1、单元训练金卷高三数学卷（B ）第 12 单 元 圆 锥 曲 线注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题
2、 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1 “ ”是“方程 表示椭圆”的（ ）02m2xymA充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件2双曲线 的顶点到渐近线的距离等于（ ）214xyA B C D545
3、25453已知抛物线 上的点 到其焦点的距离为 ，则该抛物线的标准方程为（ ）A B C D4一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 60的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于（ ）A B C2 D45已知双曲线 的右顶点为 ，右焦点为 ， 是坐标系原点，过 且与 轴垂2:1xyCabAFOAx直的直线交双曲线的渐近线于 ， 两点，若四边形 是菱形，则 的离心率为（ ）MNMNCA2 B C D23126已知点 P 为抛物线 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 B，A 点坐标为(3 ，4)则4yxPA+PB 的最小值是（ ）A5 B4 C D252517以椭圆的两个焦点为直径
4、的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（ ）A B C D32312328设 是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线右支上一点，若12,F2(0,)xyabP， ， ，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）90Pc213PFSA B C D54639 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股” ，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”设点 F 是抛物线 的焦点，l 是该抛物线的准线，过抛物线上一点 A 作准线的垂线 AB，垂足为 B，射线2ypxAF 交准线
5、 l 于点 C，若 的“勾” 、 “股” ，则抛物线方程为（ ）ABRt 33CBA B C D2yx23yx24yx26yx10已知椭圆 ，过左焦点 作斜率为 1 的直线 与 交于 ， 两点，若线段 的2:1ab中垂线与 轴交于 （ 为椭圆的半焦距） ，则椭圆的离心率为（ ）,03cPA B C D122322311如图，已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴上，且过点 ，圆，过圆心 的直线 与抛物线和圆分别交于 ， ， ， ，则的最小值为（ ）A B C D12过双曲线 的右支上一点 分别向圆 ： 和圆 ：213yx作切线，切点分别为 ，则 的最小值为（ ）A5 B4 C3 D2第 卷二
6、 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13已知平面内两个定点 和点 ， 是动点，且直线 ， 的斜率乘积为常(3,0)M(3,0)NPPMN数 ，设点 的轨迹为 (0)aPC存在常数 ，使 上所有点到两点 距离之和为定值；(4,)存在常数 ，使 上所有点到两点 距离之和为定值；()0不存在常数 ，使 上所有点到两点 距离差的绝对值为定值；0aC(,)不存在常数 ，使 上所有点到两点 距离差的绝对值为定值() 4其中正确的命题是_ （填出所有正确命题的序号）14已知点 是双曲线 渐近线上一点，则其离心率是 _(1,2)21(0,)yxab15点 在抛物线 ： 上
7、， 为 的焦点，以 为直径的圆与 轴只有一个公共点 ，且点的坐标为 ，则 _16已知椭圆 与双曲线 有公共的左、右焦点211(0)xyab221(0,)xyabb，它们在第一象限交于点 ，其离心率分别为 ，以 为直径的圆恰好过点 ，则 _21e三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （ 10 分）已知双曲线 与双曲线 具有相同的渐近线，且双曲线 过点 218xy（1 ）求双曲线 的方程；（2 ）已知 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线 上，设 ， ，若，求 的面积18 （ 1
