1、章末检测试卷(二)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1已知双曲线 y 21( a0) 的右焦点与抛物线 y28x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线x2a2方程是( )Ay x By x555Cy x Dy x333考点 圆锥曲线的综合应用题点 双曲线与抛物线的综合应用答案 D解析 y 28x 的焦点是(2,0)，双曲线 y 21 的半焦距 c2，又虚半轴长 b1 且 a0，a ，x2a2 22 12 3双曲线的渐近线方程是 y x.332椭圆 1 与双曲线 1 有相同的焦点，则 k 应满足的条件是( )x29 y2k2 x2
2、k y23Ak3 B2k3Ck 2 D0k2考点 椭圆与双曲线的综合应用题点 椭圆与双曲线的综合应用答案 C解析 由 9k 2k 3，即 k2k60，解得 k2 或3.又由题意知 k20，所以 0| n|0)的曲线在同一坐标系中的图象可能是( )考点 圆锥曲线的综合应用题点 由曲线类型判断图象答案 A解析 mxny 20，整理为 y2 x.当 mnn0 时，y 2 x 表示开口向左的抛物线，mx 2ny 21 表示焦点在 y 轴mn上的椭圆，所以 C，D 都错5双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，双曲线 C 与抛物线 y216x 的准线交于 A，B两点，|AB|4 ，且双曲线的实轴长与
3、虚轴长相等，则双曲线 C 的实轴长为( )3A. B22 2C4 D8考点 双曲线与抛物线的综合应用题点 双曲线与抛物线的综合应用答案 C解析 设双曲线的方程为 1(a0)，x2a2 y2a2抛物线的准线为 x4，且| AB|4 ，3故可得 A(4,2 )，B (4，2 )，3 3将点 A 坐标代入双曲线方程，得 a24，故 a2，故实轴长为 4.6已知抛物线 y22px (p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )Ax1 Bx1Cx 2 Dx2考点 抛物线的焦点弦问题题点 焦点弦长与中点坐标答案 B解析 抛物线
4、的焦点为 F ，所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 yx ，即 xy .(p2，0) p2 p2代入 y22px，得 y22pyp 2，即 y22pyp 20，由根与系数的关系得p2(y 1，y 2 分别为点 A，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为 y24x，准线方程为y1 y22x1.7.如图，F 1，F 2 是双曲线 C1：x 2 1 与椭圆 C2 的公共焦点，点 A 是 C1，C 2 在第一象限y23的公共点若|F 1F2| F1A|，则 C2 的离心率是( )A. B. C. D.13 23 15 25考点 椭圆与双曲线的综合应用题点 椭圆与双曲线的综合应用答案 B解析 由题意知，|F
5、 1F2| F1A|4，|F 1A| |F2A| 2，|F 2A| 2，|F 1A| |F2A| 6，|F 1F2| 4，C 2 的离心率是 ，故选 B.46 238设 F1，F 2 分别为双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得x2a2 y2b2(|PF1|PF 2|)2b 23ab，则该双曲线的离心率为( )A. B.2 15C4 D. 17考点 双曲线的性质的应用题点 求双曲线的离心率答案 D解析 根据双曲线的定义|PF 1| PF2|2a，由(|PF 1|PF 2|)2b 23ab 可得 4a2b 23ab，即 b23ab4a 20，所以 23 40，解得 4(
6、负值舍去 )所以 e (ba) (ba) ba ca a2 b2a2 .1 b2a2 1 16 179已知点 A(0,2)，B(2,0) 若点 C 在抛物线 x2y 的图象上，则使得ABC 的面积为 2 的点C 的个数为( )A4 B3 C2 D1考点 抛物线的几何性质题点 抛物线性质的应用答案 A解析 由已知可得|AB|2 ，要使 SABC 2，则点 C 到直线 AB 的距离必须为 ，设2 2C(x，x 2)，而 lAB：xy20，所以有 ，所以 x2x22，|x x2 2|2 2当 x2x22 时，有两个不同的 C 点；当 x2x22 时，亦有两个不同的 C 点因此满足条件的 C 点有 4
7、 个，故选 A.10已知椭圆 1(a b0) 与双曲线 1( m0，n0) 有相同的焦点(c,0)和x2a2 y2b2 x2m2 y2n2(c,0)，若 c 是 a，m 的等比中项，n 2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率是( )A. B.33 22C. D.14 12考点 椭圆与双曲线的综合应用题点 椭圆与双曲线的综合应用答案 D解析 由题意可得Error!解得 ，e .ca 12 ca 1211已知点 P 是抛物线 y22x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 M，定点 A 的坐标为 ，(72，4)则|PA| |PM|的最小值是 ( )A. B4 C. D5112 92
