1、3 双曲线31 双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题知识点一 双曲线的定义思考 若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F 2 上，把笔尖放在点 M 处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF 1|MF 2|常数(小于|F 1F2|)；如果改变一下笔尖位置，使|MF 2| MF1|常数(小于| F1F2|)，可得到另一条曲线梳理 (1)平面内到两个定点 F1，
2、F 2 的距离之差的绝对值 等于非零常数( 小于| F1F2|)的点的集合叫作双曲线这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距(2)关于“小于| F1F2|”：若将“小于|F 1F2|”改为“等于|F 1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以 F1，F 2 为端点的两条射线(包括端点) ；若将“小于 |F1F2|”改为“大于|F 1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的 一支(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段 F1F2 的中垂线知识点二 双曲线的标准方程思考 双曲线中 a，b，c 的关系如何？与椭圆
3、中 a，b，c 的关系有何不同？答案 双曲线标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里 b2c 2a 2，即 c2a 2b 2，其中 ca，cb，a 与 b 的大小关系不确定；而在椭圆中 b2a 2c 2，即 a2b 2c 2，其中 ab0，ac，c 与 b 大小不确定梳理 (1)双曲线两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴 x 轴 y 轴标准方程 1(a0 ，b0)x2a2 y2b2 1( a0，b0)y2a2 x2b2图形焦点坐标 F1(c,0)，F 2(c,0) F1(0， c)，F 2(0，c)a，b， c 的关系式 a2b 2c 2(2)焦点 F
4、1，F 2 的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型 “焦点跟着正项走” ，若 x2 项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若 y2 项的系数为正，则焦点在 y 轴上(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为 Ax2By 21(AB0， b0)( )y2b2 x2a24在双曲线方程 1(a0 ，b0)中，a 2b 2c 2.( )x2a2 y2b2类型一 求双曲线的标准方程例 1 求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4，经过点 A ；(1， 4103 )(2)经过点(3,0)，(6，3)考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)当焦点在 x 轴上
5、时，设所求标准方程为 1(b0)，x216 y2b2把 A 点的坐标代入，得 b2 0)，y216 x2b2把 A 点的坐标代入，得 b29，所求双曲线的标准方程为 1.y216 x29(2)设双曲线的方程为 mx2ny 21( mn0 ，b0)，y2a2 x2b2则Error!解得Error!故所求双曲线的标准方程为 1.y24 x25类型二 由双曲线的标准方程求参数例 2 方程 1 表示双曲线，则 m 的取值范围是( )x22 m y2m 1A(2，1) B( 2，)C(，1) D(，2) (1，)考点 双曲线的标准方程题点 已知方程判断曲线的类型答案 A解析 由题意可知，(2m)(m1)
6、1，则关于 x，y 的方程(1 k)x 2y 2k 21 所表示的曲线是( )A焦点在 x 轴上的椭圆B焦点在 y 轴上的椭圆C焦点在 y 轴上的双曲线D焦点在 x 轴上的双曲线考点 双曲线的标准方程题点 已知方程判断曲线的类型答案 C解析 原方程化为 1，y2k2 1 x2k 1k1，k 2 10，k 10.方程所表示的曲线为焦点在 y 轴上的双曲线类型三 双曲线的定义及应用命题角度 1 双曲线中的焦点三角形例 3 (1)如图，已知双曲线的方程为 1( a0，b0) ，点 A，B 均在双曲线的右支上，x2a2 y2b2线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2，| AB|m，F 1 为双曲线的左焦
7、点，则ABF 1 的周长为_考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 4a2m解析 由双曲线的定义，知|AF 1|AF 2|2a，|BF1|BF 2|2 a.又|AF 2| |BF2| |AB|，所以ABF 1 的周长为| AF1| |BF1|AB|4a2|AB|4a2m.(2)设 P 为双曲线 x2 1 上的一点，F 1，F 2 是该双曲线的两个焦点，若y212|PF1|PF 2|3 2，则PF 1F2 的面积为_考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 12解析 由已知得 2a2，又由双曲线的定义，得|PF 1|PF 2|2，因为|PF 1| PF2|32，所以|PF 1|6，
