1、33.3 导数的实际应用学习目标 1.能利用导数解决实际问题.2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识知识点 生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.类型一 几何中的最值问题命题角度 1 平面几何中的最值问题例 1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场如图，圆形广场的圆心为 O，半径为 100 m，并与北京路一边所在直线 l 相切于点 M.点 A 为上半圆弧上一点，过点 A 作 l 的垂线，垂足为点 B.市园林
2、局计划在ABM 内进行绿化设ABM 的面积为 S(单位：m 2)，AON( 单位：弧度)(1)将 S 表示为 的函数；(2)当绿化面积 S 最大时，试确定点 A 的位置，并求最大面积考点 几何类型的优化问题题点 面积的最值问题解 (1)BMAOsin 100sin ，ABMO AOcos 100100cos ， (0 ，)，则 S MBAB 100sin (100100cos )12 125 000(sin sin cos )，(0 ，) (2)S5 000(2cos 2cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1)，令 S0，得 cos 或 cos 1( 舍去)，此时 ，12 3当 变
3、化时，S ，S 的变化情况如下表： (0，3) 3 (3，)S 0 S 极大值 所以当 时，S max3 750 m2，3 3此时 AB150 m，即点 A 到北京路一边 l 的距离为 150 m.反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值跟踪训练 1 如图所示，在二次函数 f(x)4xx 2 的图象与 x 轴所围成图形中有一个内接矩形 ABCD，求这个矩形面积的最大值考点 几何类型的优化问题题点 面积的最值问题解 设点 B 的坐标为(x,0)，且 00，函数单调递增；233当 2 0，
4、得 00，(0，203)当 x 时，V(x)0，故 x5 为 f(x)的极小值点也为最小值点，对应的最小值为 f(5)65 70.80015 5答 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值为 70 万元反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使 f(x )0 时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大 (小)值跟踪训练 4 现有一批货物由海上从 A 地运往 B 地，已知轮
5、船的最大航行速度为 35 海里/时，A 地至 B 地之间的航行距离约为 500 海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为 0.6)，其余费用为每小时 960 元(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(海里/ 时) 的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？考点 函数类型的优化问题题点 利用导数解决费用最省问题解 (1)依题意得 y (9600.6x 2) 300x ，且由题意知，函数的定义域为 (0,35，500x 480 000x即 y 300x (00，y x 281 (9 x)(9x)，令 y0，解得 x9
6、，又当 x(0,9) 时，y 0，x(9， ) 时，y 0，当 t(8,9)时，y0；当 10，当 300 P(390)31 090.当 x390，P (x)单调递减，此时 P(x)0 ，所以当 x4 时，y 取得极小值，也是最小值所以这两个数为 4,4.5若底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V，则当其表面积最小时底面边长为( )A. B.3V 32VC. D234V 3V考点 几何类型的优化问题题点 面积的最值问题答案 C解析 设底面边长为 x，则表面积为 S x2 V(x0)32 43xS (x3 4V)令 S0，得 x .3x2 34V可判断当 x 时，直棱柱的表面积最小34V6某工厂要
7、建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为 48 m3，高为 3 m，如果箱底每 1 m2的造价为 15 元，箱壁每 1 m2 的造价为 12 元，则箱子的最低总造价为( )A900 元 B840 元C818 元 D816 元考点 函数类型的优化问题题点 利用导数解决费用最省问题答案 D解析 设箱底一边的长度为 x m，箱子的总造价为 l 元，根据题意得箱底面积为 16(m 2)，483则箱底另一边的长度为 m，16x所以 l1615 12(23x 2316x)24072 ，(x 16x)l72 .(1 16x2)令 l0，解得 x4 或 x4(舍去) 当 04 时，l 0.故当 x4 时，l 取得
8、极小值，也就是最小值为 816.因此，当箱底是边长为 4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为 816 元7如果圆柱轴截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( )A. 3 B. 3(l6) (l3)C. 3 D. 3(14) 14(l4)考点 题点 答案 A解析 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，体积为 V，则 4r2hl，h ，l 4r2Vr 2h r22 r3 .l2 (0 r l4)则 Vlr6r 2，令 V0，得 r0 或 r ，而 r0，l6r 是其唯一的极值点，l6且当 0r ，V0，l6当 r 时，V0，l6当 r 时，V 取得极大值且为最大值，最大值为 3.l6 (
