1、单元训练金卷高三数学卷（B ）第 9 单 元 空 间 中 的 位 置 关 系 与 体 积 、 表 面 积注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答
2、： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1对于任意的直线 与平面 ，在平面 内必有直线 ，使 与 （ ）lmlA平行 B相交 C垂直 D异面2圆台上底半径为 2，下底半径为 6，母线长为
3、5，则圆台的体积为（ ）A B C D40502133如图，正方体 中， 为棱 的中点，用过点 、 、 的平面截去1ACDE1BAE1C该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ）A B C D4如图，正方体 中， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，则直线 ， 所成角的大小为（ ）A B C D64325已知两个平面相互垂直，下列命题一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A1 B2 C
4、3 D46下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为（ ）A12 B15 C D4035037古希腊数学家阿基米德构造了一个“圆柱容器”的几何体：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上，下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（ ）A B C 或 D234323328矩形 中， ， ，沿 将 矩形折起，使面 面 ，则四面体的外接球的体积为（ ）A B C D1256125912512539在正方体 中， 为棱 上一点，且 ， 为棱 的中点，1ABCDECD2EDF1A且平面 与 交于点 ，则 与平面 所成角的正切值为（ ）FG1BAA B
5、C D2126525610如图，一个正四棱锥 和一个正三棱锥 ，所有棱长都相等， 为棱的中点，将 、 、 分别对应重合为 ，得到组合体关于该组合体有如下三个结论： ； ； ，其中错误的个数是（ ）A B C D11以棱长为 1 的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为（ ）A B C D23131412在三棱锥 中， 平面 ， ，则三棱锥 的PACAB2,30APSB PABC外接球体积的最小值为（ ）A B C D4436423第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13某长
6、方体的长、宽、高分别为 ， ， ，则该长方体的体积与其外接球的体积之2cm4c比为_14 “圆材埋壁 ”是我国古代数学著作九章算术中的一个问题：“ 今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何 ”用现在的数学语言表述是： “如图所示，一圆柱形埋在墙壁中， 尺， 为 的中点， ， 寸，则圆柱底面的直径长是1ABDABCD1_寸” （注：l 尺=10 寸）15已知两条不重合的直线 ， ，两个不重合的平面 ， ，有下列四个命题：mn若 ， ，则 ；mn 若 ， ，且 ，则 ； 若 ， ， ， ，则 ； n 若 ， ，且 ， ，则 mn其中所有正确命题的序号为_16已知三棱锥 的四
7、个顶点均在体积为 的球面上，其中 平面 ，底面 为正三角形，则三棱锥 体积的最大值为_三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （ 10 分）如图，在三棱柱 中， ，侧面 底面 ， ，1ABCABC1BACEF分别为棱 和 的中点BC1（1 ）求证： 平面 ；EF 1（2 ）求证：平面 平面 A1BC18 （ 12 分）如图，四棱锥 中，平面 平面 ABCD，E 为线段 AD 的中点，且PABCDPA 2AEDBC4C（1 ）证明：平面 平面 ；E（2 ）若 ，求三棱锥 的体积
8、 PA19 （ 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，PABCDABPCD平面 平面 ， ， ， ，PAC23（1 ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；GHGH（2 ）求证： 平面 ；PD（3 ）求直线 与平面 所成角的正弦值AC20 （ 12 分）在边长为 3 的正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上（如左图） ，且ABCDEFABC，将 ， 分别沿 ， 折起，使 ， 两点重合于点 （如右图） =BEFA F （1 ）求证： ；ADEF（2 ）当 时，求点 到平面 的距离13BCDEF21 （ 12 分）如图，长方体 中， ， ，点 ， ，1ABCD4ABC12E
