1、第 2 课时 函数最值的应用学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决不等式问题及恒成立问题知识点一 生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程知识点二 导数在不等式问题中的应用利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基本思路是转化为函数的最值问题加以解决1用导数解决实际问题的关键是建立函数模型( )2恒成立问题可以转化成函数的最值问题( )3用导数证明不等式可以通过构造函数，转化为函数大于等于 0 或小于等
2、于 0.( )类型一 几何中的最值问题例 1 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为 18 000 cm2，四周空白的宽度为 10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？考点 几何类型的优化问题题点 面积的最值问题解 设广告的高和宽分别为 x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为 x20， ，y 252其中 x20，y25.两栏的面积之和为 2(x20) 18 000，y 252由此得 y 25.18 000x 20广告的面积 Sxyx 25x，(18 000x
3、20 25) 18 000xx 20S 25 25.18 000x 20 xx 202 360 000x 202令 S0，得 x140，令 S0；(0，23a)当 x 时，V(x)ln 21 且 x0 时，e xx22ax1.(1)解 由 f(x) ex2x2a 知，f(x)e x2，xR ，令 f( x)0，得 xln 2.当 x 变化时，f(x)及 f(x)的变化情况如下表：x (， ln 2) ln 2 (ln 2， )f(x ) 0 f(x) 2(1 ln 2a) 故 f(x)在区间(，ln 2)上是减少的，在区间(ln 2，)上是增加的，f(x)在 xln 2 处取得极小值，极小值为
4、 2(1ln 2a) ，无极大值(2)证明 设 g(x)e xx 22ax1，xR ，于是 g(x) e x2x 2a，由(1)知 g(x) 的最小值为 2(1ln 2a)，当 aln 21 时，g(x )0，故 g(x)在 R 上是增加的，所以 x0 时 g(x)g(0)0，即 exx22ax1.反思与感悟 利用函数的最值证明不等式常用的方法与步骤(1)构造函数(2)利用导数确定函数的单调性、最值( 或值域)(3)将其归结为函数的最值或值域问题(4)证明函数 yf(x )的最大(小 )值大于 0 或小于 0，或逆用单调性定义得出结论跟踪训练 2 证明：当 x0,1 时， xsin xx.22
5、证明 记 F(x)sin x x，则 F(x) cos x .22 22当 x 时，F( x)0，F( x)在 上是增加的；(0，4) 0，4当 x 时，F( x)0，所以当 x0,1时，F(x)0，即 sin x x.22记 H(x)sin xx，则当 x(0,1)时，H( x)cos x1f(2)2c，解得 c2.故 c 的取值范围为( ，1) (2，)反思与感悟 解决恒成立问题，常用方法是转化为求函数的最值问题，通过分离参数，要使mf(x)恒成立，只需 mf(x)的最大值即可，同理，要使 m1 时，g(x)0，故 g(x)在(1，)上是增加的，所以 g(x)的最小值是 g(1)1.因此
6、ag(x) ming(1)1，故 a 的取值范围为(，1.1已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元) 与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为y x381x 234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )13A13 万件 B11 万件C9 万件 D7 万件考点 函数类型的优化问题题点 利用导数求解最大利润问题答案 C解析 x0，y x 281 (9 x)(9x)，令 y0，解得 x9，当 x(0,9) 时，y 0，当 x(9 ，)时，y 0，当 t(8,9)时，y0)256a2 210a令 S2a 0，得 a8.210a2当 08 时，S0，故当 a8 时，S 最小，此时 h 4.28
7、824要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是_元考点 函数类型的优化问题题点 利用导数解决费用最省问题答案 160解析 设底面长为 x，由题意得底面宽为 .4x设总造价为 y，则 y20x 101 ，4x (2x 24x)即 y20x 80，80xy20 ，令 y0，得 x2.80x2当 x2 时，y min160(元)5已知函数 f(x)e x2xa 有零点，则 a 的取值范围是_答案 (，2ln 22解析 函数 f(x)e x2xa 有零点，即方程 ex2xa0 有实根，即函数 g(
8、x)2xe x与ya 有交点，而 g( x)2e x，可知函数 g(x)2xe x在(，ln 2)上是增加的，在(ln 2，)上是减少的，所以 g(x)2xe x的值域为(，2ln 22，所以要使函数 g(x)2xe x与 y a 有交点，只需 a2ln 22 即可1正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路另外需要特别注意(1)合理选择变量，正确给出函数表达式(2)与实际问题相联系(3)必要时注意分类讨论思想的应用2 “恒成立”问题可转化为函数最值问题一、选择题1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时，原油温度(单位：) 为 f(x) x3x