8、| PF2|4.又|F 1F2|2c2 ，13由余弦定理，得 cosF 1PF2 0，62 42 52264所以F 1PF2 为直角三角形 |PF1|PF2| 6412.12PFSA12 12引申探究 本例(2)中，若将“| PF1|PF 2|32”改为“| PF1|PF2| 24”，求PF 1F2 的面积解 由双曲线方程为 x2 1，y212可知 a1，b2 ，c .3 1 12 13因为|PF 1|PF2|24，所以 cosF 1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2|PF1| |PF2|2 2|PF1|PF2| 4c2224 0，4 224 41348所以PF
9、 1F2 为直角三角形所以 |PF1|PF2|12.12PFSA12反思与感悟 求双曲线 1 中焦点三角形面积的方法x2a2 y2b2(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF 1| PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|PF2|的值；利用公式 |PF1|PF2|sinF 1PF2 求得面积12PFSA12(2)方法二：利用公式 |F1F2|yP|(yP为 P 点的纵坐标)求得面积12A12同理可求得双曲线 1 中焦点三角形的面积y2a2 x2b2特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注
10、意定义条件|PF1| |PF2| 2a 的变形使用，特别是与| PF1|2| PF2|2，|PF 1|PF2|之间的关系跟踪训练 3 已知 F1，F 2 分别为双曲线 C：x 2y 21 的左、右焦点，点 P 在 C 上，F 1PF260，则|PF 1|PF2|等于( )A1 B4 C6 D8考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 B解析 设|PF 1|m，| PF2|n，由余弦定理得|F 1F2|2m 2n 22mncos F 1PF2，即 m2n 2mn8，(mn) 2mn8，mn 4，即|PF 1|PF2| 4.命题角度 2 由双曲线定义求轨迹方程例 4 已知圆 C1：(x3)
11、2y 21 和圆 C2：(x3) 2y 29，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 _考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 x 2 1(x 1)y28解析 如图，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和 B，根据两圆外切的条件 |MC1| |AC1| MA|，|MC 2| BC2| MB|, 因为| MA| MB|，所以|MC 1|AC 1| MC2|BC 2|，即|MC 2|MC 1|2，这表明动点 M 与两定点 C2，C 1 的距离的差是常数 2 且 22 Dk2考点 双曲线的标准方程题点 已知方程判断曲线的类型答案 A解析 由
12、题意知，k30 且 k20,0b 不一定成立，要注意与椭圆中 a，b，c 的区别在椭圆中a2b 2c 2，在双曲线中 c2a 2b 2.3用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出 a，b，c 的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如 mx2ny 21( mn1Cm3 Dm 0 ，即 m1.5双曲线 8kx2ky 28 的一个焦点坐标为(0,3)，则 k 的值是 ( )A1 B1C. D653 653考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 B解析 原方程可化为 1，由焦点坐标是(0,3)可知 c3，且焦点在 y 轴上，
13、x21ky28kk0) 与抛物线 y216x 的准线交于 A，B 两点，且|AB| 4 ，3则 m 的值是( )A116 B80 C52 D20考点 双曲线与其他曲线的综合应用题点 双曲线与其他曲线的综合应用答案 D解析 由抛物线 y216x 可知其准线方程为 x4.因为双曲线是轴对称图形，所以点 A，B 到 x 轴的距离均为 2 .不妨设点 A(4,2 )3 3又点 A 在双曲线上，将其坐标代入双曲线方程 2x2y 2m ，得 m20，故选 D.7已知双曲线 1，直线 l 过其左焦点 F1，交双曲线左支于 A，B 两点，且x2m y27|AB|4 ，F 2 为双曲线的右焦点，ABF 2 的周
14、长为 20，则 m 的值为( )A9 B10 C16 D20考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 A解析 ABF 2 的周长| AB| |AF2|BF 2|20，|AB| 4，| AF2|BF 2|16.根据双曲线定义知，2a|AF 2| AF1|BF 2|BF 1|，4a(|AF 2|BF 2|)(|AF 1| BF1|)16412，a3，ma 29.8已知双曲线的中心在原点，一个焦点为 F1( ，0)，点 P 在双曲线上，且线段 PF1 的中5点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )A. y 21 Bx 2 1x24 y24C. 1 D. 1x22 y23 x23 y22考点
