1、2019 年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1 （5 分）若复数 （a R）的实部和虚部相等，则实数 a 的值为（ ）A1 B1 C D2 （5 分）已知集合 Mx | 3x4，N x|x22x 80，则（ ）AMN R BM N x|3x4CMNx |2x4 DMNx|2x43 （5 分）已知矩形 ABCD 中，BC2AB4，现向矩形 ABCD 内随机投掷质点 M，则满足 0 的概率是（ ）A B C D4 （5 分）下列函数既是奇函数，又在
2、1，1 上单调递增的是（ ）Af（x）|sinx| Bf（x ）lnCf（x） （e xe x ） Df（x ）ln（ x）5 （5 分）在ABC 中，三边长分别为 a，a+2 ，a+4，最小角的余弦值为 ，则这个三角形的面积为（ ）A B C D6 （5 分）如图，在ABC 中， ，P 是 BN 上一点，若 t + ，则实数 t的值为（ ）A B C D第 2 页（共 29 页）7 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F 2，实轴长为 6，渐近线方程为 y x，动点 M 在双曲线左支上，点 N 为圆 E：x 2+（y+ ）
3、21 上一点，则|MN|+|MF 2|的最小值为（ ）A8 B9 C10 D118 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+） （0， ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ，若将函数 f（x ）的图象向左平移 后得到偶函数 g（x）的图象，则函数 f（x）的一个单调递减区间为（ ）A B C0 ， D 9 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A16 +（32+16 +16 ） B16 +（16+16 +16 ）C16 +（32+32 +32 ） D16 +（ 16+32 +32 ）10
4、 （5 分）已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 中的底面为等腰直角三角形，ABAC ，点 M，N分别是边 AB1， A1C 上动点，若直线 MN平面 BCC1B1，点 Q 为线段 MN 的中点，则Q 点的轨迹为（ ）A双曲线的一支（一部分） B圆弧（一部分）C线段（去掉一个端点） D抛物线的一部分11 （5 分）抛物线 x22py （p0）的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB60，过弦 AB 的中点 C 作该抛物线准线的垂线 CD，垂足为 D，则的最小值为（ ）第 3 页（共 29 页）A B1 C D212 （5 分）已知函数 f（x ）
5、，设 AxZ| x（f （x）a）0，若 A 中有且仅有 4 个元素，则满足条件的整数 a 的个数为（ ）A31 B32 C33 D34二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的13 （5 分）已知（ ） n 的展开式的各项系数和为 64，则展开式中 x3 的系数为 14 （5 分）已知变量 x，y 满足 ，则 z 的取值范围是 15 （5 分） 中国诗词大会 （第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗
6、诵，别有韵味，若沁园春长沙 、 蜀道难 、 敕勒歌 、 游子吟 、 关山月 、 清平乐六盘山排在后六场，且蜀道难排在游子吟的前面， 沁园春长沙与清平乐六盘山不相邻且均不排在最后，则六场的排法有 种 （用数字作答） 16 （5 分）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动，点 B 恰好经过原点设顶点P（x，y ）的轨迹方程是 yf（x ） ，则对函数 yf（x ）有下列判断： 函数 yf（x）是偶函数；对任意的 xR，都有 f（x +2）（x 2）函数 yf（x）在区间2，3上单调递减；函数 yf（x ）的值域是0 ，1； f（x）dx 其中判断正确的
7、序号是 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个考生都必须作答第 223 题为选考题，考生根据要求作答本小题满分 60 分17 （12 分）已知数列a n为等比数列，首项 a14，数列 bn满足 bnlog 2an，且b1+b2+b312（I）求数列 an的通项公式第 4 页（共 29 页）（）令 cn +an，求数列c n的前 n 项和 Sn18 （12 分） 已知四棱锥中 PABCD，底面 ABCD 为菱形，ABC60，PA平面 ABCD，E、M 分别是 BC、PD 上的中点，直
