1、第 2 课时 抛物线简单性质的应用学习目标 1.进一步认识抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题知识点 直线与抛物线的位置关系思考 若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？答案 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点梳理 (1)直线与抛物线的位置关系与公共点个数.位置关系 公共点个数相交 有两个或一个公共点相切 有且只有一个公共点相离 无公共点(2)直线 ykxb 与抛物线 y22px(p0)的交点个数决定于关于 x 的方程 k2x22(kbp)xb 20 的解的个数当 k0 时，若 0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当 0时
2、，直线与抛物线有一个公共点；当 0)的通径长为 2a.( )类型一 直线与抛物线的位置关系例 1 已知直线 l：y k(x1) 与抛物线 C：y 24x，问：k 为何值时，直线 l 与抛物线 C 有两个交点，一个交点，无交点？考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点的个数解 由方程组Error!消去 y 得 k2x2 (2k24)x k 20，(2k 24) 24k 416(1k 2)(1)若直线与抛物线有两个交点，则 k20 且 0，即 k20 且 16(1k 2)0，解得 k(1,0)(0,1)所以当 k(1,0)(0,1)时，直线 l 和抛物线 C 有两个交点(2)若直线与抛
3、物线有一个交点，则 k20 或当 k20 时，0，解得 k0 或 k1.所以当 k0 或 k1 时，直线 l 和抛物线 C 有一个交点(3)若直线与抛物线无交点，则 k20 且 1 或 k1 或 k0.设弦的两端点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，y 1y 2 ，y 1y2 .6k 6 24kkP 1P2 的中点为(4,1)， 2，k3，适合式6k所求直线方程为 y13( x4)，即 3xy110，y 1y 22，y 1y222，|P 1P2| 1 1k2y1 y22 4y1y2 .1 1922 4 22 22303方法二 设 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)则 y
4、6x 1，y 6x 2，21 2y y 6(x 1x 2)，又 y1y 22，21 2 3，y1 y2x1 x2 6y1 y2所求直线的斜率 k3，故所求直线方程为 y13( x4)，即 3xy110.由Error!得 y22y 220，y 1y 22，y 1y222，|P 1P2| 1 1k2y1 y22 4y1y2 .1 19 22 4 22 22303反思与感悟 中点弦问题解题策略两方法跟踪训练 2 已知顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y2x4 所得的弦长|AB|3，求此抛物线的方程5考点 直线与抛物线的位置关系题点 由抛物线弦长求解相关问题解 设所求抛物线方程为 y2ax(
5、a0)，A( x1，y 1)，B (x2，y 2)，由Error!消去 y，得 4x2(a16)x160，由 (a16) 22560 ，得 a0 或 a0.所求抛物线方程为 y24x 或 y236x.类型三 抛物线中的定点(定值 )问题例 3 已知点 A，B 是抛物线 y22px (p0)上的两点，且 OAOB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线 AB 过定点考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题(1)解 设点 A，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，( x2，y 2)，则 kOA ，k OB .y1x1 y2x2因为 OAOB ，所以 kOAkOB
6、 1，所以 x1x2y 1y20.因为 y 2px 1，y 2px 2，21 2所以 y 1y20.y212py22p因为 y10，y 20，所以 y1y24p 2，所以 x1x24p 2.(2)证明 因为 y 2px 1，y 2px2，21 2所以(y 1y 2)(y1y 2)2p(x 1x 2)，所以 ，y1 y2x1 x2 2py1 y2所以 kAB ，2py1 y2故直线 AB 的方程为 yy 1 (xx 1)，2py1 y2所以 y y 1 ，2pxy1 y2 2px1y1 y2即 y .2pxy1 y2 y21 2px1 y1y2y1 y2因为 y 2px 1，y 1y24p 2，
7、21所以 y ，2pxy1 y2 4p2y1 y2所以 y (x2p)，2py1 y2即直线 AB 过定点(2 p,0)反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化跟踪训练 3 如图，过抛物线 y2x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB，AC 交抛物线于 B，C 两点，求证：直线 BC 的斜率是定值考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题证明 设 kAB k(k0)直线 AB，AC 的倾斜角互补，k ACk(k0)，即直线 AB 的方程是 yk (
8、x4) 2.由方程组Error!消去 y 后，整理得 k2x2( 8 k24k) x16k 216k40.A(4,2) ，B (xB，y B)是上述方程组的解，4x B ，16k2 16k 4k2即 xB .4k2 4k 1k2以k 代换 xB中的 k，得 xC .4k2 4k 1k2k BC yB yCxB xC kxB 4 2 kxC 4 2xB xC .kxB xC 8xB xCk(8k2 2k2 8) 8kk2 14直线 BC 的斜率为定值1过点 P(0,1)与抛物线 y2x 有且只有一个交点的直线有( )A4 条 B3 条C2 条 D1 条考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物
