1、第 51 讲 空间几何体的表面积与体积1(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(B)A90 B63C42 D36(方法 1：割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点 A 处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 ，所以该几何体的体积12V 324 326 63.故选 B.12(方法 2：估值法)由题意知， V 圆柱 V 几何体 V 圆柱 又 V 圆柱 321090，所以1245V 几
2、何体 90.观察选项可知只有 63 符合故选 B.2(2016山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(C)A. B. 13 23 13 23C. D1 13 26 26由三视图知，该四棱锥是底面边长为 1，高为 1 的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为 ，从而该几何体的体积为 121 ( )3 .故选 C.22 13 12 43 22 13 263(2018全国卷)设 A，B， C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为 (B)3A12 B 183 3C24 D 543 3由等边
3、ABC 的面积为 9 可得 AB29 ，334 3所以 AB6，所以等边ABC 的外接圆的半径为 r AB2 .33 3设球的半径为 R，球心到等边 ABC 的外接圆圆心的距离为 d，则 d R2 r22.16 12所以三棱锥 DABC 高的最大值为 246，所以三棱锥 DABC 体积的最大值为 9 618 .13 3 34(2017长沙市一中二模)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为(A)A88 4 B88 22 6 2 6C22 D. 2 612 22 64将三视图还原为空间几何体，如图，四面体 DABC.因为 SABC 244，12SB
4、CD 244，12SDAC 4 2 4 ，12 3 2 6SABD 4 48 .12 2 2所以四面体的表面积为 SS ABCS BCDS DACS ABD 88 4 .2 65(2017山东卷)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何14体的体积为 2 .2该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底面半径为 1，高为 1 的四分之一圆柱体构成，所以 V2112 1212 .14 26(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 ，SA 与圆78锥底面所成角为 45，若SAB 的面积为 5 ，则该圆锥的侧面积为_40 _15
5、2如图，因为 SA 与底面成 45角，所以SAO 为等腰直角三角形设 OAr ，则 SOr，SASB r.2在SAB 中， cosASB ，所以 sinASB ，78 158所以 SSAB SASBsinASB12 ( r)2 5 ，12 2 158 15解得 r2 ，10所以 SA r4 ，即母线长 l4 ，2 5 5所以 S 圆锥侧 rl 2 4 40 .10 5 27如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台(1)求这个奖杯的体积( 取 3.14)；(2)求这个奖杯的底座的侧面积(1)球的体积 V 球 r336，43圆柱的体积 V 圆柱 Sh 164，正四棱台的体积是V 正四
6、棱台 h2(S 上 S 下 )336，13 S上 S下所以此几何体的体积是 V3664 336100336 650(cm3)(2)因为底座是正四棱台，所以它的斜高是 h 5，6 32 42所以它的侧面积是S 侧 4 (612)5180 (cm 2)128(2018惠州 9 月月考)若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，该四棱锥的体积为 9，当其外接球表面积最小时，它的高为(A)A3 B2 2C2 D33 3此四棱锥为正四棱锥，设此四棱锥的底面边长为 a，高为 h，则 a2h9，则 a2 ，13 27h再设其外接球的半径为 R，则在COE 中，R2(hR) 2( a)2，22
7、所以 R .h2 12a22h h2 a24h h2 274h2设 f(h) ，则 f( h) ，h2 274h2 12 272h3令 f(h) 0，解得 h3，分析可知 f(h)在 h3 时有最小值，故选 A.9(2016浙江卷)如图，在 ABC 中，ABBC 2，ABC120.若平面 ABC 外的点P 和线段 AC 上的点 D，满足 PDDA ，PB BA，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 .12在ABC 中，AB BC2，ABC120，所以 AC 2 .22 22 222 12 3设 CDx，则 AD2 x ，3所以 PD2 x ，3所以 VPBCD SBCDh BCCDsin 30
8、PD13 13 12 2x (2 x )16 12 3 x(2 x) ( )216 3 16x 23 x2 ( )2 ，16 232 12当且仅当 x2 x，即 x 时取“”，3 3此时 PD ，BD1，PB 2，满足题意310(2017全国卷 选择题改编)如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点， DBC，ECA ，FAB 分别是以BC，CA，AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥当ABC 的边长变化时，求所得三棱锥体积(
9、单位：cm 3)的最大值如图，连接 OD，交 BC 于点 G，由题意，知 ODBC，OG BC.36设 OGx，则 BC2 x，DG5x ，3三棱锥的高 h DG2 OG2 ，25 10x x2 x2 25 10xSABC 2 x3x3 x2，12 3 3则三棱锥的体积V SABCh x2 .13 3 25 10x 3 25x4 10x5令 f(x)25x 410x 5，x (0， )，52则 f(x )100x 350x 4.令 f(x )0 得 x2.当 x(0,2)时，f ( x)0，f (x)单调递增，当 x(2， )时，f(x)520，f( x)单调递减故当 x2 时，f( x)取得最大值 80，则 V 4 .3 80 15所以三棱锥体积的最大值为 4 cm3.15
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