8、线 EM 与平面 PAD 所成角的正弦值为，点 F 在 PC 上移动（）证明：无论点 F 在 PC 上如何移动，都有平面 AEF平面 PAD（）求点 F 恰为 PC 的中点时，二面角 CAFE 的余弦值19 （12 分）2012 年 12 月 18 日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的 74 个城市之一，郑州市正式发布 PM2.5 数据资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有 9 个监测站点监测空气质量指数（AQI） ，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有 2，5，2 个监测站点，以 9 个站点测得的 AQI 的平均值为依
9、据，播报我市的空气质量（）若某日播报的 AQI 为 118，已知轻度污染区 AQI 的平均值为 74，中度污染区 AQ的平均值为 114，求重度污染区 AQI 的平均值；（）如图是 2018 年 11 月的 30 天中 AQI 的分布，11 月份仅有一天 AQI 在170，180）内组数 分组 天数第一组 50，80） 3第二组 80，110） 4第三组 110，140） 4第四组 140，170） 6第五组 170，200） 5第六组 200，230） 4第 5 页（共 29 页）第七组 230，260） 3第八组 260，290） 1郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的
10、AQI 为标准，如果AQI 小于 180，则去进行社会实践活动以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；在“ 创建文明城市 ”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取 3 天的数据进行评价，设抽取到的 AQI 不小于 180 的天数为 X，求 X 的分布列及数学期望20 （12 分）设 M 点为圆 C：x 2+y24 上的动点，点 M 在 x 轴上的投影为 N动点 P 满足2 ，动点 P 的轨迹为 E（）求 E 的方程；（）设 E 的左顶点为 D，若直线 l：ykx+m 与曲线 E 交于两点 A，B（A，B 不是左右顶点） ，且满足
11、| | |，求证：直线 l 恒过定点，并求出该定点的坐标21 （12 分）已知函数 f（x ）x 28x+alnx（aR） （I）当 x1 时，f（x ）取得极值，求 a 的值并判断 x1 是极大值点还是极小值点；（）当函数 f（x ）有两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，且 x11 时，总有t（4+3 x1x ）成立，求 t 的取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知曲线 C1：x 2+（y 3） 29，A 是曲线 C1 上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O 为中心，将点 A 绕点 O 逆时针旋转90得到点 B，设点 B
12、的轨迹方程为曲线 C2（）求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；（）射线 （ 0）与曲线 C1，C 2 分别交于 P，Q 两点，定点 M（4，0） ，求MPQ 的面积选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|3x 2 a|+|2x2|（a R） （）当 a 时，解不等式 f（x ）6；第 6 页（共 29 页）（）若对任意 x0R，不等式 f（x 0）+3x 04+|2x 02| 都成立，求 a 的取值范围第 7 页（共 29 页）2019 年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
13、有项是符合题目要求的1 （5 分）若复数 （a R）的实部和虚部相等，则实数 a 的值为（ ）A1 B1 C D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数 a 的值【解答】解：复数 的实部和虚部相等， ，解得 a 故选：C【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2 （5 分）已知集合 Mx | 3x4，N x|x22x 80，则（ ）AMN R BM N x|3x4CMNx |2x4 DMNx|2x4【分析】先分别求出集合 M， N，由此能求出 MN 和 MN【解答】解：集合 Mx |3x4，Nx| x22x8
14、0x |2 x4 ，MN x|3x 4，MN x|2x 4故选：D【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3 （5 分）已知矩形 ABCD 中，BC2AB4，现向矩形 ABCD 内随机投掷质点 M，则满足 0 的概率是（ ）A B C D【分析】建立以点 B 为坐标原点，BC，BA 所在直线为 x 轴，y 轴的直角坐标系得：B（0，0） ，C（4，0） ，A（0，2） ，D（4，2）第 8 页（共 29 页）设 M（x，y） ，则 （x，y ） ， （4x，y） ，由 0 得：（x2）2+y24，由其几何意义和几何概型可得解【解答】
