1、2 导数的概念及其几何意义,第三章 变化率与导数,学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系. 2.会计算函数在某点处的导数. 3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 导数的概念,思考 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？,梳理 导数的定义 函数yf(x)在x0点的 是函数yf(x)在x0点的导数用符号表示，记作：,瞬时变化率,f(x0),知识点二 导数的几何意义,如图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4，)，P的坐标为(x0，f(x0)，直线PT为过点P的切线,思考1 割线PPn的斜率kn是多少？
2、,思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？,答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.,梳理 (1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为 的切线 (2)导数f(x0)的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数，是曲线yf(x)在 (x0，f(x0)处的切线的斜率k，即k (3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为_,点P处,yf(x0),f(x0)(xx0),思考辨析 判断正误 1.函数在某一点的导数与x值的正、负无关.( ) 2.函数f(x)在xx0处的导数值是x0时的平均变化率.
3、( ) 3.若函数yf(x)在xx0处有导数，则函数yf(x)在xx0处有唯一的一条切线.( ) 4.函数yf(x)在xx0处的切线与函数yf(x)的公共点不一定是一个.( ),题型探究,类型一 利用定义求导数,解答,解 当x从100变为100x时，函数值y关于x的平均变化率为,f(100)0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元.,反思与感悟 求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤 (1)求函数值的变化量yf(x0x)f(x0).,跟踪训练1 利用导数的定义求函数
4、f(x)x23x在x2处的导数.,解答,解 由导数的定义知，函数在x2处的导数,而f(2x)f(2)(2x)23(2x)(2232)(x)2x，,类型二 求切线方程,例2 已知曲线y2x2上一点A(1,2)，求： (1)点A处的切线的斜率；,解答,点A处的切线的斜率为4.,(2)点A处的切线方程.,解答,解 点A处的切线方程是y24(x1)， 即4xy20.,反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤,跟踪训练2 曲线yx21在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_.,解析,答案,3,曲线yx21在点(2,5)处的切线方程为y54(x2)， 即y4x3. 切线与y轴交点的纵坐标是3.,类
5、型三 求切点坐标,例3 已知抛物线y2x21分别满足下列条件，请求出切点的坐标. (1)切线的倾斜角为45；,解答,解 设切点坐标为(x0，y0)，,抛物线的切线的倾斜角为45， 斜率为tan 451.,(2)切线平行于直线4xy20；,解答,解 抛物线的切线平行于直线4xy20， k4，即f(x0)4x04，得x01， 切点坐标为(1,3).,(3)切线垂直于直线x8y30.,解答,解 抛物线的切线与直线x8y30垂直，,故f(x0)4x08，得x02， 切点坐标为(2,9).,反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求导函数f(x). (3)求切线
6、的斜率f(x0). (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.,跟踪训练3 已知直线l：y4xa与曲线C：yf(x)x32x23相切，求a的值及切点坐标.,解答,解 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0).,当切点为(2,3)时，有342a，a5.,当a5时，切点为(2,3).,达标检测,1.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则 A.f(x)a B.f(x)b C.f(x0)a D.f(x0)b,答案,解析,1,2,3,4,5,又直线的倾斜角范围为0，
7、180)， 倾斜角为135.,2.曲线f(x) 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于 A.45 B.60 C.135 D.120,1,2,3,4,5,答案,解析,3.如图，函数yf(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)f(2)等于 A.4 B.3 C.2 D.1,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 由题干中的图像可得函数yf(x)的图像在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)， 则可知l：xy4，f(2)2，f(2)1， 代入可得f(2)f(2)1，故选D.,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,解答,即x4y40.,1.导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，,规律与方法,2.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.,
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