1、24.1 圆的有关性质,第二十四章 圆,24.1.2 垂直于弦的直径,折一折：,你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,导入新课,讲授新课,（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？,（2）你是怎么得出结论的？,圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.,用折叠的方法,说一说,问题：如图,AB是O的一条弦, 直径CDAB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么?,线段: AE=BE,O,A,B,D,E,C,垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平
2、分弦所对的两条弧., CD是直径，CDAB，, AE=BE,推导格式：,温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,归纳总结,想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？,是,不是，因为没有垂直,是,不是，因为CD没有过圆心,垂径定理的几个基本图形：,归纳总结,如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ 过圆心 ；垂直于弦； 平分弦； 平分弦所对的优弧 ； 平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？,思考探索,举例证明其中一种组合方法 已知:求证：
3、, CD是直径, CDAB，垂足为E, AE=BE,证明猜想,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CDAB吗？为什么？ （2）,O,A,B,C,D,E,AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？,（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，AOEBOE（SSS），,AEO=BEO=90，,CDAB.,证明举例,思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.,垂径定理的推论,特别说明： 圆的两条直径是互相平分的.,归纳总结,例1 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm, OE=6cm,则AB=
4、cm.,解析：连接OA， OEAB，, AB=2AE=16cm.,16,一,典例精析,例2 如图， O的弦AB8cm ，直径CEAB于D，DC2cm，求半径OC的长.,解：连接OA， CEAB于D，,设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得,解得 x=5，,即半径OC的长为5cm.,x2=42+(x-2)2，,证明：作直径MNAB. ABCD，MNCD. 则AMBM，CMDM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）AMCMBMDM ACBD,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.,归纳总结,试一试：根据刚刚所学，你能利用垂
5、径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?,解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高., AB=37m，CD=7.23m.,解得R27.3（m）.,即主桥拱半径约为27.3m.,=18.52+(R-7.23)2, AD= AB=18.5m， OD=OC-CD=R-7.23.,练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_.,2cm或12cm,在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或
6、作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：,弓形中重要数量关系,d+h=r,归纳总结,视频：垂径定理微课讲解,1.已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .,5cm,2.O的直径AB=20cm, BAC=30则弦AC= .,3.（分类讨论题）已知O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .,14cm或2cm,当堂练习,4.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形
7、,证明：,四边形ADOE为矩形，,又 AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE. AECEBEDE即 ACBD.,注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法,6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.,解:连接OC.,设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,根据勾股定理，得,解得R=545.,这段弯路的半径约为545m.,拓展提升： 如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .,3cmOP5cm,垂径定理,内容,推论,辅助线,一条直线满足:过圆心;垂直于弦; 平分弦（不是直径）; 平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）,垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧,两条辅助线： 连半径，作弦心距,构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.,基本图形及变式图形,课堂小结,
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