15、解：建立如图所示的直角坐标系，则 B（0，0） ，C（4，0） ，A（0，2） ，D（4，2）设 M（x，y） ，则 （x，y ） ， （4x，y） ，由 0 得：（x2） 2+y24，由几何概型可得：p 1 ，故选：B【点评】本题考查了向量的数量积运算及几何概型，属中档题4 （5 分）下列函数既是奇函数，又在1，1 上单调递增的是（ ）Af（x）|sinx| Bf（x ）lnCf（x） （e xe x ） Df（x ）ln（ x）【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及（1，1）上的单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于 A，f（x）|sin x
16、|，为偶函数，不符合题意；对于 B，f（x）ln ，其定义域为（ e ，e） ，有 f（ x）ln ln f（x） ，为奇函数，设 t 1+ ，在（ e ，e）上为减函数，而 ylnt 为增函数，则 f（x）ln 在（e ， e）上为减函数，不符合题意；第 9 页（共 29 页）对于 C，f（x ） （e xe x） ，有 f（x ） （e x ex） （e xe x ）f（x） ，为奇函数，且 f（x） （e x+ex ） 0，在 R 上为增函数，符合题意；对于 D，f（x）ln（ x） ，其定义域为 R，f（x）ln（ +x） ln （ x）f（x） ，为奇函数，设 t x ，ylnt，t
17、 在 R 上为减函数，而 ylnt 为增函数，则 f（x）ln（ x ）在 R 上为减函数，不符合题意；故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题5 （5 分）在ABC 中，三边长分别为 a，a+2 ，a+4，最小角的余弦值为 ，则这个三角形的面积为（ ）A B C D【分析】设最小角为 ，故 对应的边长为 a，然后利用余弦定理化简求解即可得 a 的值，再由三角形面积公式求解即可【解答】解：设最小角为 ，故 对应的边长为 a，则 cos ，解得 a3最小角 的余弦值为 ， 故选：A【点评】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的
18、应用，是基础题6 （5 分）如图，在ABC 中， ，P 是 BN 上一点，若 t + ，则实数 t的值为（ ）第 10 页（共 29 页）A B C D【分析】由题意，可根据向量运算法则得到 +（1m） ，从而由向量分解的唯一性得出关于 t 的方程，求出 t 的值【解答】解：由题意及图， ，又， ，所以 ， +（1m） ，又 t + ，所以 ，解得 m ，t ，故选：C【点评】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题难度较低，7 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F 2，实轴长为 6，渐近线方程为
19、 y x，动点 M 在双曲线左支上，点 N 为圆 E：x 2+（y+ ）21 上一点，则|MN|+|MF 2|的最小值为（ ）A8 B9 C10 D11【分析】求得双曲线的 a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接 EF1，交双曲线于 M，圆于 N，计算可得所求最小值【解答】解：由题意可得 2a6，即 a3，渐近线方程为 y x，即有 ，即 b1，可得双曲线方程为 y 21，焦点为 F1（ ，0） ，F 2， （ ，0） ，第 11 页（共 29 页）由双曲线的定义可得|MF 2|2a+|MF 1|6+|MF 1|，由圆 E：x 2+（y +
20、 ） 21 可得 E（0， ） ，半径 r1，|MN|+|MF2|6+|MN|+|MF 1|，连接 EF1，交双曲线于 M，圆于 N，可得|MN |+|MF1|取得最小值，且为 |EF1| 4，则则|MN |+|MF2|的最小值为 6+419故选：B【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题8 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+） （0， ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ，若将函数 f（x ）的图象向左平移 后得到偶函数 g（x）的图象，则函数 f（x）的一个单调递减区间为（ ）A B
