1、第 32 讲 平面向量的坐标表示及坐标运算1已知点 A(1,3)，B(4，1)，则与向量 同方向的单位向量为(A)AB A( ， ) B( ， )35 45 45 35C( ， ) D( ， )35 45 45 35注意与 同向的单位向量为 .AB AB |AB |2已知平面向量 a(x,1)，b (x，x 2)，则向量 ab(C)A平行于 x 轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于 y 轴D平行于第二、四象限的角平分线因为 ab(0,1x 2)，所以 ab 平行于 y 轴，故选 C.3设向量 a(2，x1)，b (x1,4)，则“x3”是 “a b”的(A)A充分不必要条件 B必要不充分条
2、件C充要条件 D既不充分也不必要条件当 a b 时，有 24(x1)(x1) 0，解得 x3.所以 x3a b，但 a b/ x3.故“x3”是“a b”的充分不必要条件4(2018湖南长沙月考)已知点 A(2,0)，B(4,2)，若点 P 在直线 AB 上，且| |2| |，AB AP 则点 P 的坐标为(C)A(3,1) B (1，1)C(3,1) 或(1 ，1) D(3，1)设 P(x，y) ，因为 A(2,0)，B(4,2) ，所以 (2,2)， (x2，y)，AB AP 因为| |2| |，所以 2 .AB AP AB AP 所以Error!或Error!所以Error!或Error
3、!故选 C.5(2018广州一模)已知向量 a(m，2)，b(1 ， 1)， 若|a b|a|b|，则实数m_2_由|ab|a|b|可知 ， 向量 a 与 b 共线且同向 ，所以 m1210，所以 m2.6已知向量 a(2，1)，b(1，m)，c(1,2) ，若( ab) c，则 m 1 .ab(1，m1)，因为( ab) c，所以 ，所以 m1.1 1 m 127已知 A(2,1)，B(3,5) ，C(3,2)，若 t (tR) ，试求 t 为何值时，点 P 在第AP AB AC 二象限？设点 P 的坐标为(x，y) ，则( x，y) (2,1) (x 2，y1) ，AP t (3,5)(2
4、,1) t(3,2) (2,1)AB AC (1,4)t(1,1)(1,4) ( t，t)(1t,4t )，由 t 得(x2，y 1)(1t, 4t )，AP AB AC 所以Error!解得Error!若点 P 在第二象限，则Error!所以5t3，即当5t3 时，点 P 在第二象限88(2018深圳市第二次调研) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：(x4) 2(y 3)24，点 A，B 在圆 C 上，且 |AB|2 ，则| |的最小值是_8_3 OA OB (方法 1)设 AB 的中点为 D，则 CD1.延长 CD 交圆 C 于点 E，则 D 为 CE 的中点因为| | |2 |，
5、OA OB OC CA OC CB OC CE 设 E(42cos ，32sin )，所以| |(8，6)(2cos ，2sin )|OA OB |(8 2cos ，62sin )| （8 2cos ）2 （6 2sin ）2 104 8（3sin 4cos ） 8.104 40sin（ ） 104 40(方法 2)因为| | |2 |2| | |2528.OA OB OC CA OC CB OC CE OC CE 9(2017江苏卷)如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为 1,1， ，OA OB OC 2与 的夹角为 ，且 tan 7， 与 的夹角为 45.若 m n (m，nR)
6、，OA OC OB OC OC OA OB 则 mn 3 .因为 tan 7，方 法 一 所以 cos ，sin .210 7210过点 C 作 CDOB 交 OA 的延长线于点 D，则 ，OCD45.OC OD DC 又因为 m n ，OC OA OB 所以 m ， n ，OD OA DC OB 所以| |m，| |n.OD DC 在COD 中，由正弦定理得 ，|DC |sin |OD |sinOCD|OC |sinODC因为 sinODCsin(180 OCD)sin(OCD ) ，7210 22 210 22 45即 ，所以 n ， m ，所以 mn3.n7210m22245 74 54
7、由 tan 7 可得 cos ，sin ，则 ，方 法 二 152 752 152 OA OC |OA |OC | m nOA OB 2由 cosBOC 可得 ，22 22 OB OC |OB |OC | mOA OB n2cosAOBcos(45)cos cos 45sin sin 45 ，152 22 752 22 35则 ，则Error!OA OB 35所以 m n ，mn3.25 25 6510给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为 .如图所示，点 C 在以 OOA OB 23为圆心的圆弧 上运动若 x y ，其中 x，yR，求 xy 的最大值AB OC OA OB 以 O 为坐标原点， 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，OA 则 A(1,0)，B ( ， )，12 32设AOC， 0， ，则 C(cos ，sin )，23由 x y ，OC OA OB 得Error!所以 xcos sin ，y sin ，33 233所以 xycos sin 2sin( )，36又 0， ，所以 时，xy 取得最大值 2.23 3
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