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    2019年人教B版数学选修1-1学案:1.3.1 推出与充分条件、必要条件

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    2019年人教B版数学选修1-1学案:1.3.1 推出与充分条件、必要条件

    1、1.3.1 推出与充分条件、必要条件学习目标 1.结合具体实例,理解充分条件、必要条件及充要条件的意义.2.能准确判断各类命题中的充分性、必要性、充要性知识点一 命题的结构思考 你能把“内错角相等”写成“若,则”的形式吗?答案 若两个角为内错角,则这两个角相等梳理 命题的形式:在数学中,经常遇到“如果 p,则(那么) q”的形式的命题,其中 p 称为命题的条件,q 称为命题的结论知识点二 充分条件与必要条件给出下列命题:(1)如果 xa2b 2,则 x2ab;(2)如果 ab0,则 a0.思考 1 你能判断这两个命题的真假吗?答案 (1)真命题;(2) 假命题思考 2 命题(1)中条件和结论有

    2、什么关系?命题(2)中呢?答案 命题(1)中只要满足条件 xa2b 2,必有结论 x2ab;命题(2) 中满足条件 ab0,不一定有结论 a0,还可能有结论 b0.梳理 一般地, “如果 p,则 q”为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q.这时,我们就说,由 p 可推出 q,记作 pq,并且说 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件知识点三 充要条件思考 1 命题“若整数 a 是 6 的倍数,则整数 a 是 2 和 3 的倍数”中条件和结论有什么关系?它的逆命题成立吗?答案 只要满足条件,必有结论成立,它的逆命题成立思考 2 若设 p:整数 a 是 6 的倍数,q:整数 a 是 2

    3、 和 3 的倍数,则 p 是 q 的什么条件?q是 p 的什么条件?答案 因为 pq 且 qp,所以 p 是 q 的充分条件也是必要条件;同理,q 是 p 的充分条件,也是必要条件梳理 一般地,如果既有 pq,又有 qp,就记作 pq.此时,我们说,p 是 q 的充分且必要条件,简称充要条件知识点四 充要条件的判断1命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类(1)充分且必要条件(充要条件 ),即 pq 且 qp;(2)充分不必要条件,即 pq 且 q p;(3)必要不充分条件,即 p q 且 qp;(4)既不充分也不必要条件,即 p q 且 qp.2从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

    4、若 AB,则 p 是 q 的充分条件,若 AB,则 p是 q 的充分不必要条件若 BA,则 p 是 q 的必要条件,若 BA,则 p是 q 的必要不充分条件若 AB,则 p,q 互为充要条件若 A B 且 B A,则 p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件其中 p:A x|p(x)成立,q:Bx|q(x)成立 (1)若 p 是 q 的充分条件,则要使 q 成立,有 p 就足够了,不需要再附加任何条件 ( )(2)q 是 p 的必要条件,就是说要使 p 成立,必须 q 先成立 ( )(3)q 的充分条件是唯一确定的( )类型一 判断充分条件与必要条件命题角度 1 定义法判断充分条件与

    5、必要条件例 1 指出下列各组命题中 p 是 q 的什么条件?(1)p:x20,q:(x2)( x3) 0;(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等;(3)在ABC 中, p:A B,q:BCAC ;(4)在ABC 中, p:sin Asin B,q:tan Atan B.考点 充要条件的判断题点 识别四种条件解 (1)因为 x20(x 2)(x 3) 0,而(x2)(x3)0x20,所以 p 是 q 的充分不必要条件(2)因为两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等两个三角形相似,所以 p 是 q 的必要不充分条件(3)在ABC 中,显然有 AB BCAC,所以 p 是 q 的充要条

    6、件(4)取A120,B 30 ,p q;又取A30 ,B120,q p,所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法:确定谁是条件,谁是结论;尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件;尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件(2)命题判断法:如果命题:“如果 p,则 q”为真命题,那么 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件;如果命题:“如果 p,则 q”为假命题,那么 p 不是 q 的充分条件,同时 q 也不是 p 的必要条件跟踪训练 1 下列各题中,p 是 q

