1、2019 年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、抛择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1 （5 分）设全集 UR，集合 A（x|3x 1） ，B x|x+10 ，则 U（AB）（ ）A x|x3 或 x1 B x|x1 或 x3 Cx|x3D x|x32 （5 分）若复数 z 满足（3+4i）z25i ，其中 i 为虚数单位，则 的虚部是（ ）A3i B3i C3 D33 （5 分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明” ，为评估共享单车的使用情况，选了 n 座城市作试验基地，这
2、 n 座城市共享单车的使用量（单位；人次/天）分别为 x1，x 2，x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）Ax 1，x 2，x n 的平均数 Bx 1，x 2，x n 的标准差Cx 1， x2，x n 的最大值 Dx 1，x 2，x n 的中位数4 （5 分）已知数列a n为等比数列，首项 a14，数列b n满足 bnlog 2an，且b1+b2+b312，则 a4（ ）A4 B32 C108 D2565 （5 分）椭圆 的焦点为 F1，F 2，P 为椭圆上一点，若F 1PF260，则F1PF2 的面积是（ ）A B C16
3、 D326 （5 分）已知曲线 C1：y cos x，C 2：ysin （2x ） ，则下面结论正确的是（ ）A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2第 2 页（共 25 页）C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的是 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C27 （5 分）如图，网格纸
4、上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A （4+4 ） +4 B （4+4 ）+4+4C12+12 D12+4+48 （5 分）设函数 f（x ）2ln （x+ ）+3x 3（2 x2） ，则使得 f（2x）+f（4x 3）0 成立的 x 的取值范围是（ ）A （1，1） B （ ） C （ ） D （ ）9 （5 分）已知变量 x，y 满足 ，则 k 的取值范围是（ ）Ak 或 k5 B5k C5k Dk 或 k510 （5 分）魔法箱中装有 6 张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数：f 1（x）2x
5、，f 2（x ）2 x，f 3（x）x 2，f 4（x）sin x，f 5（x）cos x，f 6（x） ，现从魔法箱中任取 2 张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是（ ）A B C D第 3 页（共 25 页）11 （5 分）已知数列a n满足 2an+1+an3（n1，nN +） ，且 a3 ，其前 n 项之和为Sn，则满足不等式|S nn6| 的最小整数 n 是（ ）A8 B9 C10 D1112 （5 分）已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，PC 是球 O 的直径若平面 PCA平面 PCB，PA AC ，PBBC
6、 ，三棱锥 PABC 的体积为 a，则球 O 的体积为（ ）A2a B4a C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13 （5 分）已知 ， 为单位向量且夹角为 ，设 3 +2 ， 3 ，则 在方向上的投影为 14 （5 分）已知函数 f（x ）lnxax（aR）的图象与直线 xy+10 相切，则实数 a 的值为 15 （5 分）已知双曲线 E： 1（a0，00）的右焦点为 F，过点 F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 P，交另一条渐近线于 Q，若 5 3 ，
7、则该双曲线 E 的离心率为 16 （5 分）不等式 x（sincos 2+1）3 对任意 R 恒成立，则实数 x 的取值范围是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 S，且满足 sinB （）求 sinAsinC；（）若 4cosAcosC1，b ，求ABC 的周长18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PAD
8、 是等腰直角三角形，且APD90，ABC 90，AB CD ，AB 2CD2BC 8，平面 PAD平面 ABCD，M 是 PC 的三等分点（靠近 C 点处） 第 4 页（共 25 页）（）求证：平面 MBD平面 PAD；（）求三棱锥 DMAB 的体积19 （12 分）2018 年 8 月 16 日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全，因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵国家规定，疫苗在上市前必须经过严格
