1、第 71 讲 两个计数原理与排列、组合的基本问题1用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为(C)A8 种 B24 种C48 种 D120 种2 和 4 排在个位时，共有 A 2 种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个12有 A 43224 种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有 22448( 个)342甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有(D)A150 B180C300 D345分两类：(1)甲组中选出一名女生有 C C C 225 种选法；
2、15 13 26(2)乙组中选出一名女生有 C C C 120 种选法故共有 345 种选法25 16 123将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有(A)A12 种 B10 种C9 种 D8 种分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有 C 2(种) 选派方12法；第二步，选派两名学生到甲地，另两名到乙地，共有 C 6(种)选派方法24由分步计数原理不同的选派方案共有 2612(种) 4(2019东北四市模拟)甲、乙两人要在一排 8 个空座上就座，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座
3、，则坐法种数为(C)A10 B16C20 D24(方法 1)当甲在乙的左侧时有如下情况：甲在第 2 个座位，则乙在第 4,5,6,7 个座位坐都可以，此时有 4 种情况；甲在第 3 个座位，则乙在第 5,6,7 个座位坐都可以，此时有 3 种情况；甲在第 4 个座位，则乙在第 6,7 个座位坐都可以，此时有 2 种情况；甲在第 5 个座位，则乙在第 7 个座位坐，此时有 1 种情况故共有 10 种情况同理，当甲在乙的右侧时，也有 10 种情况因此，一共有 20 种情况(方法 2)因甲乙不相邻，故采用插空法除甲、乙外共 6 个空座，所以把甲、乙插入 5个空中，共有 A 20 种方法255用五种不
4、同的颜色给如图所示的四个区域涂色，如果每个区域涂一种颜色，相邻区域不能涂同色，那么涂色的方法共有 320 种按 1,2,3,4 区域顺序着色，分别有 C ，C ，C ，C 种方法，由分步计数原理，15 14 14 14共有 C C C C 320 种方法15 14 14 146(2018全国卷)从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_16_种(用数字填写答案)(方法 1)按参加的女生人数可分两类：只有 1 位女生参加有 C C 种，有 2 位女生12 24参加有 C C 种故共有 C C C C 26416(种 )2 14 12 24
5、2 14(方法 2)间接法从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，共有 C 种情况，没有女生参加的36情况有 C 种，故共有 C C 20416(种) 34 36 3474 位学生与 2 位教师并坐合影留念，下列情形下，各有多少种不同的坐法？(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻(1)中间有两个位置，故有 A A 48( 种)；2 4(2)用插空法，首先排四位学生有 A 种方法，再将两名教师作为一个元素插入三个空4格有 A 种方法，再将两个教师交换位置有 A 种方法，故共有 A A A 144( 种)；13 2 4 13 2(3)用插空
6、法，首先排四位学生有 A ，然后将两位教师插入除两端外的三个空格有4A A 144( 种 )4 238(2017豫南九校 2 月联考) 某医院拟派 2 名内科医生、3 名外科医生和 3 名护士共 8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村庄进行义务巡诊，其中每个分队必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有(B)A72 种 B36 种C24 种 D18 种A (C C C C )36 种12 23 13 13 239由数字 1,2,3,4,5,6,7 组成没有重复数字的七位数中，恰好只有两个偶数相邻的排列数为 2880 个分如下步骤：(1) 首先从三个偶数中选出两个并进行排列有 C A
7、 ；(2) 然后将四个23 2奇数排列有 A ；(3) 再用插空法，将选出的两个偶数看成一个整体与另一偶数插入五个空4格有 A .由乘法原理有 C A A A 2880.25 23 2 4 2510用 0 到 9 这十个数字可以组成多少个没有重复数字的：(1)四位数；(2)能被 5 整除的四位数；(3)千位上数字比百位上数字大的四位数(1)用剔除法，A A 109879874536(个)410 39(2)个位数字为 0 有 A 个；39个位数字为 5，千位数字不为 0 有 A A 个，18 28故符合题意的四位数有 A A A 952( 个)39 18 28(3)先从 0,1，9 这 10 个数字中取出两个数字，排在千位和百位上有 C 种排法，210再从余下的 8 个数中取出 2 个排在十位和个位上，有 A 种方法，故由乘法原理，满足条28件的四位数有 C A 2520( 个) 210 28
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