1、单元训练金卷高三数学卷（A）第 9 单 元 空 间 中 的 位 置 关 系 与 体 积 、 表 面 积注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ：
2、 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1已知 m， n为异面直线，直线 lm ，则 l与 n（ ）A一定异面 B一定相交 C不可能相交 D不可能平行2一个几何体的三视图如图所示，则该几何体
3、的直观图可以是（ ）A B C D3在正方体 1CDA中， 1与 BD所成角的余弦值是（ ）A12B2C3D324下列说法错误的是（ ）A垂直于同一个平面的两条直线平行B若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直5设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A若 ， ，则 B若 ， ，则C若 ， ， ， ，则 D若 ， ，则6若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A240 B264 C274
4、D2827已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）A 23B 49C 269D 8278已知三棱柱 的侧棱与底面垂直， 14ABAC， ，则三棱柱外接球的体积为（ ）A B C D9在九章算术中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除” ，现有一个羡除如图所示， 平面 ，四边形 ， 均为等腰梯形， ABCEF ， ， 到面 的距离为 6，则这个 “羡除” 体积是（ ）A96 B72 C64 D5810如图，平面四边形 ACD中， E， F是 A， B中点， 2AC，2BD， 90，将 沿对角线 折起至 ，使平面 BD，
5、则四面体 中，下列结论不正确的是（ ）A EF 平面 BC B异面直线 CD与 AB所成的角为 90C异面直线 与 A所成的角为 60D直线 与平面 所成的角为 311如图，在三棱柱 中， 底面 ，ACB =90，为 上的动点，则 的最小值为（ ）A B C5 D12体积为 的三棱锥 的顶点都在球 的球面上， 平面 ， 3C，则球 体积的最小值为（ ）A B C 13D 523第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为 1S，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为 2S，则 21S的值为_14圆柱形容器内部盛有高度为
6、 8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示） ，则球的半径是_cm 15设 m， n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列正确命题序号是 _（1 ）若 ， ，则 mn ；（2 ）若 ， ，则 ；（3 ）若 m， n且 ，则 ；（4 ）若 ， ，则 m ，16已知球 的半径为 3，圆 与圆 为该球的两个小圆，半径相等且所在平面互相垂直，圆 与圆的公共弦 的长为 ，点 是弦 的中点，则四边形 的面积为_三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程
7、 或 演 算 步 骤 17 （ 10 分）如图，在直三棱柱 1ABC中， ABC， 1A， D是棱 B的中点（1 ）求证： 11BCD 平 面 ；（2 ）求证： A18 （ 12 分）如图，在四棱锥 PABCD的底面 为矩形，点 P在底面 ABCD的射影 O落在 AD上（1 ）求证：平面 平面 ；（2 ）若 ,OM分别是 ,APB的中点，且 4,2,AA，求三棱锥 MPC的体积19 （ 12 分）已知空间几何体 ABCDE中， 与 CDE 均为边长为 2的等边三角形，ABC为腰长为 13的等腰三角形，平面 平面 B，平面 A平面 BCD（1 ）试在平面 内作一条直线，使直线上任意一点 F与 的
8、连线 均与平面 E平行，并给出详细证明；（2 ）求点 B到平面 AE的距离20 （ 12 分）如图所示，三棱柱 1ABC中， 90BCA， 1平面 1ABC（1 ）证明：平面 平面 ；（2 ）若 2BCA， 1，求点 1到平面 1的距离21 （ 12 分）已知三棱柱 ABC的底面 ABC是等边三角形，侧面 AC底面 B，D是棱 B的中点（1 ）求证：平面 DAC平面 A；（2 ）求平面 将该三棱柱分成上下两部分的体积比22 （ 12 分）已知三棱锥 PABC中， V为等腰直角三角形， 1ABC，5PBC，设点 E为 中点，点 D为 A中点，点 F为 P上一点，且 2FB（1 ）证明： /BD平