8、考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求最值答案 C解析 如图|PM| PF| ，12|PM|PA|PF |PA| ，12当 P，A，F 三点共线时，|PM|PA|的值最小，|PM |PA|的最小值为|AF| .12 9212设 kk 0， 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆x23 k y2 ka 23k，b 2k ，a 2b 23c 2，与已知椭圆有相同焦点综上，二次曲线 1 与 1 有相同的焦点x23 k y2k x25 y22二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13椭圆 3x22y 21 的短轴长为_考点 椭圆的几何性质题点 由椭圆方程研究几何性质答案 23314已知
9、抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2y 24 相交的公共弦长等于2 ，则抛物线的标准方程为_3考点 圆锥曲线的综合应用题点 圆锥曲线的综合应用答案 y 23x 或 y23x解析 设所求抛物线的方程为 y22mx(m0)，设交点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)(y10，y 20，b0)的一条渐近线过点(2， )，且双曲线的一个焦点在抛x2a2 y2b2 3物线 y24 x 的准线上，则双曲线的方程为_ 7考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线的几何性质求方程答案 1x24 y23解析 由题意，得 ，ba 32抛物线 y24 x 的准线方程为 x ，双曲线的一个焦点在抛物
10、线 y24 x 的准线上，7 7 7c ，a 2b 2c 27，7a2，b ，3双曲线的方程为 1.x24 y2316已知抛物线 y24x ，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，则y y 的最小值是_21 2考点 直线与抛物线的位置关系题点 最值问题答案 32解析 若 k 不存在，则 y y 32.若 k 存在，设直线 AB 的斜率为 k，当 k0 时，直线 AB21 2的方程为 y0，不合题意，故 k0.消去 y，由题意，设直线 AB 的方程为 yk(x4)(k0) 由Error!得 ky24y16k 0，y 1y 2 ，y 1y216.4k
11、y y (y 1 y2)22y 1y2 23232.21 2 (4k)y y 的最小值为 32.21 2三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分) 已知一个椭圆中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为 2 .一双曲线和这个13椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小 4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为 73，求椭圆和双曲线的标准方程考点 椭圆与双曲线的综合应用题点 椭圆与双曲线的综合应用解 若焦点在 x 轴上，设椭圆方程为 1(ab0)，c .x2a2 y2b2 13设双曲线方程为 1， ma4.x2m2 y2n2 ，易得 a7，m 3.e双e椭 73b 236，
12、n 24.椭圆的标准方程为 1，x249 y236双曲线的标准方程为 1.x29 y24若焦点在 y 轴上，同理可得椭圆的标准方程为 1，双曲线的标准方程为 1.x236 y249 y29 x2418(12 分) 已知过抛物线 y2 2px(p0)的焦点，斜率为 2 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且|AB| 5.(1)求此抛物线方程；(2)若 M(1,2)是抛物线上一点，求 的值MA MB 考点 直线与抛物线的位置关系题点 知焦点弦长求方程解 (1)焦点 F ，(p2，0)直线 l 的方程为 y2 .(x p2)由Error!消去 y，得4x26pxp 20.设 A(x1，y 1)，B
13、(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，3p2|AB| x1x 2p 5，5p2p2，抛物线方程为 y24x.(2)方程化为 x23x10，x 1x 23，x 1x21，直线 l 的方程为 y2x2， ( x11，y 12)(x 21，y 22)MA MB (x 1 1)(x21)(y 12)(y 22)(x 1 1)(x21)(2x 14)(2x 24)5x 1x29(x 1 x2)17527175.19(12 分) 如图，F 1，F 2 分别是椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点，A 是椭圆 C 的上x2a2 y2b2顶点，B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点，F 1AF260.(