8、2 分）已知抛物线 的焦点为直线 与 轴的交点， 为坐标原2(0)ypx210xyxO点（1 ）求抛物线的方程；（2 ）若过点 A(2，0)的直线 与抛物线相交于 B、C 两点，求证： l OBC19 （ 12 分）已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点21:0xyCab2:0CypxF重合，且点 到直线 的距离为 ， 与 的公共弦长为 xy21C26（1 ）求 的坐标；（2 ）求椭圆 的方程1C20 （ 12 分）已知双曲线 的渐近线方程为 ，O 为坐标原点，2:10,xyCab3yx点 在双曲线上（1 ）求双曲线 C 的方程；（2 ）若斜率为 1 的直线 l 与双曲线交于 P，Q 两点，且
9、，求直线 l 方程0OQ21 （ 12 分）已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线 上一点，2:(0)CypxFMC，且 （ 为坐标原点） 8MF3O（1 ）求抛物线 的方程；（2 ）过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，求 面积的最小值lCABAOB22 （ 12 分）已知椭圆 ， 是长轴的一个端点，弦 过椭圆的中心21(0)xyab2,ABC，点 在第一象限，且 ， OCACBOB（1 ）求椭圆的标准方程；（2 ）设 、 为椭圆上不重合的两点且异于 、 ，若 的平分线总是垂直于 轴，问是PQAPCQx否存在实数 ，使得 ？若不存在，请说明理由；若存在，求 取得最大值时的 的B PQ长单 元
10、 训 练 金 卷 高 三 数 学 卷 （ B）第 12 单 元 圆 锥 曲 线 答 案第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1 【 答案】C【解析】方程 表示椭圆，即 且 ，21xym022m1m所以“ ”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件，故选 C0222 【 答案】A【解析】双曲线 的顶点为 ，渐近线方程为 ，214xy2,012yx双曲线 的顶点到渐近线的距离等于 故选 A2 1543 【 答案】A【解析】抛物线 的准线方程 ，4ax抛物线
11、 上的点 到其焦点的距离为 ， ， ，124a即该抛物线的标准方程为 ，故选 A4 【 答案】D【解析】因为底面半径为 的圆柱被与底面成 的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为 ，长轴为 ，则 ， ， ， ，椭圆的焦距为 ，故选 D5 【 答案】A【解析】双曲线 的右顶点为 ，右焦点为 ， 是坐标系原点，2:1xyCab(,0)Aa(,0)FcO过 且与 轴垂直的直线交双曲线的渐近线于 ， 两点，MN若四边形 是菱形，可得 ，可得 故选 AOMFN2c2e6 【 答案】D【解析】根据题意抛物线的准线为 ，焦点 F(1，0)，1x由抛物线定义可得 ，故选 D24151PABP7 【
12、答案】B【解析】设椭圆的两个焦点为 ， ，圆与椭圆交于 ， ， ， 四个不同的点，1F2ABC设 ，则 ， 12Fc1Dc3c椭圆定义，得 ，所以 ，故选 B12|a231cea8 【 答案】D【解析】由题意可得 ，可得 ，22163PF214PF可得 ，可得 ， ，12PFa23b可得渐近线方程为 ，可得双曲线的渐近线的夹角为 ，故选 D3yx9 【 答案】B【解析】由题意可知，抛物线的图形如图：， ，可得 ，3ABC2236A所以 ， 是正三角形，并且 是 的中点，所以 ，则 ，60BF FAC3AB2P所以抛物线方程为 ，故选 B23yx10 【 答案 】B【解析】设 ， ，则 中点 1
13、212,xyQ直线 的方程为 ，与椭圆 联立得 ，2xyab所以 ，可得 所以 ，212xacb21212bca23PQbka因为 ，即 ，所以 ， ，故选 B23a2e11 【 答案 】C【解析】由题意抛物线过定点 ，得抛物线方程 ，焦点为 ，圆的标准方程为 ，所以圆心为 ，半径 由于直线过焦点，所以有 ，1213PFQp又 334PNQMF故选 C14163PFF12 【 答案 】A【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，设双曲线 的左右焦点为 ， ，213yx连接 ， ， ， ，可得当且仅当 为右顶点时，取得等号，即最小值 5故选 A第 卷二 、 填 空 题 ： 本
14、大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13 【 答案 】【解析】设点 P 的坐标为 P（ x，y） ，依题意，有 ，3yax整理得 ，219xya对于，点的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆，且 c4，a 0，椭圆在 x 轴上两顶点的距离为 ，焦点为 248 ，不符；296对于，点的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆，且 c4，椭圆方程为 ，则 ，解得 ，符合；219yxa916a259a对于，当 时， ，所以存在满足题意的实数 a，错误；72y对于，点的轨迹为焦点在 y 轴上的双曲线，即 ，219yx不可能成为焦点在 y 轴上的双曲线，所以不存在满足题意的实数 a，正确所以，正确命题的序号是1
