、 （5 分）直角坐标系 Oxy 中，已知两点 A（2，1） ，B（4，5） ，点 C 满足，其中 、 R，且 +1则点 C 的轨迹方程为（  ）Ay2x3 Byx+1Cx+2y9 D （x3） 2+（y 3） 255 （5 分）根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的 n 个月内累计的需求量 Sn（单位：万件）大约是 Sn （n1，2，12） 据此预测，本年度内，需求量超过 5 万件的月份是（  ）A5 月、6 月 B6 月、7 月 C7 月、8 月 D8 月、9 月6 （5 分）一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若 ，且这个四棱锥的体积 V 16，则这个四棱锥的

3、侧面积 S（  ）第 2 页（共 26 页）A16 B32 C64 D7 （5 分）若 ，则（  ）Af（1）f（2）f（3） Bf（3） f（2）f（1）Cf（2）f （ 1）f（3） Df（1）f（3）f（2）8 （5 分）若 f（x ）lnx 与 g（x）x 2+ax 两个函数的图象有一条与直线 yx 平行的公共切线，则 a（  ）A1 B2 C3 D3 或19 （5 分）在二项式（1+x） 10 的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（  ）A B C D10 （5 分）直角坐标系 Oxy 中，双曲线 （a，b0）与抛物线 y22bx 相

4、交于A、B 两点，若 OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率 e（  ）A B C D11 （5 分）ABCD 是球 O 内接正四面体，若球 O 的半径为 1，则（  ）A B C D12 （5 分）若直线 yk （x 1）与曲线 yx+xlnx 在第一象限无交点，则正整数 k 的最大值是（  ）A1 B2 C3 D4第 3 页（共 26 页）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是     14 （5 分）甲、乙、丙、丁和戊 5 名学生进行劳动技术比赛

5、，决出第 1 名到第 5 名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军” ；对乙说“你当然不会是最差的”从上述回答分析，5 人的名次排列可能有     种不同情况？（填数字）15 （5 分）已知 a、b、c 是锐角ABC 内角 A、B、C 的对边， S 是ABC 的面积，若a8，b5， ，则 c     16 （5 分）在直角坐标系 Oxy 中，记 表示的平面区域为 ，在 中任取一点M（x 0，y 0） ，3x 0y 01 的概率 P     三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （

6、12 分）已知函数 ，方程 在（0，+）上的解按从小到大的顺序排成数列 an（n N*） （）求数列a n的通项公式；（）设 bnsina n，求数列b n的前 n 项和 Sn18 （12 分）如图 1，平面五边形 ABCDE 中，BBADECDE90，CDDEAE ，将 ADE 沿 AD 折起，得到如图 2 的四棱锥 PABCD（）证明：PCAD；（）若平面 PAD平面 ABCD，求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值19 （12 分）已知椭圆： （ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，点 P 在椭第 4 页（共 26 页）圆上，|PF 1|+|PF2|4，椭圆的离心率 （）求椭圆

7、的标准方程；（）A、B 是椭圆上另外两点，若PAB 的重心是坐标原点 O，试证明PAB 的面积为定值 （参考公式：若坐标原点 O 是PAB 的重心，则 ）20 （12 分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪 80 元，每单提成 4 元；乙公司无底薪，40 单以内（含 40 单）的部分每单提成 6 元，大于 40 单的部分每单提成 7 元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 50 天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 10 15 10 10 5乙公司送餐员送餐单

8、数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 5 10 10 20 5（）若将大于 40 单的工作日称为“繁忙日” ，根据以上频数表能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“繁忙日”与公司有关？（）若将频率视为概率，回答下列两个问题：记乙公司送餐员日工资为 X（单位：元） ，求 X 的分布列和数学期望；小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘，你会推荐小王去哪家？为什么？参考公式和数据：P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.87921 （12 分）设函数 f（x ）e ax+x2ax，e 是自然对数的底数，aR 是

9、常数（）若 a1，求 f（x ）的单调递增区间；（）讨论曲线 yf（x）与 yx 2+2x 公共点的个数请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 Oxy 中，曲线 C1： （ 为参数） ，以 O 为极点，第 5 页（共 26 页）x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 24 cos40（）分别求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（）P 是曲线 C1 和 C2 的一个交点，过点 P 作曲线 C1 的切线交曲线 C2 于另一点 Q，求|PQ |选修 4-5：不等式选讲23