15、 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程答案 B解析 据已知条件得焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为 1(a0，b0)，x2a2 y2b2则 a2b 25.线段 PF1 的中点坐标为(0,2)，点 P 的坐标为( ，4)，将其代入双曲线的方程，5得 1.5a2 16b2由解得 a21，b 24，双曲线的方程为 x2 1.y24二、填空题9已知动圆 M 过定点 B(4,0)，且和定圆(x4) 2y 216 相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 1x24 y212解析 设动圆 M 的半径为 r，依题意有 |MB|r，另设 A(4，0)，
16、则有|MA|r4，即|MA|MB|4.亦即动圆圆心 M 到两定点 A、B 的距离之差的绝对值等于常数 4，又40)，则由 QF1QF 2，得 kQF1kQF21， 1，c5.5c 5 c设双曲线方程为 1(a 0，b0)，x2a2 y2b2双曲线过(4 ，3)， 1，232a2 9b2又c 2a 2b 225，a 216，b 29.双曲线的标准方程为 1.x216 y2911已知双曲线 x2y 21，点 F1，F 2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若PF1PF 2，则| PF1|PF 2|的值为_答案 2 3解析 设 P 在双曲线的右支上，|PF 1|2x，| PF2|x(x0) ，因
17、为 PF1PF 2，所以|PF 1|2| PF2|2|F 1F2|2，所以(x 2)2x 24c 28，所以 x 1 ，x2 1 ，3 3所以|PF 2| PF1| 1 12 .3 3 3三、解答题12已知点 A(7,0) ，B(7,0)，C (2，12)，椭圆过 A，B 两点且以 C 为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程考点 椭圆与双曲线的综合应用题点 椭圆与双曲线的综合应用解 设椭圆的另一个焦点为 P(x，y)，则由题意知|AC| |AP|BC| |BP |，|BP| |AP| |AC| BC|20)的焦点为双曲线 1(a0，b0)的一个焦点，且两条曲线x2a2 y2b2都经过点 M(
18、2,4)(1)求这两条曲线的标准方程；(2)已知点 P 在抛物线上，且它与双曲线的左、右焦点构成的三角形的面积为 4，求点 P 的坐标考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形解 (1)抛物线 y22px( p0)经过点 M(2,4)，4 22p2，解得 p4，抛物线的标准方程为 y28x，抛物线的焦点坐标为(2,0)，双曲线的焦点坐标为 F1( 2,0)，F 2(2,0)，则 a2b 2c 24.双曲线经过点 M(2,4)， 1，4a2 16b2解得 a2128 ，b 28 8.2 2双曲线的标准方程为 1.x212 82 y282 8(2)设点 P 的坐标为 ，(xP，yP)由题意，得 |
19、F1F2|yP|2|y P|4，12PSA12y P2.点 P 在抛物线上，x P ，12点 P 的坐标为 或 .(12，2) (12， 2)四、探究与拓展14在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 的顶点 A(6,0)和 C(6,0)，若顶点 B 在双曲线 1 的左支上，则 _.x225 y211 sin A sin Csin B考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 56解析 设 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.由双曲线定义，得 ac10，由正弦定理，得 .sin A sin Csin B a cb 1012 5615已知双曲线过点(3，2)且与椭圆 4x29y 236 有
20、相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点 M 在双曲线上 ,F1，F 2 为左、右焦点，且|MF 1| MF2|6 ，试判断MF 1F2 的形3状考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形解 (1)椭圆方程可化为 1，焦点在 x 轴上，且 c ，x29 y24 9 4 5故设双曲线方程为 1，x2a2 y2b2则Error!解得 a23，b 22，所以双曲线的标准方程为 1.x23 y22(2)不妨设点 M 在右支上，则有 |MF1| MF2|2 ，3又|MF 1|MF 2|6 ，3故解得|MF 1|4 ，| MF2|2 ，又|F 1F2|2 ，3 3 5因此在MF 1F2 中，| MF1|边最长，而 cosMF 2F1 0，|MF2|2 |F1F2|2 |MF1|22|MF2|F1F2|又因为MF 2F1(0，180) ，所以MF 2F1 为钝角故MF 1F2 为钝角三角形 .
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