21、 C0 ， D 【分析】首先利用函数的图象确定函数的关系式，进一步求出函数的单调区间，再根据所求的区间的子集关系确定结果【解答】解：函数 f（x ）sin（x+） （0， ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ，则：T，所以： 2将函数 f（x）的图象向左平移 后，第 12 页（共 29 页）得到 g（x）sin（2x+ +）是偶函数，故： （kZ） ，解得： （kZ） ，由于： ，所以：当 k0 时 则 ，令： （kZ） ，解得： （kZ） ，当 k0 时，单调递减区间为： ，由于 ，故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质周期性和单调性的应用，主要
22、考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型9 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A16 +（32+16 +16 ） B16 +（16+16 +16 ）C16 +（32+32 +32 ） D16 +（ 16+32 +32 ）【分析】首先把三视图进行复原，进一步求出各个几何体的表面积，最后确定总面积【解答】解：根据几何体的三视图得到：该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，第 13 页（共 29 页）故：上面的正方体的表面积为： ，设中间的圆锥展开面的圆心角为 n，所以： ，解得：n ，所以圆锥的展
23、开面的面积为 S ，所以：中间的圆锥的表面积为 ，同理得：下面的圆锥的表面积为 ，所以总面积为：S ，故选：A【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，主要考查几何体的体积公式的应用和运算能力的应用，属于中档题10 （5 分）已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 中的底面为等腰直角三角形，ABAC ，点 M，N分别是边 AB1， A1C 上动点，若直线 MN平面 BCC1B1，点 Q 为线段 MN 的中点，则Q 点的轨迹为（ ）A双曲线的一支（一部分） B圆弧（一部分）C线段（去掉一个端点） D抛物线的一部分【分析】画出图形，利用直线与平面平行以及垂直关系，然后推出 Q 点的轨迹为线
24、段【解答】解：如图当 N 与 C 重合，M 与 B1 重合时， MN平面 BCC1B1，MN 的中点为 O；当 N 与 A1 重合，M 与 A 重合时，MN平面 BCC1B1，MN 的中点为 H；一般情况，如平面 PQRK平面 BCC1B1，可得点 M，N ，取 MN 的中点 D，作 DEKR 于 E，NFKR 于 F，易知，E 为 KR 中点，且 D 在 OH 上，第 14 页（共 29 页）故选：C【点评】本题考查直线与平面的位置关系的应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力11 （5 分）抛物线 x22py （p0）的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB6
25、0，过弦 AB 的中点 C 作该抛物线准线的垂线 CD，垂足为 D，则的最小值为（ ）A B1 C D2【分析】设|AF|a，| BF|b，连接 AF、BF由抛物线定义得 2|CD|a+b，由余弦定理可得|AB| 2（a+ b） 23ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|AF|a，| BF|b，由抛物线定义，得|AF| AQ|，|BF |BP|在梯形 ABPQ 中， 2| CD|AQ|+|BP| a+b由余弦定理得，|AB|2a 2+b2 2abcos60a 2+b2ab配方得，|AB| 2（a+ b） 23 ab，又ab（ ） 2，（a
26、+b） 23ab（a+ b） 2 （a+ b） 2 （a+b） 2第 15 页（共 29 页）得到|AB| （a+ b）|CD| 1，即 的最小值为 1故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，利用抛物线的定义和余弦定理求 的最值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题12 （5 分）已知函数 f（x ） ，设 AxZ| x（f （x）a）0，若 A 中有且仅有 4 个元素，则满足条件的整数 a 的个数为（ ）A31 B32 C33 D34【分析】由 x0A ，画出函数图象，x（f （x）a）0 等价于当 x0 时，f（x）a；