10、已知函数 f（x ）|x |，g （x）|x4|+ m，xR，mR 是常数（）解关于 x 的不等式 g（| x|）+3m 0；（）若曲线 yf（x）与 无公共点，求 m 的取值范围第 6 页（共 26 页）2019 年广东省江门市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）i 是虚数单位，若 是纯虚数，则实数 m（  ）A1 B1 C4 D4【分析】化简代数式，根据纯虚数的定义得到关于 m 的方程，解出即可【解答】解： ，若 是纯虚数，则 2m+20，解得： m1，故选：B【

11、点评】本题考查了复数的运算，考查纯虚数的定义，是一道基础题2 （5 分）设集合 U1，2，3，4，5，A1 ，2，4， B2 ，5，则 A（ UB）（  ）A2 B5 C1 ，4 D2 ，4【分析】先由补集的定义求出 UB，再利用交集的定义求 A UB【解答】解：U1，2，3，4，5，B2 ，5， UB1，3 ，4，又集合 A1 ， 2，4，A UB1，4，故选：C【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，解题的关键是熟练掌握交集与补集的定义，计算出所求的集合3 （5 分）某地气象局把当地某月（共 30 天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如图所示的统计图，假设该月温度的中位数为 m

12、c，众数为 m0，平均数为 ，则（  ）第 7 页（共 26 页）A Bm cm 0 Cm cm 0 D【分析】由统计图分别求出该月温度的中位数，众数，平均数，由此能求出结果【解答】解：由统计图得：该月温度的中位数为 mc 5.5，众数为 m05，平均数为 （23+34+105+6 6+37+28+29+210）5.97 故选：D【点评】本题考查中位数，众数，平均数的求法，考查统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4 （5 分）直角坐标系 Oxy 中，已知两点 A（2，1） ，B（4，5） ，点 C 满足，其中 、 R，且 +1则点 C 的轨迹方程为（  ）Ay2x3

13、 Byx+1Cx+2y9 D （x3） 2+（y 3） 25【分析】本题可将三个向量写出它们的坐标表示，然后联立方程组，消去 ，得出关于 x，y 的关系式【解答】解：由题意，可 C 点坐标为（ x，y） ，则 （x，y） （2，1） ， （4，5）根据题意，可得方程组：，+ 1，1 ，将此式代入方程组，可得：，第 8 页（共 26 页）消去 ，整理得 2xy30故选：A【点评】本题主要考查向量的坐标表示及其运算，属基础题5 （5 分）根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的 n 个月内累计的需求量 Sn（单位：万件）大约是 Sn （n1，2，12） 据此预测，本年度内，需求量超过 5 万件的月

14、份是（  ）A5 月、6 月 B6 月、7 月 C7 月、8 月 D8 月、9 月【分析】利用“当 n1 时，a 1S 1n2 时，a nS nS n1 ”求出 an，由二次不等式的解法解出 an5 即可得出【解答】解：S n （n1，2，12） ，当 n1 时，a 1S 1 ，n2 时，a nS nS n1 （21n21n 2+2n15） 5，化为 n215n+540，解得 6n9可知当 n7 或 8，需求量超过 5 万件故答案为：7，8故选：C【点评】本题考查了利用“当 n1 时，a 1S 1n2 时，a nS nS n1 ”求出 an，考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力

15、与计算能力，属于中档题6 （5 分）一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若 ，且这个四棱锥的体积 V 16，则这个四棱锥的侧面积 S（  ）第 9 页（共 26 页）A16 B32 C64 D【分析】由三视图知该几何体为四棱锥，由体积求出四棱锥的高，再根据对称性求出四棱锥的侧面积【解答】解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，如图所示；底面是边长为 a 的正方形，设高为 h；则该四棱锥的体积为 V h h16，解得 h3；所以该四棱锥的侧面积为 S 侧面积 2S PAB +2SPBC 2 43+2 4 32故选：B【点评】本题考查了三视图的有关知识、四棱锥的体积和侧面积的计算问题

16、，是基础题7 （5 分）若 ，则（  ）Af（1）f（2）f（3） Bf（3） f（2）f（1）Cf（2）f （ 1）f（3） Df（1）f（3）f（2）第 10 页（共 26 页）【分析】直接利用函数的单调性和整体思想求出函数的大小关系【解答】解：利用函数的单调性：由于函数 f（x）在区间 上单调递减，故： ，解得： ，所以：f（1）的值在 x 的左边且离得比较近，接近于最大值，故 f（1）最大，由于： ，故：f（2）f（3） ，所以：f（1）f（2）f（3） 故选：A【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型8 （5