9、的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：未感染病毒 感染病毒 总计未注射疫苗 40 p x注射疫苗 60 q y总计 100 100 200现从未注射疫苗的小白鼠中任取 1 只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 （）求 22 列联表中的数据 p，q，x，y 的值；（）能否有 99.9%把握认为注射此种疫苗有效？（）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取 5 只进行病理分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取 3 只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到 2 只为未注射疫苗的小白鼠的
10、概率附：K 2 ，na+b+c+dP（K 2K 0） 0.05 0.01 0.005 0.001K0 3.841 6.635 7.879 10.82820 （12 分）已知抛物线 C： y24x 的焦点为 F，过 F 的直线 1 与抛物线 C 交于 A，B 两点，第 5 页（共 25 页）过 A，B 分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为 M，N，R 为准线上一点（）若 ARFN，求 的值；（）若点 R 为线段 MN 的中点，设以线段 AB 为直径的圆为圆 E，判断点 R 与圆 E 的位置关系21 （12 分）已知函数 f（x ）（e x2a）e x，g（x）4a 2x（）设 h（x）f（x）
11、g（x） ，试讨论 h（x）在定义域内的单调性；（）若函数 yf（x）的图象恒在函数 yg（x）图象的上方，求 a 的取值范围选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多选，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知曲线 C1：x 2+（y 3） 29，A 是曲线 C1 上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O 为中心，将点 A 绕点 O 逆时针旋转90得到点 B，设点 B 的轨迹方程为曲线 C2（）求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；（）射线 （ 0）与曲线 C1，C 2 分别交于 P，Q 两点，定
12、点 M（4，0） ，求MPQ 的面积选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|3x 2 a|+|2x2|（a R） （）当 a 时，解不等式 f（x ）6；（）若对任意 x0R，不等式 f（x 0）+3x 04+|2x 02| 都成立，求 a 的取值范围第 6 页（共 25 页）2019 年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、抛择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1 （5 分）设全集 UR，集合 A（x|3x 1） ，B x|x+10 ，则 U（AB）（ ）A x|x3 或 x1 B
13、 x|x1 或 x3 Cx|x3D x|x3【分析】全集 UR，集合 A（x|3x 1） ，B x|x+10 ，则 U（AB）【解答】解：全集 UR，集合 A（x|3x 1） ，B x|x+10x |x1 ，ABx|x3， U（AB ）x |x3故选：D【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2 （5 分）若复数 z 满足（3+4i）z25i ，其中 i 为虚数单位，则 的虚部是（ ）A3i B3i C3 D3【分析】求出 z，求出 ，从而求出其虚部即可【解答】解：z 4+3i，故 43i，其虚部是3，故选：D【点评】本题考查了复数的运算，考查共轭复数，是一道基础题3 （5
14、 分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明” ，为评估共享单车的使用情况，选了 n 座城市作试验基地，这 n 座城市共享单车的使用量（单位；人次/天）分别为 x1，x 2，x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）Ax 1，x 2，x n 的平均数 Bx 1，x 2，x n 的标准差Cx 1， x2，x n 的最大值 Dx 1，x 2，x n 的中位数第 7 页（共 25 页）【分析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度【解答】解：表示一组数据 x1，x 2，x n 的稳定程度是方差或标准差故选：B【点评】本题考查了利用方差或标准差表
15、示一组数据的稳定程度，是基础题4 （5 分）已知数列a n为等比数列，首项 a14，数列b n满足 bnlog 2an，且b1+b2+b312，则 a4（ ）A4 B32 C108 D256【分析】设等比数列的公比为 q，运用对数的运算性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到公比，则答案可求【解答】解：数列a n为等比数列，首项 a14，公比设为 q，数列b n满足 bnlog 2an，且 b1+b2+b312，即有 log2a1+log2a2+log2a312，log2（a 1a2a3）12，即 a23 212，即有 a216，q4，则 a44 4256故选：D【点评】本题考查
