1、第1课时 抛物线的简单性质,第二章 2.2 抛物线的简单性质,学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 抛物线的简单性质,思考 类比椭圆的简单性质，结合图像，你能说出抛物线y22px(p0)中x的范围、对称性、顶点坐标吗？,答案 范围x0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0).,梳理,(0,0),1,2p,知识点二 焦点弦,设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则,思考辨析 判断正误 1.抛物线有一个顶点，一个焦点，一条对称轴，一条准线，
2、一条通径. ( ) 2.当抛物线的顶点在坐标原点时，其方程是标准方程.( ) 3.抛物线的离心率均为1，所以抛物线形状都相同.( ) 4.焦准距p决定抛物线的张口大小，即决定抛物线的形状.( ),题型探究,类型一 抛物线简单性质的应用,解答,例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.,解 由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，,所以|AB|2|m|. 因为OAB的面积为4，,引申探究 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是_.,4p2
3、,解析,答案,解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形， 所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直， 从而直线OA与x轴的夹角为45.,所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，2p).,反思与感悟 把握三个要点确定抛物线简单性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是明确二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.,跟踪训练1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对
4、称轴的距离分别为10和6，求抛物线的方程.,解答,解 设抛物线的方程为y22ax(a0)，点P(x0，y0). 因为点P到对称轴的距离为6，所以y06. 因为点P到准线的距离为10，,因为点P在抛物线上，所以362ax0， ,所以所求抛物线的方程为y24x或y236x.,类型二 抛物线的焦点弦问题,例2 已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值.,解答,解 因为直线l的倾斜角为60，,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，,引申探究 1.若本例中“直线l的倾斜角为60”改为“直线l垂直于x轴”，求|AB|的值.,解答
5、,所以|AB|3(3)6.,解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1x2px1x23， 所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3.,2.若本例中“直线l的倾斜角为60”改为“|AB|9”，求线段AB的中点M到准线的距离.,解答,反思与感悟 1.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解. 2.设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.,跟踪训练2 已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB| p，求A
6、B所在直线的方程.,解答,设A(x1，y1)，B(x2，y2).,故直线AB的斜率存在，设为k，,解得k2，,类型三 与抛物线有关的最值问题,例3 设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点. (1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；,解答,解 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)， 准线方程是x1. 由抛物线的定义知， 点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离. 于是问题转化为在曲线上求一点P， 使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小. 显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，,(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|PF
7、|的最小值.,解答,解 如图，,过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1， 连接P1F. 此时，由抛物线的定义知，|P1Q|P1F|. 所以|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314， 即|PB|PF|的最小值为4.,反思与感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.,跟踪训练3 已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为,答案,解析,解析 如图，由抛物线的定义知
8、 |PA|PQ|PA|PF|， 则所求距离之和的最小值转化为求|PA|PF|的最小值， 则当A，P，F三点共线时，|PA|PF|取得最小值.,达标检测,1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 A.y28x B.y28x C.y28x或y28x D.x28y或x28y,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)，,2|y|2p8，p4. 即抛物线方程为y28x.,2.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 A.4 B.6 C.8 D.12,1,2,3,4,5
9、,答案,解析,解析 由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是426.,3.已知抛物线yax2的准线方程是y2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 由题意知抛物线顶点到准线的距离最短，故最小值为2.,4.过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,16,解析 由y28x得焦点坐标为(2,0)， 由此直线方程为yx2，,设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程知x1x212， 弦长|AB|x1x2p12416.,5.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长.,1,2,3,4,5,解答,解 如图OAB为正三角形，,1.讨论抛物线的简单性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程. 2.抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用.,规律与方法,
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