17、分）若 f（x ）lnx 与 g（x）x 2+ax 两个函数的图象有一条与直线 yx 平行的公共切线，则 a（  ）A1 B2 C3 D3 或1【分析】由题意可设公共切线的方程为 yx+t ，t0，分别求得 f（x） ，g（x ）的导数，可得切线的斜率，求得切点坐标，可得切线方程，解 a 的方程可得所求值【解答】解：由题意可设公共切线的方程为 yx+t ，t0，设与 f（x）的切点为（ x1，y 1） ，与 g（x）的切点为（x 2， y2） ，可得 f（x） ，切线斜率为 ，且 x11，y 10，切线方程为 yx 1，g（x）2x+a，切线斜率为 2x2+a，由 2x2+a1，x

18、22+ax2x 21 ，解得 a3，x 21；或 a1，x 21，故选：D【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，两直线平行的条件：斜率相等，考查方程思想和运算能力，属于基础题第 11 页（共 26 页）9 （5 分）在二项式（1+x） 10 的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（  ）A B C D【分析】本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1） 10 的展开式中任取一项有 11种结果，1 和 x 系数都为 1，只考虑二项式系数即可，写出二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1 得到奇数 4 个，得到概率

19、【解答】解：有题意知本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1） 10 的展开式中任取一项有 11 种结果，1 和 x 系数都为 1，我们只考虑二项式系数即可二项式系数为 1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1 得到奇数 4 个，任取一项，该项的系数为奇数的概率 p故选：B【点评】本题考查等可能事件的概率和二项式系数的特点，本题解题的关键是看出二项式的展开式中所有的二项式系数的值，本题比较特殊，因为二项式的系数等于项的系数10 （5 分）直角坐标系 Oxy 中，双曲线 （a，b0）与抛物线 y22bx 相交于A、B 两点，若 OAB 是等边三角形，则该双曲线的

20、离心率 e（  ）A B C D【分析】由 ，求出点 A，B 的坐标，根据OAB 是等边三角形可得6c2ac7a 20，即 6e2e70，解得即可【解答】解：由 ，消 y 可得 bx22a 2xa 2b0，解得 x ，则 y ，不妨设 A（ ， ） ，B（ ， ） ，第 12 页（共 26 页）|OA |2 +2a（a+c） ，|AB |28a（a+c） ，OAB 是等边三角形，|OA |AB|， +2a（a+ c）8a（a+c） ，整理可得 6c2ac 7a 20，6e 2e70，解得 e ，故选：D【点评】本题考查了双曲线和抛物线，考查了双曲线的离心率，属于中档题11 （5 分）

21、ABCD 是球 O 内接正四面体，若球 O 的半径为 1，则（  ）A B C D【分析】根据正四面体与球的关系，求出四面体的边长，结合向量数量积的定义转为 4，利用余弦定理求出 ， 即可【解答】解：如图、在正四面体 ABCD 中、作 AO1底面 BCD 于 O1、则 O1 为BCD 的中心OAOB OCODR1、球心 O 在底面的射影也是 O 1，于是 A、O、O  1 三点共线设正四面体 ABCD 的棱长为 a、第 13 页（共 26 页）则 ABax、BO 1 a，AO 1 a，OO 1 ，又 OO1AO 1 AO a1 ，由此解得 a ，故正四面体 ABCD 的棱长

22、为 + + +4 4| | |cos ， 4cos ， ，OAOC1，AC ，cosAOC ，则 4cos ， 4（ ） ，故选：B【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据球内切正四面体求出正四面体的边长，以及利用数量积的定义转化为求夹角是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度12 （5 分）若直线 yk （x 1）与曲线 yx+xlnx 在第一象限无交点，则正整数 k 的最大值是（  ）A1 B2 C3 D4【分析】由导数研究函数的单调性，最值可得：f（x ）在（0， ）为减函数，在（，+）为增函数，则 f（ x） min ，第 14 页（共 26 页）由导数求曲线切

23、线方程及零点定理得：g（x）2+lnxxg（x） ，易得 g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+）为减函数，设 g（x）0 的两根为 x1，x 2，不妨设 x1x 2，则 4x 2 5，则m2+ lnx2x 2（3，4） ，由图可知，km ，即正整数 k 的最大值是 3，得解【解答】解：因为 f（x ）x+xlnx，所以 f（x） 2+lnx，当 0 时，f（x ）0，当 x 时，f（x ）0，则 f（x）在（0 ， ）为减函数，在（ ，+）为增函数，则 f（x） min ，设直线 ym（x1）与曲线 yx+xlnx 在第一象限切于点P（x 0， y0） ，则切线方程为：y（2+lnx 0）

