1、第2课时 椭圆的几何性质的应用,第二章 2.1.2 椭圆的几何性质,学习目标 1.进一步巩固椭圆的几何性质. 2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 点与椭圆的位置关系,知识点二 直线与椭圆的位置关系,思考 直线与椭圆有几种位置关系？如何判断？,答案 有三种位置关系，分别是相交、相切、相离.可以通过直线与椭圆的公共点的个数判断.,0直线与椭圆相交有两个公共点. (2)0直线与椭圆相切有且只有一个公共点. (3)0； (2)直线与椭圆相切0； (3)直线与椭圆相离0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具.,解答,解
2、 如图，由直线l的方程与椭圆的方程可知，直线l与椭圆不相交. 设直线m平行于直线l， 则直线m的方程可以写成4x5yk0. ,消去y，得25x28kxk22250. 令方程的根的判别式0， 得64k2425(k2225)0. 解方程得k125或k225.,由图可知，当k25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x5y250.,类型二 弦长与中点弦问题,解答,若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x20，x1x218.,(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.,解答,得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0.,解 方法一 当直线l的斜
3、率不存在时，不合题意. 所以直线l的斜率存在. 设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4).,由于AB的中点恰好为P(4,2)，,由于P(4,2)是AB的中点，x1x28，y1y24，,解答,解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,a24b2.又c2a2b23b2，,反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.,解答,解 方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差， 得a(x1x2)(x1x2)b(y1y
4、2)(y1y2)0. ,直线xy10的斜率k1.,|x2x1|2.,联立ax2by21与xy10， 消去y，得(ab)x22bxb10. 且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，,且直线AB的斜率k1，,类型三 椭圆中的最值(或范围)问题,例4 已知椭圆4x2y21及直线yxm. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；,解答,因为直线与椭圆有公共点，,(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.,解 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知5x22mxm210，,所以当m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.,解答,引申探究 在例4中，
5、设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求AOB面积的最大值及AOB面积最大时的直线方程.,解答,反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.,6,答案,解析,解析 由椭圆方程得F(1,0)，设P(x0，y0)，,2x02，,达标检测,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2
6、,3,4,5,答案,解析,A.0 B.2 C.4 D.2,1,2,3,4,5,当hb1时， 取最大值，此时F1PF2120.,1,2,3,4,5,答案,解析,x2y30,解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,AB所在的直线方程为x2y30.,1,2,3,4,5,解答,解 设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，,1,2,3,4,5,得(12k2)x24kx0，16k20，,1,2,3,4,5,化简得k4k220， 所以k21，所以k1. 所以所求直线l的方程是yx1或yx1.,1.直线与椭圆相交弦长的有关问题 (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.,规律与方法,(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.,2.解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. 特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错.,
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