1、1.3.1 推出与充分条件、必要条件,第一章 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式,学习目标 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件及充要条件的意义. 2.能准确判断各类命题中的充分性、必要性、充要性.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 命题的结构,思考 你能把“内错角相等”写成“若，则”的形式吗？,答案 若两个角为内错角，则这两个角相等.,梳理 命题的形式：在数学中，经常遇到“如果p，则(那么)q”的形式的命题，其中p称为命题的 ，q称为命题的 .,条件,结论,知识点二 充分条件与必要条件,给出下列命题： (1)如果xa2b2，则x2ab； (2)如果ab0
2、，则a0. 思考1 你能判断这两个命题的真假吗？,答案 (1)真命题；(2)假命题.,思考2 命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？,答案 命题(1)中只要满足条件xa2b2，必有结论x2ab；命题(2)中满足条件ab0，不一定有结论a0，还可能有结论b0.,梳理 一般地，“如果p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作 ，并且说p是q的 ，q是p的 .,充分条件,必要条件,pq,知识点三 充要条件,思考1 命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？,答案 只要满足条件，必有结论成立，它的逆命
3、题成立.,思考2 若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？,答案 因为pq且qp，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件.,梳理 一般地，如果既有pq，又有qp，就记作 .此时，我们说，p是q的 ，简称 .,pq,充分且必要条件,充要条件,知识点四 充要条件的判断,1.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类 (1)充分且必要条件(充要条件)，即pq且qp； (2)充分不必要条件，即pq且q p； (3)必要不充分条件，即p q且qp； (4)既不充分也不必要条件，即pq且qp.,2.从集合的角度判断充分条件、
4、必要条件和充要条件,其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立.,思考辨析 判断正误 (1)若p是q的充分条件，则要使q成立，有p就足够了，不需要再附加任何条件.( ) (2)q是p的必要条件，就是说要使p成立，必须q先成立.( ) (3)q的充分条件是唯一确定的.( ),题型探究,类型一 判断充分条件与必要条件,解答,命题角度1 定义法判断充分条件与必要条件,解 因为x20(x2)(x3)0， 而(x2)(x3)0x20， 所以p是q的充分不必要条件.,例1 指出下列各组命题中p是q的什么条件？ (1)p：x20，q：(x2)(x3)0；,(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等
5、；,解答,解 因为两个三角形相似两个三角形全等， 但两个三角形全等两个三角形相似， 所以p是q的必要不充分条件.,(3)在ABC中，p：AB，q：BCAC；,解答,解 在ABC中，显然有ABBCAC， 所以p是q的充要条件.,(4)在ABC中，p：sin Asin B，q：tan Atan B.,解答,解 取A120，B30，pq； 又取A30，B120，qp， 所以p是q的既不充分也不必要条件.,反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法： 确定谁是条件，谁是结论； 尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； 尝试从结论推条件，若结论能推出条件
6、，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.,(2)命题判断法： 如果命题：“如果p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； 如果命题：“如果p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.,跟踪训练1 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件) (1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；,解答,解 因为四边形的对角线互相平分四边形是矩形， 四边形是矩形四边形的对角线互相平分， 所以p是q的必要不充分条件.,(2)p：x1或x2，q：x1 ；,解答,所以p是q的充要条件.,(3)p：m0，q：x2xm
7、0有实根.,解答,解 因为m0方程x2xm0的判别式14m0，即方程有实根； 方程x2xm0有实根， 即14m0 m0. 所以p是q的充分不必要条件.,命题角度2 用集合观点判断充分条件、必要条件,例2 (1)“|x|2”是“x2x60”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,解析 由|x|2，得2x2， 令Ax|2x2， 由x2x60，得2x3， 令Bx|2x3， AB，|x|2是x2x60的充分不必要条件.,(2)设集合Mx|x1|2，Nx|x(x3)0，那么“aM”是“aN”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件
8、D.既不充分也不必要条件,答案,解析,解析 Mx|1x3，Nx|0x 的一个必要不充分条件是_；xy0的一个充分不必要条件是_.,x0,答案,x0且y0(答案不唯一),类型二 充分条件、必要条件的应用,例3 已知p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.,解答,命题角度1 由四种条件求参数的范围,解 令Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0,Nx|x22(a1)xa(a2)0 x|(xa)x(a2)0x|xa2或xa， 由已知pq，且qp，得MN.,反思与感悟 在涉及到求参数的取值范围与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观
9、点来考虑.注意推出的方向及推出与子集的关系.,跟踪训练3 设p：实数x满足x24ax3a20，q：实数x满足若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为_.,(1,2,答案,解析,解析 x24ax3a20)，p：ax3a.,q：2x3. 又p是q的必要不充分条件， x|2x3x|ax0对于一切实数x都成立的充要条件.,解答,命题角度2 充要条件的探求与证明,判别式a24a(1a)5a24aa(5a4)0对一切实数x都成立. 而当a0时，不等式ax2ax1a0化为10. 显然当a0时，不等式ax2ax1a0对一切实数x都成立.,必要性：因为ax2ax1a0对一切实数x都成立，,反思与感悟 探求
10、一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件结论”和“结论条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件.,跟踪训练4 求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,证明,证明 充分性：ac0， 方程一定有两个不等实根，,方程的两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根. 必要性：方程ax2bxc0有一正根和一负根，,设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2 0， 即ac0.,综上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,达标检测,1.“2x1”是“x1或x1”的 A.充
11、分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件,答案,1,2,3,4,5,解析,解析 2x1x1或x1，且x1或x12x1， “2x1”是“x1或x1”的既不充分也不必要条件.,2.a0,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 ab0a0，b0，而a0，b0ablg y是 的充要条件,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 选项A中，由B60AC120AC2B 角A，B，C成等差数列； 而角A，B，C成等差数列AC2B， 又ABC180，所以3B180， 所以B60，故命题为真. 选项B中，abab0， 即2x20，得x1，故B正确.,1,2,3,4,5,选项C中，在AB
12、C中，ABsin Asin B， 反之，若sin Asin B， 因为A与B不可能互补(因为三角形的三个内角和为180)，所以只有AB. 故AB是sin Asin B的充要条件. 选项D中，取x2，y0，,1,2,3,4,5,4.若“x2axb0”是“x1”的充要条件，则a_，b_.,1,2,3,4,5,解析,2,答案,1,1,2,3,4,5,解答,5.已知p：3xm0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围.,1,2,3,4,5,由x22x30，得x3， q：Bx|x3. pq且qp，,m3，即m的取值范围是3，).,1.充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法. 2.充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别： p是q的充要条件，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性； p的充要条件是q，则由pq证的是必要性，由qp证的是充分性. (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.,规律与方法,
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