24、xx 0，又此直线过点（1，0） ，解得：2+lnx 0x o0，设 g（x）2+lnxxg（x） ，易得 g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+）为减函数，设 g（x）0 的两根为 x1，x 2，不妨设 x1x 2，则 4x 25，则 m2+lnx 2x 2（3，4） ，由图可知，km ，即正整数 k 的最大值是 3，故选：C第 15 页（共 26 页）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，最值、曲线的切线方程及零点定理，属中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是 在空间中，若四点中存在三

25、点共线，则这四点共面 【分析】直接写出原命题的逆否命题【解答】解：命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是：在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面，故答案为：在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面【点评】本题考查的知识点是四种命题的关系，我们要先根据原命题结合四种命题的定义写了其逆否命题，属于基础题14 （5 分）甲、乙、丙、丁和戊 5 名学生进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军” ；对乙说“你当然不会是最差的”从上述回答分析，5 人的名次排列可能有 54 种不同情况？

26、（填数字）【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名乙的限制最多，故先排乙，有 3 种情况；再排甲，也有 3 种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名乙的限制最多，故先排乙，有 3 种情况；再排甲，也有 3 种情况；余下 3 人有 A33 种排法第 16 页（共 26 页）故共有 33A3354 种不同的情况故答案为：54【点评】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑15 （5 分）已知 a、b

27、、c 是锐角ABC 内角 A、B、C 的对边， S 是ABC 的面积，若a8，b5， ，则 c 7 【分析】由三角形的面积公式 S 可求 C，然后由余弦定理可求 c【解答】解：a8，b5， ， 10 ，sinCC由余弦定理可得，cos ，c7，故答案为：7【点评】本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，属于基础试题16 （5 分）在直角坐标系 Oxy 中，记 表示的平面区域为 ，在 中任取一点M（x 0，y 0） ，3x 0y 01 的概率 P    【分析】由约束条件作出可行域，求出满足 3x0y 01 的点 M 所在区域，再由测度比是面积比得答案【解答】解：由约

28、束条件 作出可行域如图，第 17 页（共 26 页）作出直线 3xy 1，区域 表示三角形 OAB，满足 3x0y 01 的点 M（x 0，y 0）在三角形 ABC 内，联立 ，解得 B（2，1） ，联立 ，解得 C（ ， ） ，|OB | ， |OC| ， 3x 0y 01 的概率 P 故答案为： 【点评】本题考查简单的线性规划，考查几何概型概率的求法，是中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）已知函数 ，方程 在（0，+）上的解按从小到大的顺序排成数列 an（n N*） （）求数列a n的通项公式；（）设 bnsina n，求数列b n的前 n 项和 Sn

29、【分析】 （）由二倍角公式化简 f（x ） ，求得方程 的解，可得所求通项公式；（）求得 bn 的周期，计算一个周期的项，分类讨论，结合周期性即可得到所求和【解答】解：（）函数 ，第 18 页（共 26 页）即 ，解 得 ， ，kZ，依题意 ，n N*；（） 是周期 的数列， ， ， ， ， ，S 40，从而 ， ，所以 Sn 是周期为 4 的数列，（kN *） 【点评】本题考查三角函数的恒等变换公式的运用，考查数列的周期性的判断和运用：求和，考查运算能力，属于中档题18 （12 分）如图 1，平面五边形 ABCDE 中，BBADECDE90，CDDEAE ，将 ADE 沿 AD 折起，得到如

30、图 2 的四棱锥 PABCD（）证明：PCAD；（）若平面 PAD平面 ABCD，求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值【分析】 （）取 AD 的中点 F，连接 PF、CF推导出 PFAD 、CF AD ，从而 AD第 19 页（共 26 页）平面 PCF，由此能证明 PCAD（）法一：以 F 为原点，以 、 、 为单位正交基底建立空间直角坐标系 Oxyz，利用向量法能求出直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值法二：设 ，则 ABBC1，连接 BD，三棱锥 PBCD 的体积，求出点 B 到平面 PCD 的距离，由此能求出直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值【解答】证明：（）取

