1、3.2 双曲线的简单性质学习目标 1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2. 理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系知识点一 双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线思考 类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线 1(a0，b0)的哪些性质？x2a2 y2b2答案 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线梳理标准方程 1( a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2图形范围 xa 或 x a，yR ya 或 ya，x R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标 A1(a,0)，A 2(a,0) A1(0
2、，a) ，A 2(0，a)实轴和虚轴 线段 A1A2 叫作双曲线的实轴；线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴渐近线 y xbay xab性质离心率 e ，e(1，)ca知识点二 双曲线的离心率双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫作双曲线的离心率，记为 e ，其取值范围是ca ca(1，) e 越大，双曲线的张口 越大知识点三 双曲线的相关概念1双曲线的对称中心叫作双曲线的中心2实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线方程是 yx.1双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点( )2双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔( )3双曲线 x2y 2m(m0)的离心率为 ，渐近线方程为 yx.
3、( )24平行于渐近线的直线与双曲线相交，且只有一个交点( )类型一 由双曲线方程研究其性质例 1 求双曲线 9y24x 236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程研究其性质解 将 9y24x 236 变形为 1，即 1，x29 y24 x232 y222所以 a3，b2，c ，13因此顶点坐标为(3,0)，(3,0)；焦点坐标为( ，0)，( ，0) ；13 13实轴长是 2a6，虚轴长是 2b4；离心率 e ；ca 133渐近线方程为 y x x.ba 23反思与感悟 由双曲线的方程研究其性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准
4、形式是解决此类问题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值(3)由 c2a 2b 2 求出 c 值，从而写出双曲线的简单性质跟踪训练 1 求双曲线 9y216x 2144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程研究其性质解 把方程 9y216x 2144 化为标准方程 1.y242 x232由此可知，实半轴长 a4，虚半轴长 b3；c 5，焦点坐标是(0，5) ，(0,5)；a2 b2 42 32离心率 e ；渐近线方程为 y x.ca 54 43类型二 由双曲线的简单性质求标准方程例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)
5、虚轴长为 12，离心率为 ；54(2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y x；32(3)求与双曲线 x22y 22 有公共渐近线，且过点 M(2，2) 的双曲线方程考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的性质求方程解 (1)设双曲线的标准方程为 1 或 1( a0，b0)x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由题意知 2b12， ，且 c2a 2b 2，ca 54b6，c10，a8.双曲线的标准方程为 1 或 1.x264 y236 y264 x236(2)设以 y x 为渐近线的双曲线方程为 (0)32 x24 y29当 0 时，a 24，2a2 6 ；494当 0)，将点(5,4)代入双曲线
6、方程，得 9，双曲线方程为 1.x29 y29类型三 与双曲线有关的离心率问题命题角度 1 求双曲线离心率的值例 3 设 F1，F 2 分别为双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使x2a2 y2b2得|PF 1| |PF2| 3b，|PF 1|PF2| ab，则该双曲线的离心率为( )94A. B.43 53C. D394考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的离心率的值答案 B解析 考虑双曲线的对称性，不妨设 P 在右支上，则|PF 1| |PF2| 2a，而|PF 1| |PF2|3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|PF2| .9b2 4a24又已知|PF
7、1|PF2| ab，94 ab ，得 (负值舍去 )94 9b2 4a24 ba 43该双曲线的离心率e .ca 1 (ba)2 1 (43)2 53引申探究若本例条件“|PF 1| PF2|3b，|PF 1|PF2| ab”改为“若 PF1PF 2，且PF 1F230 ”，94结果如何？解 作出满足题意的几何图形(如图) ，设点 P 在双曲线右支上PF 1PF 2，| F1F2|2c ，且PF 1F230，|PF 2| c，| PF1| c.3又点 P 在双曲线的右支上，|PF 1| |PF2| ( 1) c2a，3e 1.ca 23 1 3反思与感悟 求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件
8、求出 a，c，再计算 e .ca(2)依据条件建立参数 a，b，c 的关系式，一种方法是消去 b 转化为离心率 e 的方程求解，另一种方法是消去 c 转化成含 的方程，求出 后，利用 e 求解ba ba 1 (ba)2跟踪训练 3 双曲线 1(00)的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与x2a2 y2b2双曲线交于 A，B 两点，若ABF 2 为钝角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为( )A(1，) B( 1，)2C(1， 1) D(1， )2 3考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围答案 B解析 由题设条件可知ABF 2 为等腰三角形，且 AF2BF 2，只