9、线公共点的个数问题答案 B解析 当斜率不存在时，过 P(0,1)的直线是 y 轴，与抛物线 y2x 只有一个公共点当斜率存在时，设直线为 ykx1.由Error!得 k2x2(2k1)x10，当 k0 时，符合题意；当 k0 时，令 (2k 1) 2 4k20，得 k .14与抛物线只有一个交点的直线共有 3 条2若抛物线 y22x 上有两点 A，B，且 AB 垂直于 x 轴，若| AB|2 ，则抛物线的焦点到2直线 AB 的距离为( )A. B. C. D.12 14 16 18考点 直线与抛物线的位置关系题点 由抛物线的弦长求解相关问题答案 A解析 线段 AB 所在的直线的方程为 x1，抛
10、物线的焦点坐标为 ，则焦点到直线 AB 的(12，0)距离为 1 .12 123已知抛物线 C：y 28x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在 C 上且|AK| |AF|，则AFK 的面积为( )2A4 B8 C16 D32考点 抛物线的简单性质题点 抛物线性质的综合问题答案 B解析 抛物线 C：y 28x 的焦点为 F(2,0)，准线为 x2，K(2,0)设 A(x0，y 0)，过 A 点向准线作垂线 AB，垂足为 B，则 B(2，y 0)，|AK | |AF|，2又|AF| |AB| x02，由|BK |2|AK| 2| AB|2，得 y (x 02) 2，20即 8x0
11、(x 02) 2，解得 A(2，4) AFK 的面积为 |KF|y0| 448.12 124设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y24x 的焦点，A 为抛物线上任意一点，若 4，则点 A 的坐标为_OA AF 考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 (1，2)解析 由题意知 F(1,0)，设 A ，则 ，(y204，y0) OA (y204，y0) ，由 4，可得 y02 ，AF (1 y204， y0) OA AF 所以 A(1，2)5已知直线 xy 10 与抛物线 yax 2 相切，则 a_.答案 14解析 由Error!消去 y 得 ax2x 10，直线与抛物线相切，a0 且 1
12、4a0.a .14求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化一、选择题1过抛物线 y2x 2 的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为( )A2 B.12C. D114考点 抛物线的焦点弦问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 B解析 抛物线 y2x 2 的标准方程为 x2 y，焦点坐标为 ，当 y 时，x ，12 (0，18) 18 14过抛物线 y2x 2 的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为 .122与直线 2xy 40 平
13、行的抛物线 yx 2 的切线方程为( )A2xy30 B2xy30C2x y10 D2xy10考点 直线与抛物线位置关系题点 求抛物线中的直线方程答案 D解析 设直线方程为 2xy m 0，由Error!得 x22xm0，4 4m0，m1，直线方程为 2xy 10.3直线 ykx2 交抛物线 y28x 于 A，B 两点，若 AB 中点的横坐标为 2，则 k 等于( )A2 或1 B1C2 D3考点 直线与抛物线的位置关系题点 弦中点问题答案 C解析 联立Error!消去 y得 k2x2(4k8)x40， (4 k8) 216k 20.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 2，x1
14、x22即 x1x 24，x 1x 2 4，4k 8k2k2 或1，经判别式检验知 k2 符合题意4已知圆 C：(x2) 2y 2r 2 与抛物线 D：y 220x 的准线交于 A，B 两点，且|AB|8，则圆 C 的面积是( )A5 B9 C16 D25考点 直线与抛物线的位置关系题点 综合应用答案 D解析 抛物线 D：y 220x 的准线方程为 x5.圆 C 的圆心(2,0)到准线的距离 d3.又由|AB|8，r 2d 2 225，(AB2)故圆 C 的面积 S25，故选 D.5已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2，y 0)若点 M 到该抛物线焦点的距离为
15、3，则|OM|等于( )A2 B22 3C4 D2 5考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案 B解析 由题意设抛物线方程为 y22px(p0)，则 M 到焦点的距离为 2 3，p2p2，抛物线的方程为 y24x.y 428，20|OM| 2 .22 y20 4 8 36过点(1,0)作斜率为2 的直线，与抛物线 y28x 交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为( )A2 B213 15C2 D217 19考点 直线与抛物线的位置关系题点 弦长问题答案 B解析 由直线方程为 y2(x1)，联立方程Error!得 y24y80.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，y1y 24，y
16、 1y28，|AB| 2 .1 14 42 48 157已知抛物线 y22px (p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )Ax1 Bx1Cx 2 Dx2答案 B解析 抛物线的焦点为 F ，所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 yx ，即(p2，0) p2xy ，代入 y22px 得 y22pyp 2，即 y22pyp 20，由根与系数的关系得p2p2(y 1，y 2 分别为点 A，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为 y24x，准线方程为y1 y22x1.8已知直线 l：y k(x2)( k0)与抛物线 C：y 2
17、8x 相交于 A，B 两点，且 A，B 两点在抛物线 C 准线上的射影分别是 M，N，若| AM|2| BN|，则 k 的值是( )A. B. C 2 D.13 23 2 223考点 直线与抛物线的位置关系题点 综合应用答案 D解析 设抛物线 C：y 28x 的准线为 m：x 2.直线 yk(x2)(k 0)恒过定点 P(2,0)，如图，过 A，B 分别作 AMm 于 M，BN m 于 N.由|AM |2|BN|，得点 B 为 AP 的中点，连接 OB，则|OB | |AF|，12|OB |BF|，点 B 的横坐标为 1，点 B 的坐标为(1,2 )2把 B(1,2 )代入直线 l：y k(