31、AD 的中点 F，连接 PF、CF由已知，左图 CDEA 是正方形，因为正方形的对角线互相垂直平分，所以 PFAD（即 EFAD ） 、CFAD，（2分）因为 PFCF F，所以 AD平面 PCF，（3 分）PC平面 PCF，所以 PCAD（4 分）（）由（）和平面 PAD平面 ABCD 知，PF 平面 ABCD  （5 分）（方法一）从而 PF、CF、AD 两两互相垂直，以 F 为原点，以 、 、 为单位正交基底建立空间直角坐标系 Oxyz  （6 分）则 P（0，0，1） 、B（1，1，0） 、C （0，1，0） 、D（1，0，0）（7 分）设 是平面 PCD 的一个法

32、向量，则   （9 分）取 a1，则 bc1，故   （10 分）（11 分）直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为   （12 分）（方法二）不妨设 ，则 ABBC1 （6 分）连接 BD，三棱锥 PBCD 的体积 （8 分）第 20 页（共 26 页），PCD 是正三角形，   （9 分）设点 B 到平面 PCD 的距离为 h1，解 得，   （10 分），故直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 （12 分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解

33、能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）已知椭圆： （ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，点 P 在椭圆上，| PF1|+|PF2|4，椭圆的离心率 （）求椭圆的标准方程；（）A、B 是椭圆上另外两点，若PAB 的重心是坐标原点 O，试证明PAB 的面积为定值 （参考公式：若坐标原点 O 是PAB 的重心，则 ）【分析】 （I）根据待定系数法求出椭圆方程；（II）设直线 AB 的方程为 ykx+m，联立方程组求出弦长|AB|，求出 P 到 AB 的距离，得出三角形的面积关于 m 的函数，从而得出面积的最大值【解答】解：（）依题意，2a4，a2  （1 分）由 得，c

34、1，   （2 分）椭圆的标准方程为   （3 分）（）PAB 最多只有 1 条边所在直线与 x 轴垂直，不妨设 AB 所在直线与 x 轴不垂直，其方程为 ykx+ m第 21 页（共 26 页）（因为PAB 的重心是 O，所以 O 不在直线 AB 上，m0）由 得， （4k 2+3）x 2+8kmx+4m2120  （4 分）设 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，则48（4k 2m 2+3）0，且 ， （5 分）从而 （6 分）设 P（x 3，y 3） ，由 得，  （7 分）（8 分）点 P（x 3，y 3）在椭圆 上，所以即 4k24

35、m 2+30，且符合 48（4k 2m 2+3）0& （9 分）（注：以上两处48（4k 2m 2+3）0，只要任何一处出现即可；否则扣 1 分）点 P（x 3，y 3）到直线 ykx+m 的距离 （10 分）PAB 的面积 （11 分）由 4k24m 2+30 即 4k2+3 4m2 得， 为常数（12 分）【点评】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，考查设而不求法的应用，属于难题20 （12 分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪 80 元，每单提成 4 元；乙公司无底薪，40 单以内（含 40 单）的部分每单提成 6 元，大于 40 单的部分每单提

36、成 7 元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 50 天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 10 15 10 10 5乙公司送餐员送餐单数频数表第 22 页（共 26 页）送餐单数 38 39 40 41 42天数 5 10 10 20 5（）若将大于 40 单的工作日称为“繁忙日” ，根据以上频数表能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“繁忙日”与公司有关？（）若将频率视为概率，回答下列两个问题：记乙公司送餐员日工资为 X（单位：元） ，求 X 的分布列和数学期望；小王打

37、算到甲、乙两家公司中的一家应聘，你会推荐小王去哪家？为什么？参考公式和数据：P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879【分析】 （）作出公司与“繁忙日”列联表，求出 k24.173.841，由此能求出在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“繁忙日”与公司有关（） 设乙公司送餐员送餐单数为 a，求出 X 的所有可能取值为228、234、240、247、254，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望甲公司送餐员日平均送餐单数为 39.7，从而甲公司送餐员日平均工资为 238.8 元，由238.8241.8

38、，从更高收入角度考虑推荐小王去乙公司应聘；由乙公司比甲公司繁忙，从工作闲适角度考虑推荐小王去甲公司应聘【解答】解：（）依题意得，公司与“繁忙日”列联表繁忙日 非繁忙日 总计甲公司 15 35 50乙公司 25 25 50总计 40 60 100，4.173.841，所以，能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“繁忙日”与公司有关（） 设乙公司送餐员送餐单数为 a，则当 a38 时，X386228，当 a39 时，X396234，当 a40 时，X406240，第 23 页（共 26 页）当 a41 时，X406+17247，当 a42 时，X406+27254，所以，X 的所有可能取值