27、当 x0 时，af（x） ，平移 ya，符合条件的整数根，除零外有三个即可，由此能求出满足条件的整数 a 的个数【解答】解：x0A ，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可画出 f（x）的图象如下图：当 x0 时，f（ x）a；当 x0 时，af （x） 即 y 轴左侧的图象在 ya 下面，y 轴右侧的图象在 ya 上面，f（3）39+18 9， f（4）316+2424 ，f（3）（3） 33（ 3） 2+44，f （4） （4） 33（4）2+420，第 16 页（共 29 页）平移 ya，由图可知：当24a9 时，A1， 2，3 ，符合题意；a0 时，A1，1，2，符合题意；2a3 时
28、，A1，1， 2，符合题意；4a20 时，A1，2 ，3 ，符合题意；整数 a 的值为23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，13，12，11，10，9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共 34 个故选：D【点评】本题考查不等式的整数解的个数的求示，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的13 （5 分）已知（ ） n 的展开式的各项系数和为 64，则展开式中 x3 的系数为 20 【分析】先利用二
29、项式系数的性质求得 n6，在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于，3，求出 r 的值，即可求得展开式中 x3 的系数【解答】解：令 x1，可得（ ） n 的展开式的各项系数和为 2n64，n6，故（ ） n（ ） 6 的展开式的通项公式为 Tr+1 x3r6 ，令 3r63，可得 r3，故展开式中 x3 的系数为 20，第 17 页（共 29 页）故答案为：20【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题14 （5 分）已知变量 x，y 满足 ，则 z 的取值范围是 13，4 【分析】由约束条件作出可行域，再由 z 的几何意义求解
30、得答案【解答】解：由变量 x，y 满足 作出可行域如图：A（2，3） ， 解得 B（ ， ） ，z 的几何意义为可行域内动点与定点 D（3，1）连线的斜率k DA 4，k DB 13z 的取值范围是13 ，4 故答案为：13，4【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题15 （5 分） 中国诗词大会 （第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，第 18 页（共 29 页）若沁园春长沙 、 蜀道难 、 敕勒歌 、 游子吟 、 关山月 、 清平乐六盘山排在后六场，且蜀道难排在游子吟的前
31、面， 沁园春长沙与清平乐六盘山不相邻且均不排在最后，则六场的排法有 144 种 （用数字作答） 【分析】由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共 4（种） ，相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按 A 与 F 不相邻排序，共 72（种）排法，定序问题用倍缩法求解即可 B 排在 D 的前面，只需除以 即可，【解答】解：沁园春长沙 、 蜀道难 、 敕勒歌 、 游子吟 、 关山月 、 清平乐六盘山 ，分别记为 A，B，C，D，E，F，由已知有 B 排在 D 的前面， A 与 F 不相邻且不排在最后第一步：在 B，C，D，E 中选一个排在最后，共 4（种）选法第二步：将剩余五个节目按 A 与 F 不相邻
32、排序，共 72（种）排法，第三步：在前两步中 B 排在 D 的前面与后面机会相等，则 B 排在 D 的前面，只需除以2 即可，即六场的排法有 4722144（种）故答案为：144【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题16 （5 分）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动，点 B 恰好经过原点设顶点P（x，y ）的轨迹方程是 yf（x ） ，则对函数 yf（x ）有下列判断： 函数 yf（x）是偶函数；对任意的 xR，都有 f（x +2）（x 2）函数 yf（x）在区间2，3上单调递减；函数 yf（x ）的值域是0 ，1； f（x）dx 其中判断正确的序号是 【
33、分析】根据正方形的运动，得到点 P 的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进第 19 页（共 29 页）行判断即可【解答】解：当2x1，P 的轨迹是以 A 为圆心，半径为 1 的 圆，当1x1 时，P 的轨迹是以 B 为圆心，半径为 的 圆，当 1x2 时，P 的轨迹是以 C 为圆心，半径为 1 的 圆，当 3x4 时，P 的轨迹是以 A 为圆心，半径为 1 的 圆，函数的周期是 4因此最终构成图象如下：，根据图象的对称性可知函数 yf（x ）是偶函数，故正确；，由图象即分析可知函数的周期是 4即 f（x+4）f（x ） ，即 f（x+2）f（x 2） ，故 正确；，函数 yf（x ）在区间