9、要AF 2B 为钝角即可由题设可得 AF1 ，b2a所以有 2c，即 2ac0 ，b0)的右支上到原点 O 和右焦点 F 距离相等的点x2a2 y2b2有两个，则双曲线的离心率的取值范围为_考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围答案 (2，)解析 由于到原点 O 和右焦点 F 距离相等的点在线段 OF 的垂直平分线上，其方程为 x .c2依题意，在双曲线 1 (a0，b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所x2a2 y2b2以直线 x 与右支有两个交点，故应满足 a，即 2，得 e2.c2 c2 ca1双曲线 y 21 与椭圆 1 的( )x215 x225 y29A焦
10、点相同 B顶点相同C实轴与长轴相同 D短轴与虚轴相同考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程研究其性质答案 A解析 y 21 的焦点坐标是(4,0)， 1 的焦点坐标为(4,0)，故选 A.x215 x225 y292设双曲线 1 的渐近线方程为 3x2y0，则 a 的值为( )x2a y29A4 B3 C2 D1考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 A解析 方程表示双曲线，a0，b0)的两个焦点，若 F1，F 2，P(0,2 b)是正三角形的x2a2 y2b2三个顶点，则双曲线的离心率为( )A. B232C. D352考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的离心率
11、的值答案 B解析 由题意知 tan 60 ，即 2b c，2bc 3则 4b23c 2 可得 4c24a 23c 2， 24，(ca)e2.4已知双曲线 1( a0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率 e_.x2a2 y25考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的离心率答案 32解析 由题意知 a259, 解得 a2，则 e .ca 325设双曲线 1(a0 ，b0) 的虚轴长为 2，焦距为 2 ，则双曲线的渐近线方程为x2a2 y2b2 3_考点 双曲线的简单性质题点 由条件求渐近线方程答案 y x22解析 由条件知 2b2,2c2 ，3b1，c ，a 2c 2b 22，即 a .3 2双
12、曲线的渐近线方程为 y x x.ba 221渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程 1(a0，b0)右边的常数“1”换为“0” ，就是渐近线方程反之由渐近线方程x2a2 y2b2axby0 变为 a2x2b 2y2，再结合其他条件求得 就可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形一、选择题1双曲线 25x29y 2225 的实轴长、虚轴长、离心率分别是( )A10,6， B6,10，345 343C10,
13、6， D6,10，45 43考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 B解析 双曲线 25x29y 2225 即为 1，可得 a3 ，b5，c ，则实x29 y225 a2 b2 34轴长为 2a6，虚轴长为 2b10，离心率 e .ca 3432双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为( )x24 y212A2 B2 C. D13 3考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程研究其性质答案 B解析 双曲线 1 的一个焦点为 F(4,0)，其中一条渐近线方程为 y x，点x24 y212 3F(4,0)到 xy0 的距离为 2 .3432 33已知双曲线 x2 1 的虚轴长是实轴长的
14、 2 倍，则实数 m 的值是( )y2mA4 B. C D414 14考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的性质求方程答案 D解析 双曲线 x2 1 的虚轴长和实轴长分别为 2 和 2，2 4，m4.y2m m m4已知双曲线 C： 1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则双曲线 C 的方程x2a2 y2b2为( )A. 1 B. 1x220 y25 x25 y220C. 1 D. 1x280 y220 x220 y280考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的性质求方程答案 A解析 双曲线 C 的渐近线方程为 0，点 P(2,1)在渐近线上， 0，即x2a2 y2b2 4a2
15、 1b2a24b 2，又 a2b 2c 225，解得 b25，a 220，故选 A.5已知双曲线 C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆 1 的长轴端点、焦点，则双曲线 Cx225 y216的渐近线方程为( )A4x3y0 B3x4y0C4x5y0 D5x4y0考点 双曲线的简单性质题点 由条件求渐近线方程答案 A解析 由椭圆 1 知，长轴端点分别为(5,0) 和(5,0)，焦点是(3,0) ，(3,0)，x225 y216由此可知，双曲线的焦点为(5,0) ，(5,0)，顶点为(3,0) ，(3,0)，所以双曲线方程为 1，x29 y216所以渐近线方程为 4x3y0.6已知中心在原点的双曲线 C
16、的右焦点为 F(3,0)，离心率等于 ，则双曲线 C 的方程是( )32A. 1 B. 1x24 y25 x24 y25C. 1 D. 1x22 y25 x22 y25答案 B解析 依题意得，c3，e ，32所以 a2，从而 a24，b 2c 2a 25，故选 B.7已知双曲线 1(b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，其一条渐近线方程为 yx，点x22 y2bP( ，y 0)在该双曲线上，则 等于( )3 PF1 PF2 A12 B2 C0 D4答案 C解析 yx 为渐近线方程，则 b2，即双曲线方程为 x2y 22.当 x 时，y 1.3 20又双曲线的半焦距为 2，F 1(2,0) ，
17、F 2(2,0)， (2 ，y 0)(2 ，y 0)PF1 PF2 3 31y 110.20故选 C.8点 P 是双曲线 1(a0，b0) 上的点，F 1，F 2 是其焦点，双曲线的离心率是 ，且x2a2 y2b2 54PF1PF 2，若F 1PF2 的面积是 9，则 ab 的值等于( )A4 B5 C6 D7考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 D解析 设|PF 1|m，| PF2|n，则| mn|2a，又因为 PF1PF 2，所以 m2n 24c 2， 2得2mn4a 24c 2，所以 mn2a 22c 2.又因为F 1PF2 的面积是 9，所以 mn9，12所以 c2a 29.