9、F分别为 ， ， 的中点，过点 的平面 与平面 平行，且与长方体的面相M1C1MDEF交，交线围成一个几何图形（1 ）在图 1 中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由） ；（2 ）在图 2 中，求证： 平面 1DBEF22在菱形 中， ， 为线段 的中点（如图 1） 将 沿ABCD,3ABaOCDAODO折起到 的位置，使得平面 平面 ， 为线段 的中点（如图 2） DMB（1 ）求证： ；ODBC（2 ）求证： 平面 ；M A（3 ）当四棱锥 的体积为 时，求 的值B32a单 元 训 练 金 卷 高 三 数 学 卷 （ B）第 9 单 元 空 间 中 的 位 置 关
10、 系 与 体 积 、 表 面 积 答 案第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1 【 答案】C【解析】因为对于任意的直线 与平面 ，在平面 内必有直线 ，使 与 垂直，故选 Cmlml2 【 答案】B【解析】作出圆台的轴截面如图所示：上底面半径 ，下底面半径 ，过 做 垂直 ，则 ，2MD6NCDENC624由 ，故 ，即圆台的高为 3，5C3E所以圆台的体积为 故选 B22165V3 【 答案】A【解析】正方体 中，过点 的平面截去该正方体的上半
11、部分后，1BCDA1,AEC剩余部分的直观图如图：则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选 A4 【 答案】C【解析】连接 ，根据 ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，可得到 是三角形 的中位线，故得到 ，同理可得到 ，1MNAC 1BEF进而直线 ， 所成角的大小，可转化为 的夹角，三角形 ，三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，故得到 的夹角为 故答案为 C35 【 答案】B【解析】由题意，对于，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故错误；对于，设平面 平面 =m，n ，l ，平面 平面 ，当 lm 时，必有 l ，而 n，ln，而在平面
12、 内与 l 平行的直线有无数条，这些直线均与 n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即正确；对于，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故错误；对于，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故正确，故选 B6 【 答案】D【解析】由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高 为 5底面四边形可以分割成二个三角形，面积 ，142102S体积 ，故本题选 D1503VSh7 【 答案】D【解析】由已知可知，该几何体的轴截面如图所示，即圆柱的底面半径与球的半径 相等，高等于球的直
13、径 ，所以 23=4Vr圆 柱球故选 D8 【 答案】A【解析】设 与 的交点为 点，在矩形 中，可得 ，当沿 翻折后，上述等量关系不会发生改变，因为四面体 的外接球的球心到各顶点的距离相等，所以点 即为球心，在 中， ，故 ，52ROABCD所以球的体积为 ，故选 A341256VR9 【 答案】C【解析】因为平面 平面 ，所以 与平面 所成角，ABD 1C1BGACD即为 与平面 所成角，可知 与平面所成角为 1G1 1设 ，则 ， ，63F2E平面 面 且 面 ，可知 ，BE1CBF 1CDBFGE则 ，即 ， ，ADG62G15在 中， ，1BRt112tan6BD故 与平面 所成角的
14、正切值为 ，本题正确选项 C1GAC5210 【 答案 】A【解析】由于正四棱锥 和一个正三棱锥 ，所有的棱长都相等，可看作有两个相同的正四棱柱拼凑而成，如图所示：点对应正四棱锥的上底面中心 ， 点对应另一正四棱锥的上底面中心 ，由图形可知拼成一个三棱柱，设 为 的中点，由此可知 ，又因为 平面 ，所以 ，因为 ， ，所以 故选 A11 【 答案 】C【解析】正方体 C1 各面中心为顶点的凸多面体 C2 为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长 ，122a以 C2 各个面的中心为顶点的正方体为图形 C3 是正方体，正方体 C3
15、 面对角线长等于 C2 棱长的 ， （正三角形中心到对边的距离等于高的 ） ，23因此对角线为 ，所以 ，故选 C3321a12 【 答案 】D【解析】如图所示，设 ，由 的面积为 2，得 ，ACxP4PAx因为 ， 外接圆的半径 ，30BAC r因为 平面 ，且 ，P4x所以 到平面 的距离为 ，OABC12dPA设球 的半径为 R，则 ，当且仅当 时等号成立，2242rx2x所以三棱锥 的外接球的体积的最小值为 ，故选 DPABC3第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13 【 答案 】 6:3【解析】因为长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，2c