16、等比数列的通项公式和对数的运算性质，考查计算能力，属于中档题5 （5 分）椭圆 的焦点为 F1，F 2，P 为椭圆上一点，若F 1PF260，则F1PF2 的面积是（ ）A B C16 D32【分析】由椭圆方程求得 a，b，c 的值，然后利用椭圆定义及余弦定理求得|PF 1|PF2|，代入三角形面积公式求解【解答】解：由椭圆 ，得 a5，b4，c3，在F 1PF2 中， F 1PF2 60，由余弦定理可得： ，则 4c2（2a） 23|PF 1|PF2|，即 361003|PF 1|PF2|，第 8 页（共 25 页）|PF 1|PF2| F 1PF2 的面积是 S 方法二、由椭圆
17、的焦点三角形的面积公式 Sb 2tan 16 故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及焦点三角形问题，往往是考查椭圆定义与余弦定理的应用，是简单题6 （5 分）已知曲线 C1：y cos x，C 2：ysin （2x ） ，则下面结论正确的是（ ）A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的是 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2D把 C1 上
18、各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C2【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可【解答】解：ysin（2x ）cos （2x ） cos（2x ）cos2（x ） ，把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 ycos2x 图象，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到函数 ysin（2x ）cos2（x）的图象，即曲线 C2，故选：C【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该第 9 页（共
19、25 页）几何体的表面积为（ ）A （4+4 ） +4 B （4+4 ）+4+4C12+12 D12+4+4【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可【解答】解：由题意可知，几何体下部是圆锥，上部是四棱柱，可得：几何体的表面积为：4+ +14 （4+4 ）+4 故选：A【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键8 （5 分）设函数 f（x ）2ln （x+ ）+3x 3（2 x2） ，则使得 f（2x）+f（4x 3）0 成立的 x 的取值范围是（ ）A （1，1） B （ ） C （ ） D （ ）【分析】求出函数的大
20、小和奇偶性，结合函数的性质去掉对应法则得到关于 x 的不等式组，解出即可【解答】解：f（x ）2ln（x+ ）+3x 3（2x 2） ，f（x） f（x ） ，故 f（x）是奇函数，且 f（x）在（ 2，2）递增，第 10 页（共 25 页）故由 f（2x）+f（4x 3）0 ，得：f（2x） f（34x ） ，则 ，解得： x1，故选：B【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，是一道常规题9 （5 分）已知变量 x，y 满足 ，则 k 的取值范围是（ ）Ak 或 k5 B5k C5k Dk 或 k5【分析】由约束条件作出可行域，再由 k 的几何意义求解得答案【解
21、答】解：由变量 x，y 满足 作出可行域如图： 解得A（2，4） ，k 的几何意义为可行域内动点与定点 D（3，1）连线的斜率k DA 5， x 2y+40 的斜率为： ，k 的取值范围是 k 或 k5故选：A第 11 页（共 25 页）【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题10 （5 分）魔法箱中装有 6 张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数：f 1（x）2x，f 2（x ）2 x，f 3（x）x 2，f 4（x）sin x，f 5（x）cos x，f 6（x） ，现从魔法箱中任取 2 张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概
22、率是（ ）A B C D【分析】根据题意，依次分析 6 个函数的奇偶性，由组合数公式计算在 6 个函数中任选2 个的选法数目，又由“若两个函数的乘积为奇函数，必须其中一个为奇函数，一个为偶函数” ，计算可得乘积为奇函数的情况数目，由古典概型的计算公式计算可得答案【解答】解：根据题意，对于 6 个函数，f1（x）2x，为正比例函数，为奇函数；f2（x）2 x，为指数函数，为非奇非偶函数函数；f3（x）x 2，为二次函数，为偶函数；f4（x）sinx，为正弦函数，是奇函数；f5（x）cos x，为余弦函数，是偶函数；f6（x） ，有 f6（x） （ ）f （x ） ，为奇函数；在 6
23、个函数中任选 2 个，有 C6215 种选法，若两个函数的乘积为奇函数，必须其中一个为奇函数，一个为偶函数，有 326 种选法；则所得新函数为奇函数的概率 P ；故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，涉及古典概型的计算，注意分析函数的奇偶性，属于基础题11 （5 分）已知数列a n满足 2an+1+an3（n1，nN +） ，且 a3 ，其前 n 项之和为Sn，则满足不等式|S nn6| 的最小整数 n 是（ ）第 12 页（共 25 页）A8 B9 C10 D11【分析】由 2an+1+an3，得 ，再由 a3 ，可得a n1为首项是 9，公比为 的等比数列，求出通项，得到