18、x2)( k0)，2解得 k ，故选 D.223二、填空题9直线 ykx2 与抛物线 y28x 有且只有一个公共点，则 k_.考点 直线与抛物线的位置关系题点 综合应用答案 0 或 1解析 由Error!得 k2x2(4k 8)x40，当 k0 时，直线与抛物线只有一个公共点；当 k0 时，由 (4k 8) 2 16k20，得 k1，k0 或 1.10抛物线焦点在 y 轴上，截得直线 y x1 的弦长为 5，则抛物线的标准方程为12_考点 直线与抛物线的位置关系题点 弦长问题答案 x 220y 或 x24y解析 设抛物线方程为 x2ay(a0)，由Error!得 x2 xa0.a2设直线与抛物
19、线的交点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2a，a2|AB| 1 14 x1 x22 4x1x2 5，1 14 a24 4a得 a20 或 4，经检验，a20 或 4 都符合题意抛物线方程为 x220y 或 x24y.11.如图，直线 yx 3 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，过 A，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P，Q，则梯形 APQB 的面积为_ 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 48解析 由Error!消去 y，得 x210x 90，设 B，A 两点的坐标分别为( x1，y 1)，( x2，y 2
20、)，解得Error!或Error!|AP| 10，| BQ|2，|PQ| 8，梯形 APQB 的面积为 48.三、解答题12已知抛物线 y2x 与直线 yk(x1) 相交于 A，B 两点(1)求证：OA OB；(2)当OAB 的面积等于 时，求 k 的值10考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合应用(1)证明 如图所示，由Error!消去 x 得，ky 2y k 0.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由根与系数的关系，得y1y21，y 1 y2 .1k因为 A，B 在抛物线 y2x 上，所以 y x 1，y x 2，21 2所以 y y x 1x2.21 2因为 kO
21、AkOB 1，y1x1y2x2 y1y2x1x2 1y1y2所以 OAOB .(2)解 设直线与 x 轴交于点 N，显然 k0，令 y0，得 x1，即 N(1,0)因为 SOAB S OAN S OBN |ON|y1| |ON|y2|12 12 |ON|y1y 2|，12所以 SOAB 112 y1 y22 4y1y2 .12 ( 1k)2 4因为 SOAB ，10所以 ，1012 1k2 4解得 k .1613已知抛物线 C：y 22px( p0)上的一点 M(2，y 0)到焦点 F 的距离等于 3.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若过点 D(3,0)的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，
22、B 两点，求 ABF 面积的最小值考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题解 (1)抛物线的准线方程为 x ，p2M(2，y 0)到焦点的距离为 2 3，p2p2，抛物线的方程为 y24x.(2)设 AB 的方程为 xmy3，由Error!得 y24my120，设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 y1y 24m，y 1y212，|y 1y 2| ，y1 y22 4y1y2 16m2 48S ABF |FD|y1| |FD|y2|y 1| y2|12 12|y 1y 2| 4 ，16m2 48 3当 m0 时，S ABF 取得最小值 4 .3四、探究与拓展14
23、.如图，过抛物线 x24y 焦点的直线依次交抛物线和圆 x2( y1) 21 于点A，B，C ，D，则|AB|CD| 的值是( )A8 B4C2 D1考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案 D解析 方法一 特殊化(只要考查直线 y1 时的情形) 方法二 抛物线焦点为 F(0,1)，由题意知，直线的斜率存在，设直线为 ykx1，与 x24y 联立得 y2(4 k22)y10，由于|AB| AF|1y A，|CD |DF |1y D，所以|AB|CD |y AyD1.15在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y24x 相交于不同的 A，B 两点(1)如果直线 l 过抛物线的焦点
24、，求 的值；OA OB (2)如果 4，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点OA OB 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题解 (1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，设 l：xty1，代入抛物线方程 y24x，消去 x，得 y24ty40.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y 24t，y 1y24.所以 x 1x2y 1y2OA OB (ty 11)(ty 2 1)y 1y2t 2y1y2t(y 1 y2)1y 1y24t 24t 2143.(2)设 l：xty b，代入抛物线 y24x，消去 x，得 y24ty4b0.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y 24t ，y 1y24b.因为 x 1x2y 1y2(ty 1b)( ty2b) y 1y2OA OB t 2y1y2bt(y 1 y2)b 2y 1y24bt 24bt 2b 24bb 24b，又 4，b 24b4，OA OB 解得 b2，故直线 l 过定点(2,0)
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