34、2，3上单调递增，故错误；，由图象可得 f（x ）的值域为 0， ，故 错误；，根据积分的几何意义可知 f（x）dx （ ）2+ 11+ 12 + ，故正确故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个考生都必须作答第 223 题为选考题，考生根据要求作答本小题满分 60 分17 （12 分）已知数列a n为等比数列，首项 a14，数列 bn满足 bnlog 2an，且b1+b2+b312第 2
35、0 页（共 29 页）（I）求数列 an的通项公式（）令 cn +an，求数列c n的前 n 项和 Sn【分析】 （I）设等比数列的公比为 q，运用对数的运算性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到公比，可得所求通项公式；（）b nlog 2anlog 24n2n，c n +an +4n +4n，运用分组求和和裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（I）数列a n为等比数列，首项 a14，公比设为 q，数列b n满足 bnlog 2an，且 b1+b2+b312，即有 log2a1+log2a2+log2a312，log2（a 1a2a3）12，即 a23 212，即有 a216，q4，则
36、an4 n；（）b nlog 2anlog 24n2n，cn +an +4n +4n，前 n 项和 Sn（1 + + ）+（4+16+4 n）1 + + 【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题18 （12 分） 已知四棱锥中 PABCD，底面 ABCD 为菱形，ABC60，PA平面ABCD， E、M 分别是 BC、PD 上的中点，直线 EM 与平面 PAD 所成角的正弦值为 ，点 F 在 PC 上移动（）证明：无论点 F 在 PC 上如何移动，都有平面 AEF平面 PAD（）求点 F 恰为
37、PC 的中点时，二面角 CAFE 的余弦值第 21 页（共 29 页）【分析】 （）推导出 AEPA，AE AD ，从而 AE平面 PAD，由此能证明无论点 F在 PC 上如何移动，都有平面 AEF平面 PAD（）以 A 为原点，AE 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 CAFE 的余弦值【解答】证明：（）四棱锥中 PABCD，底面 ABCD 为菱形，ABC60，PA平面 ABCD，E、M 分别是 BC、PD 上的中点，AEPA，AEAD，PAAD A，AE平面 PAD，点 F 在 PC 上移动，AE 平面 AEF，无论点 F 在 PC
38、上如何移动，都有平面 AEF平面 PAD解：（）直线 EM 与平面 PAD 所成角的正弦值为 ，点 F 恰为 PC 的中点时，以 A 为原点，AE 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 AB2，APx ，则 E（ ，0，0） ，M （0，1， ） ，（ ） ，平面 PAD 的法向量 （1，0，0） ，|cos | ，解得 xAP2，C（ ，1，0） ，A（0，0， 0） ，P （0，0，2） ，E（ ，0，0） ，F（ ） ，（ ） ， （ ） ， （ ） ，设平面 ACF 的法向量 （x，y，z） ，第 22 页（共 29 页）则 ，取 x1，得 （1， ，
39、0） ，设平面 AEF 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 y2，得 （0，2，1） ，设二面角 CAFE 的平面角为 ，则 cos 二面角 CAFE 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）2012 年 12 月 18 日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的 74 个城市之一，郑州市正式发布 PM2.5 数据资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有 9 个监测站点监测空气质量指数（AQI） ，其中在轻度污染区、
40、中度污染区、重度污染区分别设有 2，5，2 个监测站点，以 9 个站点测得的 AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量（）若某日播报的 AQI 为 118，已知轻度污染区 AQI 的平均值为 74，中度污染区 AQ的平均值为 114，求重度污染区 AQI 的平均值；（）如图是 2018 年 11 月的 30 天中 AQI 的分布，11 月份仅有一天 AQI 在第 23 页（共 29 页）170，180）内组数 分组 天数第一组 50，80） 3第二组 80，110） 4第三组 110，140） 4第四组 140，170） 6第五组 170，200） 5第六组 200，230） 4第七组 23