18、又因为双曲线的离心率 ，ca 54所以 c5，a4，所以 b3，所以 ab7.二、填空题9已知双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线方程为 y x，若顶点到渐近线的距离x2a2 y2b2 33为 1，则双曲线方程为_考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的性质求方程答案 1x24 y243解析 顶点(a,0) 到渐近线的距离为 1， 1，解得 a2. ，b .33a1 13 ba 33 233双曲线方程为 1.x24 y24310.如图，F 1，F 2 分别是双曲线 1(a0，b0)的左，右两个焦点， A 和 B 是以 O 为圆x2a2 y2b2心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点
19、，且F 2AB 是等边三角形，则该双曲线的离心率为_考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的离心率的值答案 13解析 由题意知 A 点坐标为 ，( c2，32c)又点 A 在双曲线上，将点 A 的坐标代入双曲线方程，得 1.c24a2 3c24b2又b 2c 2a 2，由，得 e 1.311设双曲线 1 的右顶点为 A，右焦点为 F.过点 F 且与双曲线的一条渐近线平行的x29 y216直线与另一条渐行线交于点 B，则AFB 的面积为_考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的综合应用答案 103解析 双曲线 1 的右顶点为 A(3,0)，x29 y216右焦点为 F(5,0)，其渐近线方
20、程为 y x，43由双曲线的对称性，不妨取与 y x 平行的直线，43则 FB 所在直线的方程为 y (x5)，43联立方程Error!解得Error!S AFB (53) .12 | 103| 103三、解答题12已知圆 M：x 2(y 5) 29，双曲线 G 与椭圆 C： 1 有相同的焦点，且双曲线x250 y225G 的两条渐近线恰好与圆 M 相切，求双曲线 G 的方程考点 圆锥曲线的综合应用题点 圆锥曲线的综合应用解 椭圆 C： 1 的两焦点为 F1(5,0)，F 2(5,0)，x250 y225故双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c5.设双曲线 G 的方程为 1( a0，b0
21、)，则 G 的渐近线方程为 y x，即 bxay0，x2a2 y2b2 ba且 a2b 225.圆 M 的圆心为(0,5) ，半径为 r3. 3，a3，b4.|5a|a2 b2双曲线 G 的方程为 1.x29 y21613已知双曲线 E： 1.x2m y25(1)若 m4，求双曲线 E 的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线 E 的离心率为 e ，求实数 m 的取值范围(62，2)考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质解 (1)当 m 4 时，双曲线方程化为 1，x24 y25所以 a2，b ，c 3，5所以焦点坐标为(3,0)，(3,0)，顶点坐标为(2,0) ，(
22、2,0)，渐近线方程为 y x.52(2)因为 e2 1 ，e ，c2a2 m 5m 5m ( 62，2)所以 0)，x22 y22则 24，解得 2，双曲线的方程为 1，渐近线方程为 yx.x24 y24(2)设椭圆的标准方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2由(1)知 F(2 ，0)，于是 a2 .2 2设 A(x0，y 0)，则 x0y 0.ABAF，且 AB 的斜率为 1，AF 的斜率为1，故 1，y0x0 22由解得 x0 ，A ( ， )，2 2 2代入椭圆方程得 1，2222 2b2解得 b2 ，c 2a 2b 28 ，83 83 163得 c ， 椭圆 E 的离心率 e .433 ca 43322 63
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