9、 2 8(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )13A8 B.203C1 D8考点 函数类型的优化问题题点 有关函数类型的其他问题答案 C解析 原油温度的瞬时变化率 f(x)x 22x(x1) 21(0x5)，所以当 x1 时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2若 x0 ，)，则下列不等式恒成立的是 ( )Ae x1x x2B. 1 x x211 x 12 14Ccos x1 x212Dln(1x) x x218答案 C解析 设 f(x)cos x x21，12则 f(x )sin x x0(x 0) ，f(x)在0，)上是增加的，f(x)f (0)0，故 cos x1 x2.1
10、23若底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V，则其表面积最小时底面边长为( )A. B.3V 32VC. D234V 3V考点 几何类型的优化问题题点 面积的最值问题答案 C解析 设底面边长为 x，则表面积 S x2 V(x0)32 43xS (x3 4V)令 S0，得 x .3x2 34V可判断得当 x 时，直棱柱的表面积最小34V4用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( )A120 000 cm 3 B128 000 cm 3C150 000 cm 3 D158 000 cm 3考点 几何类型
11、的优化问题题点 几何体体积的最值问题答案 B解析 设水箱底边长为 x cm，则水箱高 h60 (cm)，x2水箱容积 V(x)x 2h60x 2 (00)，每月库存货物的运费 y2k 2x(k20)，其中k1xx 是仓库到车站的距离，于是由 2 ，得 k120；由 810k 2，得 k2 .k110 45因此两项费用之和为 y ，y .20x 4x5 20x2 45令 y0，得 x5(x 5 舍去 )，此点即为最小值点故当仓库建在离车站 5 千米处时，两项费用之和最小7某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品若该商品零售价定为 p，销售量为q，且销售量 q(单位：件)与零售价 p(单
12、位：元) 有如下关系：q8 300170pp 2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出 )( )A30 元 B60 元C28 000 元 D23 000 元考点 函数类型的优化问题题点 利用导数求解最大利润问题答案 D解析 由题意知毛利润 w(p20)(8 300170pp 2)p 3150p 211 700p166 000，w3p 2300p11 700，令 w0，得 p30 或 p 130(舍)只有唯一一个极值点，且是极大值点，当 p30 时，w max23 000 元8已知函数 f(x) x42x 3 3m，xR ，若 f(x)90 恒成立，则 m 的取值范围是( )12Am Bm32
13、 32Cm Dm 2a 对实数 x 1，)恒成立，则 a 的取值范围是_92答案 (312， )解析 设 f(x)x 3 x2，92令 f(x )3x 29x 0，得 x0 或 x3.当1x0；当 03 时，f(x)0，所以当 x3 时，f(x)取得极小值 f(3) ，272又 f(1) ，所以 f(x)的最小值为 ，从而 f(x)min 2a，112 272 272 272所以 a .312三、解答题12一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为 20 km/h 时，每小时消耗的煤价值 40 元，其他费用每小时需 200 元，火车的最高速度为 100 km/h，则火车
14、以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解 设速度为 x km/h，甲、乙两城距离为 a km.则总费用 f(x)(kx 3200) a .ax (kx2 200x)由已知条件，得 40k20 3，k ，1200f(x)a .(1200x2 200x)令 f(x ) 0，ax3 20 000100x2得 x10 .320当 00.320当 x10 时，f( x)有最小值，320即速度为 10 km/h 时，总费用最少32013已知函数 f(x)x 3ax 2 bxc(a，b，cR )(1)若函数 f(x)在 x1 和 x3 处取得极值，试求 a，b 的值；(2)在(1)的条件下，当 x2
15、,6时，f(x)54；当 c Bk92 92考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围答案 D解析 命题等价于当 x3,3时，(x 2k 1)0 恒成立，(13x3 x2 4x 1)即 k x3 x2 x.16 12 32设 g(x) x3 x2 x，则16 12 32g(x) x2 x (3x)(1x) 12 32 12由 g(x)0，得1 .92 92 92 9215求证：ln x (x1) 21 (1x) 3.1x 12 23证明 设 f(x)ln x (x1) 2 (x1) 31( x0)，1x 12 23即 f(x ) ( x1)2(x1) 21x 1x2 (x1)2( x1) 2x 1x2(x1) 3 .2x 1x2令 f(x )0，解得 x1，当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，)f(x ) 0 f(x) 极小值 由上表可知，当 x1 时，f( x)有极小值，这里也是最小值所以当 x0 时，f(x )f(1)0.所以 ln x (x1) 21 (1x) 3.1x 12 23
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