1、第1课时 抛物线的几何性质,第二章 2.3.2 抛物线的几何性质,学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 抛物线的几何性质,思考1 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？,答案 范围、对称性、顶点、离心率.,思考2 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y22px(p0)的范围、对称性、顶点坐标吗？,答案 范围x0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0).,梳理 抛物线的几何性质,(0,0),1,x0,y0,知识点二 焦点
2、弦,设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则,思考辨析 判断正误 (1)椭圆、双曲线和抛物线都是中心对称图形.( ) (2)抛物线和双曲线一样，开口大小都与离心率有关.( ) (3)抛物线只有一条对称轴和一个顶点.( ) (4)抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关.( ),题型探究,类型一 由抛物线的几何性质求标准方程,解答,例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.,解 由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，,所以|AB|2|m|. 因为OAB的面积为4，,引申探
3、究 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是 A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2,解析,答案,解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形， 所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.,所以点A的坐标为(2p,2p)，同理可得B(2p，2p)，,反思与感悟 把握三个要点确定抛物线的几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p
4、；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.,跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆 短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程.,解答,抛物线的对称轴为x轴. 设抛物线的方程为y2ax(a0)，,抛物线的方程为y220x或y220x.,类型二 抛物线的焦点弦问题,例2 已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. (1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；,解答,解 因为直线l的倾斜角为60，,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25.,(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离.,解答,解
5、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,所以x1x26，所以线段AB的中点M的横坐标是3.,引申探究 本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求A1FB1.,解答,解 由抛物线定义|AA1|AF|，得AA1FAFA1， 又AA1x轴， OFA1AA1F， OFA1AFA1， 同理得OFB1BFB1， A1FOB1FO90，即A1FB190.,反思与感悟 (1)抛物线的焦半径,(2)过焦点的弦长的求解方法 设过抛物线y22px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1x2即可
6、.,跟踪训练2 直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为_.,xy10或xy10,答案,解析,解析 因为抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)， 若l与x轴垂直，则|AB|4，不符合题意. 所以可设所求直线l的方程为yk(x1).,所以所求直线l的方程为xy10或xy10.,类型三 抛物线的实际应用,例3 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分高为 m，货物的宽与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？,解答,解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建
7、立如图所示直角坐标系. 设抛物线的方程是x22py(p0)， 由题意知A(4，5)在抛物线上，,设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于B，B时，木船开始不能通航.设B(2，y)，,故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m时，木船开始不能通航.,反思与感悟 在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.,跟踪训练3 如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米.若洪水到来时，水位以每小时0.2米
8、的速度从警戒线开始上升，则再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为点O的),解答,解 设所求抛物线的解析式为yax2. 设D(5，b)，则B(10，b3)， 把D，B的坐标分别代入yax2，,即再持续5小时水位到达拱桥顶.,达标检测,1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 A.y28x B.y28x C.y28x或y28x D.x28y或x28y,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 设抛物线y22px或y22px(p0)，p4.,2.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为,1,2,3
9、,4,5,答案,解析,解析 由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，,3.已知过抛物线y28x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的值为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,10,解析 由y28x，得p4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： 焦点在y轴上； 焦点在x轴上； 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； 抛物线的通径的长为5； 由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1). 符合抛物线方程为y210x的条件是_.(要求填写合适条件的序号),1,
10、2,3,4,5,答案,解析,解析 由抛物线方程y210x，知它的焦点在x轴上， 所以符合.,设点P(2,1)，可得kPOkPF1，所以也符合. 而显然不符合，通过计算可知，不合题意. 所以应填.,1,2,3,4,5,5.求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；,1,2,3,4,5,解答,因此，所求抛物线的标准方程为y216x或x216y.,(2)顶点是双曲线16x29y2144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴.,1,2,3,4,5,解答,故抛物线顶点在原点，准线为x3. 由题意可设抛物线的标准方程为y22px(p0)，,因此，所求抛物线的标准方程为y212x.,1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程. 2.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解. 3.设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.,规律与方法,
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