1、第 26 讲 三角函数的图象与性质( 一)1若动直线 xa 与函数 f(x)sin x 和 g(x)cos x 的图象分别交于 M、N 两点,则|MN|的最大值为(B)A1 B. 2C. D23|MN|sin acos a| |sin(a )| .24 22(经典真题)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数y3sin( x)k .据此函数可知,这段时间水深(单位:m) 的最大值为(C)6A5 B6C8 D10根据图象得函数的最小值为 2,有3k2,得 k5,所以最大值为 3k8.3(2019福建一模)已知 f(x)2cos 2x6sin xcos x,则函数 f(x)的
2、最大值是(C)A3 B. 10C. 1 D. 110 10f(x)1cos 2x3sin 2x ( cos 2x sin 2x)1101010 31010 cos(2x)1,10所以 f(x)的最大值为 1.104(2018辽宁朝阳三模)已知 f(x)sin(x )(0),f ( )f ( ),且 f(x)在区间( , )上3 6 3 6 3有最小值,无最大值,则 (B)A. B.103 143C. D.323 383由题意知 f(x)的图象的一条对称轴为 x ,且 f(x)在 x 处取得最小值,6 32 4 4所以Error!所以Error!所以 .1435如图,半径为 R 的圆的内接矩形周
3、长的最大值为 4 R .2设BAC ,周长为 p,则 p2AB2BC 2(2 Rcos 2Rsin )4 Rsin( )4 R,24 2当且仅当 时取等号4所以周长的最大值为 4 R.26(2018北京卷)设函数 f(x)cos (x )(0)若 f(x)f( )对任意的实数 x 都成立,6 4则 的最小值为 _ _23因为 f(x)f( )对任意的实数 x 都成立,4所以当 x 时, f(x)取得最大值,4即 f( )cos( )1,4 4 6所以 2k,kZ,所以 8k ,k Z.4 6 23因为 0,所以当 k0 时, 取得最小值 .237(经典真题)已知函数 f(x)sin 2xsin
4、 2(x ),x R .6(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间 , 上的最大值和最小值3 4(1)由已知,有f(x) 1 cos 2x2 1 cos2x 32 ( cos 2x sin 2x) cos 2x1212 32 12 sin 2x cos 2x sin(2x )34 14 12 6所以 f(x)的最小正周期 T .22(2)因为 f(x)在区间 , 上是减函数,在区间 , 上是增函数,3 6 6 4且 f( ) ,f( ) , f( ) ,3 14 6 12 4 34所以 f(x)在区间 , 上的最大值为 ,最小值为 .3 4 34 128已知函数 f(x) (s
5、in xcos x) |sin xcos x|,则 f(x)的值域是(C)12 12A1,1 B ,122C1, D1, 22 22由 f(x) (sin xcos x) |sin xcos x|12 12得 f(x)Error!f(x)的图象如下图中粗线所示,由图象可知,函数 f(x)的值域是1, 229(2018重庆模拟改编)函数 ysin xcos xsin x cos x 的最大值为 .12 2令 sin x cos xt , ,2 2则 t212sin xcos x,所以函数 yt t2 t (t1) 21,1 t22 12 12 12故当 t 时,函数 y 取最大值 .212 21
6、0(2018江苏卷)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P为此圆弧的中点)和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米,点 P 到 MN 的距离为 50米现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚内的地块形状为矩形 ABCD,大棚内的地块形状为CDP,要求 A,B 均在线段 MN 上,C, D 均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 .(1)用 分别表示矩形 ABCD 和CDP 的面积,并确定 sin 的取值范围;(2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43.求当 为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大(1)如
7、图,连接 PO 并延长交 MN 于点 H,则 PHMN,所以 OH10.过点 O 作 OEBC 于点 E,则 OEMN,所以COE,故 OE40cos ,EC40sin ,则矩形 ABCD 的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos ),CDP 的面积为240cos (4040sin )1600(cos sin cos )12过点 N 作 GNMN,分别交圆弧和 OE 的延长线于点 G 和 K,则 GKKN 10.令GOK 0,则 sin 0 , 0(0, )14 6当 0, )时,才能作出满足条件的矩形 ABCD,2所以 sin 的取值范围是 ,1)14答:矩
8、形 ABCD 的面积为 800(4sin cos cos )平方米,CDP 的面积为 1600(cos sin cos )平方米,sin 的取值范围是 ,1) 14(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43,设甲的单位面积的年产值为 4k, 乙的单位面积的年产值为 3k(k0),则年总产值为 4k800(4sin cos cos )3k1600(cos sin cos ) 8000k(sin cos cos ), 0, )2设 f() sin cos cos , 0, ),2则 f()cos 2sin 2sin (2 sin2sin 1) (2sin 1)( sin 1)令 f()0, 得 ,6当 ( 0, )时,f()0,所以 f()为增函数;6当 ( , )时,f()0,所以 f()为减函数,6 2因此,当 时,f()取到最大值6答:当 时, 能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大6