24、 Sn，代入不等式|S nn6| 求解【解答】解：由 2an+1+an3 ，得 ，又 a3 ， ，a 112（a 21）9a n1为首项是 9，公比为 的等比数列，则 an19 ，a n1+9 ，Snn+9 n+6 6 ，则|S n n6| 3 ，|S nn6| ，即 ，解得 n9，满足不等式|S nn6| 的最小整数 n 是 10故选：C【点评】本题考查由递推式求数列通项、数列求和及不等式等有关知识，解决本题的关键是通过构造数列求得 an，是中档题12 （5 分）已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，PC 是球 O 的直径若平面 PCA平面 PCB，PA AC ，PBBC ，
25、三棱锥 PABC 的体积为 a，则球 O 的体积为（ ）A2a B4a C D【分析】设球 O 的半径为 R，由已知条件得出 PAC 和PBC 是两个公共斜边 PC 的等腰直角三角形，以及证明 OA平面 PBC，进而用 R 表示三棱锥 PABC 的体积，得出a 与 R 的关系，即可得出球 O 的体积【解答】解：如下图所示，第 13 页（共 25 页）设球 O 的半径为 R，由于 PC 是球 O 的直径，则PAC 和PBC 都是直角，由于 PAAC， PBBC，所以， PAC 和PBC 是两个公共斜边 PC 的等腰直角三角形，且PBC 的面积为 ，PAAC，O 为 PC 的中点，则
26、OAPC，平面 PAC平面 PBC，平面 PAC平面 PBCPC，OA平面 PAC，所以，OA平面 PBC，所以，三棱锥 PABC 的体积为 ，因此，球 O 的体积为 ，故选：B【点评】本题考查球的体积的计算，解决本题的关键主要找出球的直径，考查计算能力与推理能力，属于中等题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13 （5 分）已知 ， 为单位向量且夹角为 ，设 3 +2 ， 3 ，则 在方向上的投影为 【分析】运用向量的夹角公式和投影的概念可解决此问题【解答】解：根据题意得， 9 +6 29 +611 +6
27、 ；又|b| 3， 在 方向上的投影为 ；第 14 页（共 25 页）故答案为 【点评】本题考查向量的夹角，投影的概念14 （5 分）已知函数 f（x ）lnxax（aR）的图象与直线 xy+10 相切，则实数 a 的值为 【分析】求出函数的导数，根据切线的斜率求出 a 的值即可【解答】解：由 f（x ）lnxax， （aR）得 f（x） a，设切点横坐标为 x0，依题意得 ，并且 lnx0ax 0x 0+1，解得 a ；则实数 a 的值为 ；故答案为： 【点评】本题考查了切线斜率问题，考查函数的切线方程的求法，是基本知识的考查15 （5 分）已知双曲线 E： 1（a
28、0，00）的右焦点为 F，过点 F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 P，交另一条渐近线于 Q，若 5 3 ，则该双曲线 E 的离心率为 【分析】由题意得右焦点 F（c，0） ，设一渐近线 OP 的方程为 y x，则另一渐近线OQ 的方程为 y x，由垂直的条件可得 FP 的方程，代入渐近线方程，可得 P，Q的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得离心率【解答】解：由题意得右焦点 F（c，0） ，设一渐近线 OP 的方程为 y x，则另一渐近线 ON 的方程为 y x，由 FP 的方程为 y （x c） ，联立方程 y x，可得 P 横坐标为 ，第
29、 15 页（共 25 页）由 FP 的方程为 y （x c） ，联立方程 y x，可得 Q 的横坐标为 由 5 3 ，可得 5（c ）3（ c） ，即为 8c5 3 ，由 e ，可得 8 ，即有 4e49e 2+50，解得 e2 或 1（舍去） ，即有 e ，故答案为： 【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用：求渐近线方程，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点 M、N 的横坐标是解题的关键16 （5 分）不等式 x（sincos 2+1）3 对任意 R 恒成立，则实数 x 的取值范围是 ， 12 【分析】讨论 x0，x 0，x0，由参数分离和正弦函数的值域、二次函数的
30、最值求法，即可得到所求范围第 16 页（共 25 页）【解答】解：当 x0 时，x （sin cos 2+1）3 恒成立；当 x0 时，sin+sin 2 ，由 sin+sin2（sin+ ） 2 ，可得 sin 时，取得最小值 ，sin1 时，取得最大值 2，即有 ，解得 0x12；当 x0 时，可得 sin+sin2 ，即有 2 ，解得 x0，综上可得 x 的范围是 ，12 故答案为： ，12【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和参数分离，考查正弦函数的值域和不等式的解法，属于中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为
31、必考题，每个考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 S，且满足 sinB （）求 sinAsinC；（）若 4cosAcosC1，b ，求ABC 的周长【分析】 （）由已知利用三角形面积公式可得 ac ，由正弦定理即可计算得解（）利用两角和的余弦函数公式根据已知可求 cosB 的值，由（）可得 ac 的值，由余弦定理可得 a+c，即可计算得解ABC 的周长的值【解答】解：（）ABC 的面积为 S acsinB，sinB 4（ acsinB）sinBb 2，ac ，第 17 页（共