41、0，260） 3第八组 260，290） 1郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的 AQI 为标准，如果AQI 小于 180，则去进行社会实践活动以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；在“ 创建文明城市 ”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取 3 天的数据进行评价，设抽取到的 AQI 不小于 180 的天数为 X，求 X 的分布列及数学期望【分析】 （）设重度污染区 AQI 的平均值为 x，利用加权平均数求出 x 的值；（） 由题意知 11 月份 AQI 小于 180 的天数，计算所求的概率即可；由题意知随机
42、变量 X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值【解答】解：（）设重度污染区 AQI 的平均值为 x，则742+1145+2x1189，解得 x172；（） 11 月份仅有一天 AQI 在170，180）内，则 AQI 小于 180 的天数为 18 天，则该校周日去进行社会实践活动的概率为 P ；由题意知，随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3；计算 P（X 0） ，第 24 页（共 29 页）P（X1） ，P（X2） ，P（X3） ，X 的分布列为：X 0 1 2 3P数学期望为 E（X）0 +1 +2 +3 【点评】本题考查了平均数与离散型随机变量的分布列和数学期望计
43、算问题，是基础题20 （12 分）设 M 点为圆 C：x 2+y24 上的动点，点 M 在 x 轴上的投影为 N动点 P 满足2 ，动点 P 的轨迹为 E（）求 E 的方程；（）设 E 的左顶点为 D，若直线 l：ykx+m 与曲线 E 交于两点 A，B（A，B 不是左右顶点） ，且满足| | |，求证：直线 l 恒过定点，并求出该定点的坐标【分析】 （）设 P（x ，y ） ， M（x 0，y 0） ，由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程；（2）由向量条件结合矩形对角线相等可得 DA，DB 垂直，斜率之积为 1，再联立直线与椭圆方程，得根于系数关系，逐步求解得证【解答】解
44、：（）设 P（x，y ） ，M （x 0，y 0） ，则 N（x 0，0） ， ， ， ，x 0x， ，代入圆的方程得， ，第 25 页（共 29 页）即 ，故动点 P 的轨迹为 E 的方程为：；（）证明：由（）知，D（2，0） ， ，DADB ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 消去 y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m2120， ， ，y 1y2（kx 1+m） （kx 2+m） ，由 DADB 得：，即y 1y2x 1x2+2（x 1+x2）+4，由得： 0，把代入 并整理得： 7m216km+4 k20，得：（7m2k） （m2k ）0，即 m 或 m2
45、k ，故直线 l 的方程为 yk（x+ ） ，或 yk（x +2） ，当直线 l 的方程为 yk（x+ ）时，l 过定点（ ） ；第 26 页（共 29 页）当直线 l 的方程为 yk（x+2）时，l 过定点（2，0） ，这与 A，B 不是左顶点矛盾故直线 l 的方程为 yk（x+ ） ，过定点（ ） 【点评】此题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，难度较大21 （12 分）已知函数 f（x ）x 28x+alnx（aR） （I）当 x1 时，f（x ）取得极值，求 a 的值并判断 x1 是极大值点还是极小值点；（）当函数 f（x ）有两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，且 x11 时，总有t（4+3 x1x ）成立，求 t 的取值范围【分析】 （）求出函数的导数，求出 a 的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（）求出函数极值点，问题转化为 2lnx1+ 0，根据 0x 11 时，0.1x 12 时， 0即 h（x）2lnx + （0x2） ，通过讨论t 的范围求出函数的单调性，从而确定 t 的范围即可【解答】解：（I）f（x ）2x 8+ ， （x 0） ，当 x1 时，f（x）取得极值，f（1）28+a0，解得 a6，此时，f（x） x28+6lnx，f（x ）2x8+ ，令 f（x）0 ，解得：x3 或 x1，令 f（x）0，解得：1x3
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