16、m4c所以其体积为 ，324=16V长 方 体其外接球直径为 ，故 ，2R6R所以其外接球体积为 ，3386cm球因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为 故答案为 1686:314 【 答案 】26【解析】 ， ， 寸， 寸，ABCDB10A5D在 中， ， ，ORt 22221O 寸，圆柱底面的直径长是 寸故答案为 2613615 【 答案 】【解析】逐一考查所给的命题：若 ， ，有可能 ，不一定有 ，题中的命题错误；mn nn若 ， ，且 ，由线面垂直的性质定理可得 ，题中的命题正确；m 若 ， ， ， ，若 ，有可能 与 相交，题中的命题错误； 若 ， ，且 ， ，由线面垂直的性质定
17、理可得 ，nn题中的命题正确，综上可得：正确命题的序号为16 【 答案 】9【解析】由球的体积公式可得 ，3463R不妨设底面正三角形的边长为 ，则 ，212sin603ABCSaa设棱锥的高为 h，由三棱锥的性质可得 ，解得 ，2239hR22163ha据此可得 2219PABCABVS32242168168813 649494aabca 故 ，当且仅当 ， 时等号成立2289综上可得，三棱锥 体积的最大值为 9三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 【 答案 】 （1）见
18、证明；（2 ）见证明【解析】 （1）取 的中点 ，连接 ， ，1ABGBF在 中，因为 ， 分别为 ， 的中点，1ABC FG1AC1B所以 ，且 ，1 12在三棱柱 中， ，11又 为棱 的中点，所以 且 ，EBCFGBE 从而四边形 为平行四边形，于是 ，又因为 面 ， 面 ，所以 平面 G1A1AF 1AB（2 ）证明：在 中，因为 ， 为 的中点，所以 ，BC CEEC又因为侧面 底面 ，侧面 底面 ，且 面 ，11BAB所以 平面 ，AE 1又 面 ，所以平面 平面 FAEF1C18 【 答案 】 （1）见证明；（2 ）4【解析】 （1）证明： PD，E 是 AD 的中点， PEAD
19、，又平面 A平面 ABCD，平面 平面 B， 平面 ABCD，又 C平面 ABCD， AC，又 PB， EPB， 平面 PBE，又 A平面 PAC，平面 平面 PAC（2 ）解：由（1）知 AC平面 PBE，故 ACBE，12BDE ，四边形 BCDE 是平行四边形， D， ， ACD， 4PA， 2ABC，2 3PE， 2BE，即 ， 112343PACDAVSPE19 【 答案 】 （1）见解析；（2 ）见解析；（3） 【解析】 （1）证明：连接 B，易知 ACBDH， ，又由 BGP，故 HD ，又因为 平面 A， 平面 PA，所以 GH 平面 PAD（2 ）证明：取棱 C的中点 N，连
20、接 ，依题意，得 NC，又因为平面 P平面 D，平面 C平面 ，所以 平面 PAC，又 A平面 ，故 PA，又已知 C， N，所以 平面 PD（3 ）解：连接 ，由（2）中 D平面 C，可知 DA为直线 与平面 PA所成的角因为 PC 为等边三角形， 2且 N为 的中点，所以 3DN，又 DNA，在 NDRt 中，3sinDNA，所以直线 与平面 PC所成角的正弦值为 20 【 答案 】 （1）见解析；（2 ）375【解析】 （1）由 ABD是正方形及折叠方式，得 AED， FA，EF， 平面 F， （2 ）13C， 2,3 ，7EFAS， 3DF，5DEFS，设点 到平面 的距离为 d，AD
21、EFAV，1133DEFAEFSS ，解得375d点 到平面 的距离为7521 【 答案 】 （1）见解析；（2 ）见解析【解析】 （1）设 N为 1AB的中点，连结 MN， A、 C、 ，如下图所示：则四边形 MNAC为所求几何图形，1 ， 四边形 NAC为梯形，且12MNAC，过 作 P于点 ，8423MC， 2ACMNP， 210PMCQ，梯形 NA的面积141065S（2 ）连接 1DB，交 EF于 Q，连接 D，则 Q为 EF的中点，且为 1DB的四等分点， 142DQ，由 1B平面 1CA可知 EF，又 D， 1， 平面 1B， 1EFDB，由12QB，得 11tantanQD，即
22、 1Q，1 90， B，又 DEF， 1平面 EF22 【 答案 】 （1）见解析；（2 ）见解析；（3） 2a【解析】 （1）证明：因为在菱形 ABCD中，3， O为线段 CD的中点，所以 ODA因为平面 平面 O，平面 平面 AB，平面 ，所以 平面 C因为 平面 ABC，所以 DB（2 ）证明：如图，取 P为线段 A的中点，连接 OP，PM，因为在 ABD 中， P， M分别是线段 AD， B的中点，所以 ，12因为 O是线段 C的中点，菱形 C中， a， ADC ，所以 12aD，所以 OAB ， 12所以 PM ， ，所以四边形 MP为平行四边形，所以 MOP ，因为 C平面 A， P平面 D，所以 C 平面 AD（3 ）由（1 ）知 OD平面 BC，所以 O是四棱锥 B的高，又 2328aaS， ，因为31316VOD，所以 2a
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