32、25 页）由正弦定理可得：sinAsinC ；（）4cosAcos C1，sinAsin C ，cosBcos（A+ C）sinAsinC cos AcosC ，b ，可得：ac 8，由余弦定理可得：15a 2+c2 ac（a+c） 2 ac（a+c） 217，解得：a+c4 ，ABC 的周长 a+b+c4 + 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，两角和的余弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PAD 是等腰直角三角形，且APD90，ABC 90，AB CD ，AB 2CD2BC 8，平面 PA
33、D平面 ABCD，M 是 PC 的三等分点（靠近 C 点处） （）求证：平面 MBD平面 PAD；（）求三棱锥 DMAB 的体积【分析】法一：（1）推导出 BDAD，BD AD ，从而 BD面 PAD，由此能证明平面 MBD平面PAD（2）过 P 作 POAD 于 O，则 PO平面 BAD，三棱锥 DMAB 的体积：VDMAB V MDAB 法二（）以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，过 C 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面 MBD平面 PAD第 18 页（共 25 页）（）推导出 16，M 到平面 ABD 的距离 d ，三棱锥DMA
34、B 的体积 VDMAB V MABD ，由此能求出结果【解答】解法一：证明：（1）由题知 BDAD4 ，AB8，AB2AD 2+BD2，BD AD ，平面 PAD平面 ABCD，交线是 AD，BD 平面 ABCD，BDAD，BD面 PAD，又 BD平面 MBD，平面 MBD平面 PAD解：（2）过 P 作 POAD 于 O，PO 平面 BAD， ，三棱锥 DMAB 的体积：VDMAB V MDAB 解法二：证明：（）在四棱锥 PABCD 中，PAD 是等腰直角三角形，且APD90，ABC90，AB CD ，AB2CD2BC 8，平面 PAD平面 ABCD，M 是 PC 的三等分点（靠近 C 点
35、处） 以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，过 C 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 P（6，2，2 ） ，C（0， 0，0） ，M（2， ， ） ，B（0，4，0） ，D（4，0，0） ，A（8，4，0） ，（2，2，2 ） ， （4，4，0） ， （2， ， ） ，（4，4，0） ，设平面 PAD 的法向量 （x，y ，z） ，则 ，取 x1，得 （1，1，0） ，设平面 BDM 的法向量 （x，y，z） ，第 19 页（共 25 页）则 ，取 x1，得 （1，1， ） ， 0，平面 MBD平面 PAD解：（） 16，M 到平面 ABD 的距离 d
36、，三棱锥 DMAB 的体积：VDMAB V MABD 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （12 分）2018 年 8 月 16 日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全，因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全
37、和有效某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：未感染病毒 感染病毒 总计未注射疫苗 40 p x注射疫苗 60 q y总计 100 100 200现从未注射疫苗的小白鼠中任取 1 只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 第 20 页（共 25 页）（）求 22 列联表中的数据 p，q，x，y 的值；（）能否有 99.9%把握认为注射此种疫苗有效？（）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取 5 只进行病理分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取 3 只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到 2 只为未注射疫苗的小白鼠的概率附：K 2 ，na+b+
38、c+dP（K 2K 0） 0.05 0.01 0.005 0.001K0 3.841 6.635 7.879 10.828【分析】 （）根据题意列方程求出 x 的值，再计算 p、q 和 y 的值；（）由列联表中的数据计算 K2，对照临界值得出结论；（）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（）从未注射疫苗的小白鼠中任取 1 只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 ，则未感染的为 ，即 x40，解得 x100，p1004060；q1006040，y100；（）由列联表中数据，计算 K2 810.828，没有 99.9%把握认为注射此种疫苗有效；（）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗
39、和注射疫苗的比例抽取 5 只，未注射疫苗的有 3 只，记为 a、b、c，注射疫苗的有 2 只，记为 D、E，从这 5 只小白鼠中随机抽取 3 只，基本事件为：abc、abD、abE、acD 、acE、aDE、bcD 、bcE 、bDE 、cDE 共 10 种不同的取法，则至少抽到 2 只为未注射疫苗的基本事件是 abc、abD 、 abE、acD 、acE、bcD、bcE 共7 种，故所求的概率为 P 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题20 （12 分）已知抛物线 C： y24x 的焦点为 F，过 F 的直线 1 与抛物线 C 交于 A
40、，B 两点，第 21 页（共 25 页）过 A，B 分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为 M，N，R 为准线上一点（）若 ARFN，求 的值；（）若点 R 为线段 MN 的中点，设以线段 AB 为直径的圆为圆 E，判断点 R 与圆 E 的位置关系【分析】 （） 设 l 的方程为 xmy +1A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，可得 ，直线 AR 的方程为 ，可得 yR + +y1+ +y1 ，求得点 R 是 MN 的中点即可（）由抛物线定义可得 ER r即点 R 在圆 E 上【解答】解（） 设 l 的方程为 xmy +1A（x 1，y 1） ，B（x 2
41、，y 2） ，可得 y由 得 y24my40，可知 y1+y24m，y 1y24可知 F（ ，0） ，N（ ， y2）ARFN， 直线 AR 的方程为 ，令 x 可得 yR + +y1 + +y1 ，点 R 是 MN 的中点， ；第 22 页（共 25 页）（）点 R 为线段 MN 的中点，以线段 AB 为直径的圆为圆 E，ERMN由抛物线定义可得 ER r点 R 在圆 E 上【点评】本题主要考查抛物线的定义和性质，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）（e x2a）e x，g（x）4a 2x（）设 h（x）f（x）g（x） ，试讨
42、论 h（x）在定义域内的单调性；（）若函数 yf（x）的图象恒在函数 yg（x）图象的上方，求 a 的取值范围【分析】 （）h（x）f（x）g（x）（e x2a）e x4a 2xe 2x2ae x4a 2x，求其导函数，然后分 a0，a0，a0 三类研究函数的单调性；（）函数 yf（x）的图象恒在函数 yg（x）图象的上方，即 h（x）f（x）g（x）（e x2a）e x4a 2xe 2x2ae x4a 2x0当 a0 时，h（x）0 在（，+）上恒成立，符合题意；再分别求出 a0 时与 a0 时函数 h（x）在（，+）上的最小值，由最小值大于 0 求解 a 的取值范围【解答】解：（）h（x）
43、f （x）g（x）（e x2a）e x4a 2xe 2x2ae x4a 2x，h（x）2e 2x2ae x4a 22（e x+a） （e x2a） 当 a0 时，h（x）0，函数 h（x）在（，+）上为增函数；当 a0 时，由 h（x）0，得 xln2a，则当 x（ ，ln2a）时，h（x）0，当 x（ln 2a，+）时，h（x）0，h（x）在（，ln2a）上单调递减，在（ln 2a，+）上单调递增；当 a0 时，由 h（x）0，得 xln（a） ，则当 x（ ，ln（a） ）时，h（x）0，当 x（ln（a） ，+）时，h（x）0，h（x）在（，ln（a） ）上单调递减，在（ln （ a）
44、，+）上单调递增第 23 页（共 25 页）（）函数 yf（x）的图象恒在函数 yg（x）图象的上方，即 h（x）f（ x）g（x）（e x2a）e x4a 2xe 2x2ae x4a 2x0当 a0 时，h（x）e 2x0 在（，+）上恒成立，符合题意；当 a0 时，h（x）在（，+）上的最小值为h（ln2a）e 2ln2a2ae ln2a4a 2ln2a4a 2ln2a由4a 2ln2a0，得 ln2a0，即 0 ；当 a0 时，h（x）在（，+）上的最小值为h（ln（a） ）e 2ln（a） 2ae ln（a） 4a 2ln（a）3a 24a 2ln（a） 由 3a24a 2ln（a）0
45、，得 a0若函数 yf（ x）的图象恒在函数 yg（x）图象的上方，则 a 的取值范围为（ ， ） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，属难题选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多选，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知曲线 C1：x 2+（y 3） 29，A 是曲线 C1 上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O 为中心，将点 A 绕点 O 逆时针旋转90得到点 B，设点 B 的轨迹方程为曲线 C2（）求曲线 C1，C 2 的极坐标
46、方程；（）射线 （ 0）与曲线 C1，C 2 分别交于 P，Q 两点，定点 M（4，0） ，求MPQ 的面积【分析】 （）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换和图象的旋转问题求出结果（）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果【解答】1 解：（）知曲线 C1：x 2+（y 3） 29，整理得：x 2+y26y +99，转换为极坐标方程为：6sin ，第 24 页（共 25 页）A 是曲线 C1 上的动点，以极点 O 为中心，将点 A 绕点 O 逆时针旋转 90得到点 B，设点 B 的轨迹方程为曲线 C2所以得到的直角坐标方程为：（x+3） 2+y29，转换为极坐标方程为：6cos
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