39、为 228、234、240、247、254，X 的分布列为：X 228 234 240 247 254P（9 分）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2+390.3+400.2+410.2+420.139.7，所以甲公司送餐员日平均工资为 80+439.7238.8（元）（11 分）因为 238.8241.8，故从更高收入角度考虑推荐小王去乙公司应聘，因为乙公司比甲公司繁忙，故从工作闲适角度考虑推荐小王去甲公司应聘【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查运算求解能力，是中档题21 （12 分）设函数 f（x ）e ax+x2ax，e 是自

40、然对数的底数，aR 是常数（）若 a1，求 f（x ）的单调递增区间；（）讨论曲线 yf（x）与 yx 2+2x 公共点的个数【分析】 （）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）令函数 g（x）f（x）（x 2+2x）e ax（a+2）x，求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，求出函数的零点即图象的交点即可【解答】解：（）f（x ）e x+2x1  （1 分）当 x0 时，f （x）0，当 x0 时，f （x）0，当 x0 时，f （x）0（2 分）f（x）的单调递增区间为（ 0，+） （或0 ，+） ） （3 分）（）

41、曲线 yf（x）与 yx 2+2x 公共点的个数，即函数 g（x）f（x）（x 2+2x）e ax（a+2）x 零点的个数，g（x）ae ax（a+2）（4 分）（1）a0 时，g（x）12x 有一个零点  （5 分）第 24 页（共 26 页）（2）a0 时，由 g（x）0 解得， 当 时，g（x）0；当 时，g（x）0，g（x）在 取最小值，（6 分） 时， ，g（x）有一个零点  （7 分） 时， ，g（x）无零点  （8 分） 时， ，由 g（0）10 知，g（x）在 有一个零点，即在 有一个零点；由指数函数与幂函数单调性比较知，当 且充分大时，g（x 0

42、）0，所以 g（x）在 有一个零点，即在 有一个零点从而 g（x）有两个零点  （9 分）（3）2a0 时，g（x）ae ax（a+2）0，g（x）单调递减，g（0）10， ，所以 g（x）在 有一个零点，从而在定义域内有一个零点 （10 分）（4）a2 时，g（x）e 2x 无零点  （11 分）（5）a2 时，由 g（x）0 解得， 当 时，g（x）0；当 时，g（x）0，第 25 页（共 26 页）g（x）在 取最小值，因为 a2， ， ， ，g（x）g min（x ）0，g（x）无零点综上所述，a2 或 时，两曲线无公共点；2a0 或 时，两曲线有一个公共点；时，两

43、曲线有两个公共点  （12 分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 Oxy 中，曲线 C1： （ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 24 cos40（）分别求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（）P 是曲线 C1 和 C2 的一个交点，过点 P 作曲线 C1 的切线交曲线 C2 于另一点 Q，求|PQ |【分析】 （）直接利

44、用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（）利用点到直线的距离公式求出结果【解答】解：（）由 sin2+cos21 得，曲线 C1 的普通方程为（x4） 2+y216由 2 x2+y2、cosx 得，曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y24x 40，（）解 得，x1， 根据圆的对称性，不妨设 ，则 ， 直线 PQ 的方程为 ，即 第 26 页（共 26 页）圆心 C2（2，0）到直线 PQ 的距离 ，所以， 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离的公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选

45、讲23已知函数 f（x ）|x |，g （x）|x4|+ m，xR，mR 是常数（）解关于 x 的不等式 g（| x|）+3m 0；（）若曲线 yf（x）与 无公共点，求 m 的取值范围【分析】 （）得到关于|x |的不等式，求出 x 的范围即可；（）令 h（x）|x|+| x4|，求出 h（x）的分段函数的形式，求出 h（x）的最小值，从而求出 m 的范围即可【解答】解：（）依题意，g（|x |）+3m |x|4|+3（1 分）由 g（|x| ）+3 m| x|4|+30，得，|x|4|33|x|43  （2 分）1|x| 7，解|x|7 得，7x7  （3 分）解|x |1 得，x1 或 x1  （4 分）不等式的解集为（7，1）（1，7）（5 分）（）依题意， 无零点，（8 分）h（x）的最小值为 4，所以 m4，即 m 的取值范围是（， 4）（10 分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题