    7、的什么条件?(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形;(2)p:x1 或 x2,q:x 1 ;x 1(3)p:m0,q:x 2x m0 有实根考点 充要条件的判断题点 识别四种条件解 (1)因为四边形的对角线互相平分 四边形是矩形,四边形是矩形四边形的对角线互相平分,所以 p 是 q 的必要不充分条件(2)因为 x1 或 x2x1 ,x 1x1 x1 或 x2,x 1所以 p 是 q 的充要条件(3)因为 m0方程 x2x m0 的判别式 14m0,即方程有实根;方程 x2xm0 有实根,即 1 4m0 m0.所以 p 是 q

    8、的充分不必要条件命题角度 2 用集合观点判断充分条件、必要条件例 2 (1)“|x| 的一个必要不充分条件是_;xy 0 的一个充分不必要条件是_2考点 充要条件的判定题点 识别四种条件答案 x0 x0 且 y0(答案不唯一)类型二 充分条件、必要条件的应用命题角度 1 由四种条件求参数的范围例 3 已知 p:2x 23x 20,q:x 22( a1)xa(a2)0,若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围考点 充分条件、必要条件的应用题点 由四种条件求参数的范围解 令 M x|2x23x20x|(2x1)(x2)0x|x 或 x2,12Nx| x22( a 1)xa( a2)

    9、 0x|(xa)x(a2) 0x|x a2 或 xa,由已知 pq,且 qp,得 MN.所以Error!或Error! a0,q:实数 x 满足Error!若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围为_考点 充分条件、必要条件的应用题点 由四种条件求参数的范围答案 (1,2解析 x 24ax3a 20),p:a0 对于一切实数 x 都成立的充要条件考点 充要条件的概念及判断题点 探求充要条件解 充分性:当 00 对一切实数 x 都成立而当 a0 时,不等式 ax2ax1a0 化为 10.显然当 a0 时,不等式 ax2ax1a0 对一切实数 x 都成立必要性:因为 ax2ax 1

    10、a0 对一切实数 x 都成立,所以 a0 或Error!解得 0a0 对一切实数 x 都成立的充要条件45反思与感悟 探求一个命题的充要条件,可以利用定义法进行探求,即分别证明“条件结论”和“结论条件” ,也可以寻求结论的等价命题,还可以先寻求结论成立的必要条件,再证明它也是其充分条件跟踪训练 4 求证:一元二次方程 ax2bxc 0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0,方程一定有两个不等实根,设两实根为 x1,x 2,则 x1x2 0,ca即 ac0C. 1 D. lg y 是 的充要条件x y考点 充要条件的概念及判断题点 充要条件的判断答案 D解析 选项 A 中,由 B60AC120

    11、AC 2B角 A,B,C 成等差数列;而角 A,B ,C 成等差数列AC 2B,又 ABC 180,所以 3B180,所以 B60 ,故命题为真选项 B 中,abab0,即 2x20,得 x1,故 B 正确选项 C 中,在ABC 中,ABsin Asin B,反之,若 sin Asin B,因为 A 与 B 不可能互补( 因为三角形的三个内角和为 180),所以只有 AB.故 AB 是 sin Asin B 的充要条件选项 D 中,取 x2,y0,有 ,但 lg y 却无意义,x y所以是假命题4若“x 2axb0”是“x 1”的充要条件,则 a_ ,b_.考点 充分条件、必要条件的应用题点

    12、由四种条件求参数答案 2 1解析 由题意得Error!解得Error!5已知 p:3xm 0,若 p 是 q 的一个充分不必要条件,求 m 的取值范围考点 充分条件、必要条件的应用题点 由四种条件求参数解 由 3xm0 ,得 x3,q:B x|x3pq 且 qp,A B, 1,m3m3,即 m 的取值范围是3,) 1充要条件的判断有三种方法:定义法、命题等价法、集合法2充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的,在证明时要注意两种叙述方式的区别:p 是 q 的充要条件,则由 pq 证的是充分性,由 qp 证的是必要性;p 的充要条件是 q,则由 pq 证的是必要性