9、l6)二、填空题8汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能与下列 _相对应考点 函数类型的优化问题题点 与函数类型有关的其他问题答案 解析 加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，应与相吻合9某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2 与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 km 处建仓库，这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_km 处答案 5解析
10、 依题意可设每月土地占用费 y1 ，每月库存货物的运费 y2k 2x，其中 x 是仓库到k1x车站的距离，于是由 2 ，得 k120；由 810k 2，得 k2 .因此两项费用之和为 y k110 45 20x，y ，令 y 0，4x5 20x2 45得 x5( x5 舍去)，此时 y 取得最小值故当仓库建在离车站 5 km 处时，两项费用之和最小10某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，则销售量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系：Q 8 300170pp 2.问该商品零售价定为_元时毛利润最大(毛利润销售收入进货支出)考点 函数类型的
11、优化问题题点 利用导数求解最大利润问题答案 30解析 由题意知，毛利润等于销售额减去成本，即 L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp 2)(p20)p 3150p 211 700p166 000，所以 L(p) 3p 2300p11 700.令 L(p) 0，解得 p30 或 p130(舍去) 此时，L(30)23 000.因为在 p30 附近的左侧 L( p)0，右侧 L(p)0，该函数单调递增，故当 x80 时，w 取得最小值三、解答题12某商场预计 2018 年从 1 月份起前 x 个月，顾客对某种商品的需求总量 p(x)件与月份 x的近似关系是 p(x) x(x1)(39
12、2x )(xN ，且 x12)12该商品的进价 q(x)元与月份 x 的近似关系是 q(x)1502 x(xN ，且 x12) (1)写出今年第 x 月的需求量 f(x)件与月份 x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为 185 元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？考点 函数类型的优化问题题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)当 x1 时，f(1)p(1)37；当 2x12 时，f( x)p( x) p(x1) x(x1)(392x) (x1)x(412x)12 123x 240x(x N ，且 2x12)验证当 x1 时符合 f(x)
13、3x 240x ，f(x)3x 240x (xN ，且 1x12)(2)该商场预计销售该商品的月利润为g(x)(3x 2 40x)(185150 2x )6x 3185x 21 400x (xN ，且 1x12)，则 g(x) 18x 2370x1 400，令 g(x) 0，解得 x5 .(x 1409舍 去 )当 1x0；当 520 时，q0，所以当 v20 时，q 取得最小值即当速度为 20 千米/小时时，航行 1 千米所需的费用总和最少四、探究与拓展14将边长为 1 m 的正三角形薄片沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S ，则 S 的最小值是_梯 形 的 周 长 2梯
14、形 的 面 积考点 题点 答案 3233解析 设剪成的小正三角形的边长为 x，则 S(x) (0x 1) ，3 x23412 x2 433 x21 x2S(x) 432x 61 x2 3 x2 2x1 x22 ，令 S(x)0(0x1) ，得 x .当 x 时，S( x)0，S(x) 单43 23x 1x 31 x22 13 (0，13)调递减；当 x 时，S(x) 0，S(x)单调递增，故当 x 时，S 取得最小值 .(13，1) 13 323315某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该块空地上建造一栋至少 10 层、每层 2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建 x(x10)层
15、，则每平方米的平均建筑费用为(56048x) 元为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用 )购 地 总 费 用建 筑 总 面 积考点 题点 解 设该楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，则 f(x)56048x2 16010 0002 000x56048x ，x 10，10 800xf(x)48 ，令 f(x)0，得 x15.10 800x2当 x15 时，f( x)0；当 10x15 时，f (x) 0.所以当 x15 时，f( x)取得极小值也为最小值，即 f(15)2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建 15 层
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