9、面 CEF；（2 ）若 PA，求三棱锥 PAB的表面积单 元 训 练 金 卷 高 三 数 学 卷 （ A）第 9 单 元 空 间 中 的 位 置 关 系 与 体 积 、 表 面 积 答 案第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1 【 答案】D【解析】若 ln ，因为直线 lm ，则可以得到 nm ，这与 m， 为异面直线矛盾，故 与 不可能平行，选项 D 正确，不妨设 ， 为正方体中的棱，即 为棱 AB， 为棱 FG，由图可知 EFAB ，而此时
10、EF与 G相交，故选项 A 错误，选项 C 也错误，当 l取 DC时， 与 异面，故选项 B 错误，故选 D2 【 答案】B【解析】通过三视图的俯视图可知，该几何体是由两个旋转体组成，故选 B3 【 答案】C【解析】如图：因为正方体中 1A与 B平行，所以 1BD即为 1A与 B所成角，设正方体棱长为 a，则 2a，在 1BDRt 中，113cosB，故选 C4 【 答案】D【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行，A 正确；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直，B 正确；由面面平行的判定定理知，一个平面内的两
11、条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C 正确；当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D 错误，故选 D5 【 答案】D【解析】若 ， ，则有可能 在面 内，故 A 错误；若 ， ， 有可能在面 内，故 B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故 C 错误；若 ， ， ，则由直线与平面平行的性质知 ，故 D 正确，故选 D6 【 答案】B【解析】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长 交 于 点，其中 ， ， ，所以表面积 34365263024S故选 B 项7 【 答案】B【解析】设圆锥底面圆半径为 R，球的半径为 r，
12、由题意知，圆锥的轴截面是边长为 2R 的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，所以 3rR，22344SrR球 的 表 面 积，23SR圆 锥 表 面 积，所以球与圆锥的表面积之比为2439，故选 B8 【 答案】D【解析】设 的外接圆圆心为 ， 的外接圆圆心为 ，球的球心为 ，因为三棱柱 的侧棱与底面垂直，所以球的球心为 的中点，且直线 与上、下底面垂直，且 12sin4OC，所以在 中， ，即球的半径为 ，所以球的体积为 34R，故选 D9 【 答案】C【解析】如图所示，多面体切割为两个三棱锥 EAGD，FHBC 和一个直三棱柱 GADHBC，因为 ，且 到平面 的距离为 6， ，
13、所以这个“羡除” 体积为 11246432V故选 C10 【 答案 】C【解析】A 选项：因为 E， F分别为 AD和 B两边中点，所以 EFAB ，即 EF 平面 B，A 正确；B 选项：因为平面 平面 C，交线为 ，且 CD，所以 平面 D，即 CD，故 B 正确；C 选项：取 边中点 M，连接 E， F，则 EMA ，所以 FE为异面直线 与 AC所成角，又 1， 2， 3，即 90，故 C 错误；D 选项：因为平面 BD平面 ，连接 F，则 ABD，所以 AF平面 CBD，连接 FC，所以 ACF为异面直线 E与 所成角，又 ， 2，又 2AFD，sin21AFC， 30ACF，D 正
14、确，故选 C11 【 答案 】C【解析】由题设知 为等腰直角三角形，又 平面 ，故 =90，将二面角 沿 展开成平面图形，得四边形 如图示，由此， 要取得最小值，当且仅当 三点共线，由题设知 ，由余弦定理得 12 【 答案 】B【解析】因为 PA平面 ABC，三棱锥 PABC 的体积为112333PABCABCABCVSS ，得 32ABCS ，另一方面 sin2AB ，可得 6，由余弦定理得 22 2cos3CABCABC26AB，当且仅当 时，等号成立，则 6AC，所以，ABC 的外接圆的直径的最小值为 22sin3r，则球 O 的半径的最小值为2PARr，因此球 O 的体积的最小值为 3
15、4故选 B第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13 【 答案 】 5【解析】设圆柱的底面圆的半径为 r，则高为 2r，则圆锥母线长为 245rr，所以 2124rSr， 5lS，所以 15，故填 14 【 答案 】4【解析】设球半径为 r，则由 3=V球 水 柱 ，可得322486rr，解得 4r15 【 答案 】 （3） （4）【解析】若 mn，则 与 n可能平行，相交或异面，故（1）错误；若 ， ，则 或 ，故（2）错误；若 ， 且 ，则 ，故（3）正确；若 ， ，由面面平行的性质可得 m ，故（4）正确，故答案为（3） （4） 16 【 答案