14、1)求椭圆 C 的离心率；(2)已知AF 1B 的面积为 40 ，求 a，b 的值3考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的位置关系的综合应用解 (1)F 1AF260等价于 a2c 等价于 e .ca 12(2)设|BF 2|m，则|BF 1|2am ，在BF 1F2 中， |BF1|2|BF 2|2|F 1F2|22|BF 2|F1F2|cos 120，即(2am) 2m 2a 2am，得m a.35AF 1B 的面积 S |F1A|BA|sin 60，12即 a 40 ，得 a10，12 (a 35a) 32 3所以 c5，b5 .3综上 a10，b5 .320(12 分) 已知双曲
15、线 C1：x 2 1.y24(1)求与双曲线 C1 有相同焦点，且过点 P(4， )的双曲线 C2 的标准方程；3(2)直线 l：yx m 分别与双曲线 C1 的两条渐近线相交于 A，B 两点当 3 时，求OA OB 实数 m 的值考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线位置关系的综合应用解 (1)双曲线 C1：x 2 1，y24焦点坐标为( ，0)，( ，0) 5 5设双曲线 C2 的标准方程为 1(a0，b0)，x2a2 y2b2双曲线 C2 与双曲线 C1 有相同焦点，且过点 P(4， )，3Error!解得Error!双曲线 C2 的标准方程为 y 21.x24(2)双曲线 C1
16、 的两条渐近线为 y2x ，y2x.由Error!可得 xm ，y2m，A( m,2m)由Error!可得 x m，y m，13 23B .( 13m，23m) m2 m2m 2.OA OB 13 43 3，m 23，m .OA OB 321(12 分) 如图，椭圆 E： 1(ab0)经过点 A(0，1)，且离心率为 .x2a2 y2b2 22(1)求椭圆 E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q( 均异于点 A)，证明：直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2.考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的位置关系的综合应用(1)解 由题设知， ，
17、b1，ca 22结合 a2b 2c 2，解得 a ，所以 y 21.2x22(2)证明 由题意，设直线 PQ 的方程为 yk( x1) 1(k0)，代入椭圆方程 y 21，x22可得(12k 2)x24k(k1)x 2k( k2) 0.由已知得(1,1)在椭圆外，设 P(x1，y 1)，Q (x2，y 2)，x 1x20，则 x1x 2 ，x 1x2 ，4kk 11 2k2 2kk 21 2k2且 16 k2(k 1)28k (k2)(12k 2)0，解得 k0 或 kb0)的一个焦点，y2a2 x2b2C1 与 C2 的公共弦的长为 2 ，过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A，B 两点
18、，与 C2 相交于 C，D6两点，且 与 同向AC BD (1)求 C2 的方程；(2)若|AC| |BD| ，求直线 l 的斜率考点 椭圆与抛物线的综合应用题点 椭圆与抛物线的综合应用解 (1)由 C1 方程可知 F(0,1)，F 也是椭圆 C2 的一个焦点， a 2b 21.又C 1 与 C2 的公共弦的长为 2 ，6C1 与 C2 的图象都关于 y 轴对称，易得 C1 与 C2 的公共点的坐标为 ，( 6，32) 1.又a 2b 21，94a2 6b2a 29，b 28，C 2 的方程为 1.y29 x28(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C( x3，y 3)，D(x
19、4，y 4) 与 同向，且|AC| |BD| ，AC BD ，x 1x 2x 3x 4，AC BD (x 1 x2)24x 1x2( x3x 4)24x 3x4.设直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 ykx1，由Error!消去 y，得 x24kx 40，由根与系数的关系，可得 x1x 24k ，x 1x24.由Error!消去 y，得(9 8k 2)x216kx640，由根与系数的关系，可得 x3x 4 ，16k9 8k2x3x4 ，649 8k2又(x 1x 2)2 4x1x2( x3x 4)24x 3x4，16(k 21) ，162k29 8k22 4649 8k2化简得 16(k21) ，1629k2 19 8k22(98k 2)2169，解得 k ，64即直线 l 的斜率为 .64
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