15、4 【 答案 】52【解析】因为点 是双曲线 渐近线上一点，(1,)21(0,)yxab所以渐近线方程为 ，所以 ，yxb因此 ，故答案为 251cbea5215 【 答案 】5【解析】由抛物线的方程为 可得其焦点坐标为 ，准线方程为 设点 的坐标为 ，则 ，2,4y21,4yMFA，由题意得点 在以 为直径的圆上， ， ，22404yyMFA整理得 ，解得 由抛物线的定义可得 ，故答案为 2145yF16 【 答案 】【解析】由椭圆定义得 ，在第一象限，由双曲线定义得 ，由得 ，因为 为直径的圆恰好过点 ，所以 ， ， ，即 ，故答案为 221ac21e三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共
16、 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 【 答案 】 （1） ；（2 ） 214xy【解析】 （1）根据题意，可设双曲线 的方程为 ，208xy双曲线 过点 ， ，双曲线 的方程为 3422164xy（2 ）在双曲线 中， ， ， ，2164xy在 中，设 ，由余弦定理得 ，即 ，求得 ，1cos2 ， ， 3sin21213sin642PFSr18 【 答案 】 （1） ；（2 ）见证明yx【解析】 （1） 与 轴的交点是 ，故 0,021p所以抛物线的方程是 2yx（2 ）设过点 的直线方程为 ，(2,0)A
17、:2lxmy当 不存在时，直线 与抛物线只有一个交点，故舍去，ml联立 ，消去 得 ， 恒成立2yx240y2160设 ， ，则 ， 1(,)B2(,)C1m1y有 ， ，,xOy2,xy则 121212y224myy(4)m22，0所以 ，所以 OBC90BO19 【 答案 】 （1） ；（2 ） (,)218xy【解析】 （1） 的焦点 的坐标为 ，2:yxCpF,02p由点 到直线 的距离为 ，得 ，F0x120p， 2， 1,F（2 ） 1,Q为椭圆的一个焦点， 21abC与 2的公共弦长为 6， 1C与 都关于 x轴对称，1与 的公共点纵坐标为 ，由抛物线方程可知公共点坐标为3,62
18、， 29614ab联立解得 29a， 28b， 1C的方程为2198xy20 【 答案 】 （1） 4xy；（2 ） 【解析】 （1）双曲线 C 的渐近线方程为 ， ，双曲线的方程可设为223xya点 M（ ， ）在双曲线上，可解得 a=2，双曲线 C 的方程为214xy（2 ）设直线 PQ 的方程为 y=x+m，点 P（x 1，y 1） ，Q（x 2， y2） ，将直线 PQ 的方程代入双曲线 C 的方程，可化为 2210x， 12x，21mx，由 =0，得 12y，把 1y， 2y代入上式可得12120xmx，2203mk，化简得 21直线方程 或 21 【 答案 】 （1）28yx；（2
19、 ）最小值为 8【解析】 （1）由抛物线的性质，知焦点 F到准线的距离为 8，由 cos60MFp，得 4p，即 ，抛物线 C的方程为28yx（2 ）焦点 2,，由题意知直线斜率不为 0，所以设直线 l方程为 xt与 C的方程联立28xty，得216ty由韦达定理可得 12t， 12又坐标原点到直线的距离2dt，因为21ABty，所以221211246482AOBSdyyyt当 t=0 时，取到最小值 8，故 AOB 面积的最小值为 822 【 答案 】 （1）2314xy；（2 ）30【解析】 （1） 0ACB， 9ACB， 2O即 |， AOC 是等腰直角三角形， ,0， 1,，而点 在椭
20、圆上， 21ab， 2a，43b，所求椭圆方程为234xy（2 ）对于椭圆上两点 P， Q， PCQ的平分线总是垂直于 x轴， PC与 Q所在直线关于 1x对称，k，则 k， 1,， 的直线方程为 1ykx，QC的直线方程为 ykx，将代入2314x，得 223613610kxk， 1,C在椭圆上， x是方程的一个根， 2P，以 k替换 ，得到2361Qk，13QPQPkxk， 90AB， ,， ,C，弦 B过椭圆的中心 O， 2,， 1,，13ABk， PQAk， B ，存在实数 ，使得 PQ，222141603|39kkPQk，当29k时，即k时取等号， max|3PQ，又 |10AB，max2301， 取得最大值时的 P的长为230
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