16、 】2【解析】圆 与圆 为该球的两个小圆半径相等，且所在平面互相垂直，可得四边形 OABC 为正方形，设正方形的边长为 x，小圆的半径为 r，在 中可得 ，在 中可得 ，即 ，解得 ，故四边形的面积为 ，故答案为 2三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 【 答案 】 （1）见解析；（2 ）见解析【解析】 （1）连接 AC1，设 AC1A1CO，连接 OD，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧面 ACC1A1 是平行四边形，所以 O 为 AC1 的中点，又因为 D 是棱
17、AB 的中点，所以 ODBC 1，又因为 BC1平面 A1CD，OD平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD（2 ）由（1 ）可知：侧面 ACC1A1 是平行四边形，因为 ACAA 1，所以平行四边形 ACC1A1 是菱形，所以 AC1A 1C，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1平面 ABC，因为 AB平面 ABC，所以 ABAA 1，又因为 ABAC，AC AA1A，AC 平面 ACC1A1，AA 1平面 ACC1A1，所以 AB平面 ACC1A1，因为 A1C平面 ACC1A1，所以 ABA 1C，又因为 AC1A 1C，AB AC1A，AB平面 ABC1，AC 1平面 AB
18、C1，所以 A1C平面 ABC1，因为 BC1平面 ABC1，所以 BC1A 1C18 【 答案 】 （1）见解析；（2 ）23【解析】 （1）依题意， PO平面 BD，又 AB平面 CD，所以 A又 ， ，所以 平面 P又 AB平面 P，所以平面 PAB平面 D（2 ）因为 O平面 C， 是 的中点，所以 PA 是等腰三角形，又 D， 2，所以 1因为 M是 PB的中点，所以 M到平面 P的距离等于点 B到平面 DC距离的一半，连接 BD，所以111241223233MPDCBPCBDCBDCVVSO 19 【 答案 】 （1）见解析；（2 ）491【解析】 （1）如图所示：取 BC 和 B
19、D 的中点 H、G ，连接 HG，HG 为所求直线，证明如下：因为 BC 和 BD 的中点 H、G，所以 /CD，又平面 CDE平面 B，且 EO， 平面 BCD，又平面 A平面 ， A，得 B平 面 ，所以 OH ，即 C 平 面 ，所以 GE平 面 平 面 ，所以直线 HG 上任意一点 F与 A的连线 均与平面 CDE平行（2 ）由（1 ）可得 A ，即 O 平面 ABC，所以点 E 到平面 ABC 的距离和点 O 到平面 ABC 的距离相等，记为132dH，三角形 ABC 的面积123S，而三角形 ACE 的面积194，用等体积法 EABCEV，可得 131924h， 439120 【
20、答案 】 （1）见解析；（2 ） 【解析】 （1）证明： 1平面 1ABC， 1，90BCA， ， 平面 A，又 平面 ， 平面 平面 1（2 ）取 的中点 D，连接 1A1AC， 1DA又平面 B平面 ，且交线为 C，则 1AD平面 BC1平面 1， 1， 四边形 为菱形， 1A又 AC， A 是边长为 2正三角形， 13，123BV， 1面 1BC， 1面 1BC， 1A 面 1BC，1 11 1 233ABCAABVV，设点 1到平面 1的距离为 h，则 11CABChS1ACB， 12AB， 112AB， 3h所以点 到平面 的距离为 321 【 答案 】 （1）见证明；（2 ）1：1
21、【解析】 （1）取 ,AC的中点 ,OF，连接 与 CA交于点 E，连接 DE， OBF，则 E为 的中点， B ，且 ，所以 是平行四边形又 是棱 的中点，所以 DOB 侧面 AC底面 ，且 AC，所以 平面 AC所以 DE平面 ，又 平面 ，所以平面 D平面 （2 ）连接 AB，设三棱柱 CAB的体积为 V故四棱锥 ABC的体积123ABCVV，又 D是棱 的中点， D 的面积是 面积的 4，故四棱锥 ABC的体积32143ABCABCVV ，故平面 将该三棱柱分成上下两部分的体积比为 1:122 【 答案 】 （1）见证明；（2 ）4【解析】 （1）连接 PD交 CE于 G点，连接 F，点 E为 PA中点，点 D为 AC中点， 点 G为 PAC的重心， 2PGD，2FB， G ，又 平面 ， 平面 EF， BD 平面 EF（2 ）因为 AC， P， AP，所以 B 全等于 ， C， ， 2PA，所以12ACS， PAC ，在 PB 中， ， 5B，则 BC边上的高为2235，所以132CS， 132=4ABPACBS 表 面 积
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