    13、,由 qp 证的是充分性(2)探求充要条件,可先求出必要条件,再证充分性;如果能保证每一步的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条件一、选择题1设 a,bR,则“ab4”是“a2 且 b2”的( )A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件考点 充分条件、必要条件的判断题点 识别充分与必要条件答案 B解析 若 a2,b2 ,则 ab4 ,但当 a4,b1 时也有 ab4,故选 B.2设集合 M1,2,Na 2,则“a1”是“N M”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 充分不必要条件的判定答案 A解

    14、析 a1N M,NMa21 或 2,NM a1,故 a1 是 NM 的充分不必要条件3设 p:x2,q:x 2考点 充分条件、必要条件的判断题点 识别充分与必要条件答案 A解析 由 ABA 能得出 AB,其余选项都不符合要求5 “ab0”是“直线 axbyc 0 与两坐标轴都相交” 的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点 充分条件、必要条件的判断题点 充要条件的判断答案 C解析 ab0,即Error!此时直线 axbyc 0 与两坐标轴都相交;又当 axby c0 与两坐标轴都相交时,a0 且 b0.6设 x,y 是两个实数,命题:“x ,y 中至少有一个

    15、数大于 1”成立的充分不必要条件是( )Axy2 Bxy2Cx 2 y22 Dxy1考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 识别四种条件答案 B解析 对于选项 A,当 x1,y1 时,满足 xy2,但命题不成立;对于选项 C,D ,当x2,y3 时,满足 x2 y22,xy1,但命题不成立,也不符合题意7集合 AError!,B x|a0),命题 q:x 2x65,Px|(xa)(x 8)0(1)求实数 a 的取值范围,使它成为 MPx|50),若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围考点 充分条件、必要条件的应用题点 由四种条件求参数范围解 p:2x10.q:x 22x

    16、1m 20x (1m)x(1m)0(m0)1mx1m(m0) 因为綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,所以利 用集合知识,可得x|1m x1m,m0 x|2x 10 ,即x|1 mx1m x|2x10 ,故有Error!或Error!,解得 m 3.又 m0,所以实数 m 的取值范围为 m|0m3 四、探究与拓展14下列四个命题中为真命题的是_(填序号)“ab”是“2 a2 b”的充要条件;“ab”是“lg alg b”的充分不必要条件;“函数 f(x)ax 2bx (xR) 为奇函数”的充要条件是“a0” ;“定义在 R 上的函数 yf(x)是偶函数”的必要条件是“ 1” f xfx考点 充

    17、分条件、必要条件的概念及判断题点 识别四种条件答案 解析 真,y2 x在 R 上是增函数,ab 2a2 b”;假,当 ab0 时,lg a,lg b 无意义;真,f(x )是奇函数f (x)f (x)0ax 2bxax 2bx0ax 20 a0;假,如 f(x)x 21 是偶函数,但 f(1)0, 无意义f 1f115已知 p:函数 f(x)为(0,) 上的单调递减函数,实数 m 满足不等式 f(m1)f(32m) ;q:当 x 时,msin 2x2sin x1a.若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范0,2围考点 充分条件、必要条件的应用题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 设 p,q 所对应的 m 的取值集合分别为 A,B.对于 p,由函数 f(x)为(0,) 上的单调递减函数,可得Error!解得 m ,即 A .23 32 (23,32)对于 q,由 x ,得 sin x0,1 ,0,2msin 2x2sin xa1(sin x1) 2a,则当 sin x1 时, mmina;当 sin x0 时, mmaxa1,即 Ba,a1由 p 是 q 的充分不必要条件,可得 AB,则有Error!(等号不能同时取得 ),解得 a ,12 23即实数 a 的取值范围为 .12,23


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